河南省郑州市金水区两校2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份河南省郑州市金水区两校2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．0B．π0C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和陈冬、刘洋、蔡旭哲3名中国航天员送入太空，这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启．在正式发射前教练分别对三位航天员的10次训练成绩进行统计分析，若要判断他们的成绩是否稳定，则教练需要知道每位航天员这10次成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4．下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3、4、5B．4、5、6C．6、8、10D．9、40、41
5．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系中，点A（1，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，4）B．（﹣1，4）C．（0，﹣4）D．（﹣1，﹣4）
7．如图，关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
8．一次函数y＝（k﹣2）x+2，且函数值y随自变量x的增大而减小，则k有可能是（ ）
A．0B．3C．2D．5
9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，则OA21的长为（ ）
A．22B．C．21D．
10．如图是螳螂的示意图，已知AB∥DE，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠CDE＝72°，则∠BCD的度数为（ ）
A．12°B．30°C．42°D．24°
二、填空题（本题共有5个小题，每小题3分，共15分）
11．“你的作业做完了吗”这句话 命题．（填“是”或者“不是”）
12．将函数y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后得到的函数表达式 ．
13．请写出一个能使二次根式在实数范围内有意义的x的值 ．
14．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 ．
15．为吸引顾客，甲、乙两个草莓采摘园在售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图2所示，则①甲园的门票费用是60元；②甲园草莓优惠前的销售价格是60元/千克；③乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠；④若顾客采摘20千克草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠．
则以上说法正确的是 ．
三、解答题（本题共有7个小题，共55分）
16．计算．
17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，△ABC的位置如图所示，已知点A（0，2）．
（1）请在方格纸中建立平面直角坐标系，并写出B、C的坐标．
（2）请你按照小明的思路证明∠ABC是直角．
18．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作DE∥BC．
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DA
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能．
方法运用：
如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求∠1的度数．
19．2022年10月12日下午，宇宙最牛网课“天宫课堂”上新了，新晋“太空讲师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级和八年级各随机抽取100名学生进行测试，将学生成绩（单位：分）分为5组（A．0≤x＜60；B．60≤x＜70；C．70≤x＜80；D．80≤x＜90；E．90≤x≤100），并对成绩进行整理、分析，部分信息如下：
①七年级航空航天知识测试成绩扇形统计图
②八年级航空航天知识测试成绩频数分布表：
③将八年级在D组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：
80，80，82，82，82，83，83，83，83，83
④七、八年级航空航天知识测试成绩的平均数、中位数、众数如下表．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）八年级小宇同学的测试成绩是79分．小凡说：“小宇的成绩高于平均分，所以小宇的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小凡的说法正确吗？请说明理由．
（3）你认为哪个年级航天知识掌握的比较好呢？请说明理由．
20．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表：
探索发现：
（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示观察时间x，纵坐标表示水位读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
应用上述发现的规律：
（3）若观察时间为15min，水位读数为多少？
（4）若本次实验开始记录的时间是上午10：30，当水位读数为14cm时是几点钟？
21．2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个．医用口罩和N95口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系 ．
小明的妈妈一共有几种购买方案？
22．【学科融合】物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图1是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵AB∥CD（已知），
∴ ．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
即： ．
∴EF∥GH （ ）．
【尝试探究】（2）如图2，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数．
【拓展应用】（3）两块平面镜AB，BC，且∠ABC＝α，入射光线EF经过两次反射，得到反射光线GH，如图3，光线EF与GH相交于点O，请直接写∠FOG的度数（结果用含α的式子表示）．
参考答案
一、选择题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．0B．π0C．D．
