第8章 幂的运算-全章复习与巩固 苏科版数学七年级下册基础知识讲与练
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专题8.10 幂的运算（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】【知识点一】.同底数幂的乘法(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【知识点二】幂的乘方 (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.【知识点三】积的乘方 (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.【知识点四】同底数幂的除法(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.【知识点五】零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于1.特别说明：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 （都是正整数）. （3）公式的推广： (，均为正整数)（4）公式的推广： (为正整数).【典型例题】类型一、幂的运算➽➼科学记数法✭✭零指数✭✭负指数1．一个正方体集装箱的棱长为0.4m，这个集装箱的表面积是多少？体积多少？（用科学记数法表示）(2) 若有一个小立方体的棱长为0.02m，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？（用科学记数法表示）【答案】(1) 表面积为9.6m2；体积为6.4m3 (2) 【分析】（1）根据正方体的表面积公式和体积公式计算即可；（2）计算小正方体的体积，用大正方形体积除以小正方体体积计算数量即可．（1）解：表面积为0.4×0.4×6＝9.6（m2），体积为0.4×0.4×0.4＝6.4（m3），答：这个集装箱的表面积是9.6m2，体积6.4m3；（2）6.4÷（0.02×0.02×0.02）＝8（个），答：需要8个这样的小立方块才能将集装箱装满．【点拨】本题主要考查正方体的体积和表面积、科学记数法、同底数幂的除法等知识，熟练掌握正方体体积公式，正方体表面积公式，科学记数法的知识是解题的关键．举一反三：【变式1】世界上最轻的昆虫是一种卵蜂，其质量为0.000005克．用科学记数法表示数据0.000005；一个鸡蛋的质量大约为50克，若m只卵蜂的质量与这个鸡蛋的质量相等，请用科学记数法表示m．【答案】(1) (2) 【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；（2）根据题意列方程，解方程即可得解．（1）解：0.000005用科学记数法表示为0.000005=5×10-6；（2）解：设m只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得0.000005m=50，解得m=10000000=1×107，答：1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等．【点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数．解题的关键是能够正确的用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【变式2】用小数表示下列各数：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）0.0085；（2）0.0000000225；（3）0.0000903【分析】（1）8.5的小数点向左移动3位，即可得出答案；（2）2.25的小数点向左移动8位，即可得出答案；（3）9.03的小数点向左移动5位，即可得出答案．解：（1）8.5×10﹣3＝0.0085；（2）2.25×10﹣8＝0.0000000225；（3）9.03×10﹣5＝0.0000903．【点拨】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．2．计算： ．【答案】3【分析】由乘方、负整数指数幂、绝对值的意义进行化简，即可得到答案．解：原式．【点拨】本题考查了乘方、负整数指数幂、绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．举一反三：【变式1】计算：．【答案】1【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里，根据四则运算法则计算即可．解：原式【点拨】此题考查实数的运算，解题关键是正确运用四则运算法则．【变式2】计算：．【答案】【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简进而得出答案．解：【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．类型二、同底数幂的乘法➽➼运算✭✭逆运算3．计算： (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据同底数幂的乘法计算即可．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题主要是考查了同底数幂的乘法运算，先将各个项变成底数相同的形式是解答本题的关键．举一反三：【变式1】计算：【答案】【分析】将原式进行变形，根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行计算即可得．解：原式＝==．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．【变式2】判断是否正确，并说明理由．【答案】不正确，理由见分析【分析】根据题意，要进行幂的乘法运算，先把每一项写成同底数的形式，所以把转换成，然后进行同底数幂的乘法运算，底数不变指数相加．解：不正确．理由如下：．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，需要注意的是当指数是奇数的时候，底数变为原来的相反数，幂的前面要加上负号．4．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值．【答案】（1）27；（2）【分析】（1）根据进行求解即可；（2）根据同底数幂乘法的逆运算将条件式变形为，由此即可得到答案．解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】计算下列各式：； (2) 已知，求的值．【答案】(1) (2) 12【分析】（1）根据同底数幂乘法的计算法则求解即可；（2）根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．（1）解： ；（2）解：∵，，∴．【点拨】本题主要考查了同底数幂乘法和同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法底数不变，指数相加．【变式2】已知，求的值．【答案】3【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可．解：∵2x+3y-1=0，∴2x+3y=1，∴9x•27y=32x×33y=32x+3y=31=3．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识点，能正确根据法则进行变形是解此题的关键．类型三、幂的乘方与积的乘方➽➼运算✭✭逆运算5．计算 (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）同底数幂相乘底数不变指数相加，在根据幂的乘方算出的值，最后再合并同类项即可；（2）先根据平方的意义将转化为，然后根据同底数幂相乘底数不变指数相加进行计算，最后合并同类项即可．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题考查了乘方与同底数幂的相关运算，掌握其运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】计算： (2) 【答案】(1) ； (2) ．【分析】（1）根据有理数乘方，积的乘方的逆运算，求解即可；（2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方等运算，求解即可．（1）解：；（2）解：；【点拨】此题考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【变式2】计算：； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法、积的乘方以及多项式的除法运算法则计算即可；（2）逆用积的乘方，进行计算即可．解：（1）；（2）．【点拨】本题主要考查了多项式的除法，同底数幂的乘法、积的乘方运算方程等知识，掌握多项式的除法运算法则是解答本题的关键．6．（1）已知，，求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）10；（2）900【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，先求出，即可求出结果；（2）逆用幂的乘方运算法则，逆用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．解：（1），，，；（2）．【点拨】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则．举一反三：【变式1】计算：； (2) ．【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用积的乘方和同底数幂的乘法，进行计算；（2）先算同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类型即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【点拨】本题考查整式的运算．熟练掌握积的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键．【变式2】计算：．【答案】12【分析】利用积的乘方公式进行逆运算即可．解：原式＝.【点拨】本题主要考查积的乘法公式，能够熟练运算并逆运算是解题关键．类型三、同底数幂的除法➽➼运算✭✭逆运算7．计算：．【答案】【分析】根据积的乘方，幂的除法，幂的乘法运算法则，整式的加减法运算即可求解．解：．【点拨】本题主要考查整式的混合运算，幂的运算，掌握整式的混合运算，幂的运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】计算：．【答案】【分析】先计算积的乘方、幂的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．解： ．【点拨】本题考查了积的乘方、幂的乘方，同底数幂的乘除法．熟练掌握同底数幂的乘除法是解题的关键．【变式2】计算：．【答案】【分析】根据幂的乘方和同底数幂的除法法则进行计算，再合并同类项即可．解：．【点拨】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法，相关公式为：，．8．已知，求的值．【答案】【分析】根据幂的乘方及同底数幂的除法的逆运算，进行运算即可．解： ．【点拨】本题主要考查了幂的乘方及同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的乘方及同底数幂的除法的逆运算是解题的关键．举一反三：【变式1】已知，，求和的值．【答案】，．【分析】逆用同底数幂的乘除法和幂的乘方法则进行变形，再整体代入数值计算即可．解：∵，，∴，．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与同底数幂的除法，解题的关键是能灵活运用这些法则的逆运算．【变式2】已知，，求的值．【答案】9【分析】逆用同底数幂的除法法则求出a﹣b的值，将整理为，再代入a﹣b的值计算即可．解：∵，，∴ ，∴a﹣b＝2，∴．【点拨】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．类型四、幂的运算➽➼幂的混合运算➽➼运算✭✭化简✭✭逆运算9．计算： (2) 【答案】(1) -8 (2) 【分析】（1）结合幂的混合运算进行计算即可．（2）结合幂的乘方，乘法公式运算即可．（1）解：原式（2）解：原式【点拨】本题考查幂的混合运算，包含绝对值，0次幂，负整数指数幂，幂的乘方等运算公式，熟练地运用公式进行计算是解题关键．举一反三：【变式1】计算：； (2) ．【答案】(1) (2) 【分析】先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，最后算加减即可；先算积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法，最后合并同类项即可．（1）解： ；（2）解： ．【点拨】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式2】计算或化简： (2) 【答案】(1) 4； (2) 【分析】（1）根据-1的整数指数幂的特点以及负整数指数幂和0指数幂的法则进行运算，即可得到答案；（2）根据同底数幂的乘除混合运算法则依次计算即可得到答案；（1）解：=1+4-1=4；（2）解：【点拨】本题考查了同底数幂的混合运算，涉及了0指数幂和负整数指数幂的相关知识，掌握知识并仔细计算，同时注意计算中需注意的事项是本题的解题关键．10．计算：（1）； （2）.【答案】（1）-1； （2）2x6【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值；（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果．解：（1）原式=2+1-3-1=-1；（2）原式=x6+4x6-3x6=2x6．【点拨】此题考查了整式的除法，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算（1） （2）【答案】（1） （2）【分析】（1） 先计算负指数幂和零指数幂，然后计算乘法和除法，最后计算加法即可；（2）先利用完全平方公式和平方差公式将括号展开，然后再去括号合并即可．解：（1）原式=16×+1÷9=；（2）原式=4a2+4a+1-(4a2-1)=4a2+4a+1-4a2+1=4a+2．【点拨】本题主要考查了整数指数幂的运算和整式的混合运算，熟记法则和运算顺序是解决此题的关键．【变式2】观察下列式子回答问题．已知：，求的值；已知：，求的值；已知：，，求的值．【答案】(1) (2) 16 (3) 【分析】（1）先将底数都化为2，再运用同底数幂的乘法计算即可．（2）把底数化成2后利用幂的乘方及同底数幂的乘法计算即可．（3）利用同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算计算即可．（1）解：∴，解得．（2）解：∵∴（3）解：【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的计算及逆运算，能够熟练运用公式进行计算是解题关键．