解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、π0＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、，4是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：3﹣＝2，故选项A错误，不符合题意；
＝，故选项B正确，符合题意；
＝，故选项C错误，不符合题意；
不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
3．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和陈冬、刘洋、蔡旭哲3名中国航天员送入太空，这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启．在正式发射前教练分别对三位航天员的10次训练成绩进行统计分析，若要判断他们的成绩是否稳定，则教练需要知道每位航天员这10次成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
解：众数、平均数是反映一组数据的集中趋势，而频数是数据出现的次数，只有方差是反映数据的波动大小的．
故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差．
故选：D．
4．下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3、4、5B．4、5、6C．6、8、10D．9、40、41
解：A、32+42＝52，是勾股数，不符合题意；
B、42+52≠62，不是勾股数，符合题意；
C、62+82＝102，是勾股数，不符合题意；
D、92+402＝412，是勾股数，不符合题意；
故选：B．
5．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A．该方程组中第一个方程的未知数x的次数是2次，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．方程xy＝2是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．该方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意；
D．该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，点A（1，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，4）B．（﹣1，4）C．（0，﹣4）D．（﹣1，﹣4）
解：点A（1，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣4），
故选：D．
7．如图，关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：由函数图象可得：直线y＝x+6与直线y＝﹣ax+b的交点坐标为：（﹣1，5），
即方程组的解为，
∴关于x，y的方程组的解是．
故选：D．
8．一次函数y＝（k﹣2）x+2，且函数值y随自变量x的增大而减小，则k有可能是（ ）
A．0B．3C．2D．5
解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+2，且函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2．
故选：A．
9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，则OA21的长为（ ）
A．22B．C．21D．
解：∵OA1＝1，OA2＝＝，OA3＝＝，..．，
∴OAn＝，
∴OA21＝，
故选：D．
10．如图是螳螂的示意图，已知AB∥DE，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠CDE＝72°，则∠BCD的度数为（ ）
A．12°B．30°C．42°D．24°
解：延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠ACB＝30°，
∵AB∥DE，
∴∠CFD＝∠A＝30°，
∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，
∴∠ACD＝∠CDE﹣∠CFD＝72°﹣30°＝42°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝42°﹣30°＝12°．
故选：A．
二、填空题（本题共有5个小题，每小题3分，共15分）
11．“你的作业做完了吗”这句话 不是 命题．（填“是”或者“不是”）
解：“你的作业做完了吗”这句话不是命题．
故答案为：不是．
12．将函数y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后得到的函数表达式 y＝2x﹣4 ．
解：根据题意，得平移后的函数表达式为y＝2x+1﹣5＝2x﹣4，
故答案为：y＝2x﹣4．
13．请写出一个能使二次根式在实数范围内有意义的x的值 x≥4 ．
解：由题意得，x﹣4≥0，
解得x≥4，
故答案为：x≥4．
14．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 ．
解：根据题意，得，
故答案为：．
15．为吸引顾客，甲、乙两个草莓采摘园在售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图2所示，则①甲园的门票费用是60元；②甲园草莓优惠前的销售价格是60元/千克；③乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠；④若顾客采摘20千克草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠．
则以上说法正确的是 ①③ ．
解：由图象可得，
甲园的门票费用是60元，
故①正确；
草莓优惠前的销售价格是150÷5＝30（元/千克），
故②错误；
乙园超过5千克后，超过的部分价格是＝15（元/千克），
∵＝0.5，
∴乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠，
故③正确；
由图可知，若顾客采摘20千克草莓，那么到乙园比到甲园采摘更实惠，
故④错误．
故答案为：①③
三、解答题（本题共有7个小题，共55分）
16．计算．
解：
＝﹣
＝2﹣
＝．
17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，△ABC的位置如图所示，已知点A（0，2）．
（1）请在方格纸中建立平面直角坐标系，并写出B、C的坐标．
（2）请你按照小明的思路证明∠ABC是直角．
（1）解：如图所示：B的坐标（1，﹣1），C（4，0）；
（2）证明：AB＝BC＝＝，
AC＝＝，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形且∠ABC是直角．
18．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作DE∥BC．
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DA
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能．
方法运用：
如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求∠1的度数．
解：过点G作作GH∥AB．
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠∠FGH＝∠GFC，∠1＝∠EGH，
由三角板的度数知∠CFG＝60°，∠EGF＝90°，
∴∠FGH＝∠GFC＝60°，
∴∠EGH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠1＝∠EGH＝30°．
19．2022年10月12日下午，宇宙最牛网课“天宫课堂”上新了，新晋“太空讲师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级和八年级各随机抽取100名学生进行测试，将学生成绩（单位：分）分为5组（A．0≤x＜60；B．60≤x＜70；C．70≤x＜80；D．80≤x＜90；E．90≤x≤100），并对成绩进行整理、分析，部分信息如下：
①七年级航空航天知识测试成绩扇形统计图
②八年级航空航天知识测试成绩频数分布表：
③将八年级在D组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：
80，80，82，82，82，83，83，83，83，83
④七、八年级航空航天知识测试成绩的平均数、中位数、众数如下表．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 18 ，b＝ 81 ；
（2）八年级小宇同学的测试成绩是79分．小凡说：“小宇的成绩高于平均分，所以小宇的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小凡的说法正确吗？请说明理由．
（3）你认为哪个年级航天知识掌握的比较好呢？请说明理由．
解：（1）a＝100﹣7﹣10﹣35﹣30＝18，
b＝0.5×（80+82）＝81，
故答案为：18，81；
（2）小凡的说法不正确，
理由：平均分反应的是平均水平，中位数反应的是比中位数高的和低的人数各占一半；
（3）我认为八年级航天知识掌握的比较好，
理由：两个年级的平均分相同，而八年级的中位数和众数都高于七年级，所以八年级的航天知识掌握的比较好．
20．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表：
探索发现：
（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示观察时间x，纵坐标表示水位读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
应用上述发现的规律：
（3）若观察时间为15min，水位读数为多少？
（4）若本次实验开始记录的时间是上午10：30，当水位读数为14cm时是几点钟？
解：（1）描点如图：
（2）这些点是在同一条直线上，设它们所在直线表达式为y＝kx+b，
把（0，2），（1，2.4）代入得：
，
解得，
∴它们所在直线表达式为y＝0.4x+2；
（3）在y＝0.4x+2中，令x＝15，得y＝0.4×15+2＝8，
∴水位读数为8cm；
（4）在y＝0.4x+2中，令y＝14得：
0.4x+2＝14，
解得x＝30，
∵本次实验开始记录的时间是上午10：30，
∴水位读数为14cm时是11：00．
21．2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个．医用口罩和N95口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系 3a+1.5（200﹣a）+25b＝600 ．
小明的妈妈一共有几种购买方案？
解：（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元，；
（2）∵共花了600元，
∴3a+1.5（200﹣a）+25b＝600，即3a+50b＝600，
∵a、b均为正整数，
∴a＝150，b＝3或a＝100，b＝6或a＝50，b＝9．，
∴小明的妈妈一共有3种购买方案．
故答案为：3a+1.5（200﹣a）+25b＝600．
22．【学科融合】物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图1是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵AB∥CD（已知），
∴ ∠2＝∠3 ．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
即： ∠EFG＝∠FGH ．
∴EF∥GH （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【尝试探究】（2）如图2，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数．
【拓展应用】（3）两块平面镜AB，BC，且∠ABC＝α，入射光线EF经过两次反射，得到反射光线GH，如图3，光线EF与GH相交于点O，请直接写∠FOG的度数（结果用含α的式子表示）．
解：（1）潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行的，理由：
∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
即：∠EFG＝∠FGH，
∴EF∥GH （内错角相等，两直线平行）；
故答案为：∠2＝∠3；∠EFG＝∠FGH；内错角相等，两直线平行；
（2）∵EF∥GH，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2（∠2+∠3）＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠ABC+∠2+∠3＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°，
即α＝90°；
（3）∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝180°﹣α，
∴∠1+∠4＝180°﹣α，
∵∠1+∠2+∠EFG+∠3+∠4+∠FGH＝180°+180°＝360°，
∴∠EFG+∠FGH＝2α，
∵∠EFG+∠FGH+∠FOG＝180°，
∴∠FOG＝180°﹣2α．组别
A
B
C
D
E
成绩x（分）
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
8
10
30
15
年级
平均数
中位数
众数
七年级
78
80
80
八年级
78
b
83
供水时间t（min）
0
1
2
3
4
5
6
…
水位读数h（cm）
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
…
组别
A
B
C
D
E
成绩x（分）
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
8
10
30
15
年级
平均数
中位数
众数
七年级
78
80
80
八年级
78
b
83
供水时间t（min）
0
1
2
3
4
5
6
…
水位读数h（cm）
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
…