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人教版八年级数学下册 专题05平行四边形的四种几何综合问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册 专题05平行四边形的四种几何综合问题(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了折叠问题，平行四边形中的最值问题，动点问题，旋转问题等内容，欢迎下载使用。
类型一、折叠问题
例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．
【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为 ____________
【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
类型二、平行四边形中的最值问题
例．（将军饮马模型）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．
【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【变式训练4】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．
类型三、动点问题
例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．
【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？
类型四、旋转问题
例．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．
【变式训练1】在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为（ ）
A．5B．C．7D．
【变式训练2】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．
(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．
①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；
②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．
【变式训练3】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．
(3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系．
专题05 平行四边形的四种几何综合问题
类型一、折叠问题
例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
【答案】A
【详解】解：如图：连接，作，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴且，
∴，
∴；
∵M是中点，
∴，
∴，
∴；
∵折叠，
∴，
∴当 三点共线时，的长度最小，
∴此时，
故选：A．
例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【详解】解：延长交于点H，
∵恰好垂直于，且四边形是平行四边形，
∴也垂直于，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．
【答案】
【详解】解：由折叠知：，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴∠，
∴，
∴，
过点作，垂足为F，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
【答案】7
【详解】∵向上翻折，点A正好落在边上，∴，，
∵的周长为6，的周长为20，
∴，，∴，
∴
∵，，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，即，
∴．
故答案为：7．
【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为 ____________
【答案】45
【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．
∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，
∴，，，
∵，∴，
∵D、T关于对称，∴，，∴，
∵，∴B、A、T共线，
∴，
∵， ，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
则的最小值为45．
故答案为：45．
【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6，5BE=AE，
∴AE=5，BE=，
由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=，
∴AF=AM+FM=6+=．
∴AF长度为．
故答案为：．
类型二、平行四边形中的最值问题
例．（将军饮马模型）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．
【答案】
【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A与点F关于直线对称，
∴，，则，
∴是等边三角形，
∵在中，，
∴，
过点E作直线的垂线，垂足为点G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【答案】9.6
【详解】设交于点，过点作于点，如图所示，
在四边形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴,
在中，，
∵，
∴，
当点与点，重合时，最小，
∴的最小值为．
故答案为：．
【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
【答案】3
【详解】解：如图，过作交的延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的和最小，
∵，，
∴，
即：的最小值等于3；
故答案为：3．
【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，
在中，，，，
，
．
的最小值为．故答案为：．
【变式训练4】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．
【答案】
【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=，
∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO=，
∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，
当P与P'重合时，OP的值才是最小，∴则PQ的最小值为2OP′=2×OC=，
故答案为：．
类型三、动点问题
例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】4s或s
【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：4s或s．
【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．
【答案】2
【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为：2．
【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？
【答案】分别需经过；或．理由见解析．
【详解】解：①设经过，，
此时四边形成为平行四边形，
∵，∴，解得，∴当s时，且PQ=CD
②设经过，，
如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或平行四边形，
∵，∴四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，
∵AD=24cm，BC=26cm，∴（cm），
当四边形PQCD为梯形（腰相等）时，，
∴，解得，∴当s时，PQ=CD，
当四边形为平行四边形或梯形（腰相等），为平行四边形时有s，PQ=CD，
综上所述，当s时，；当s或s时，PQ=CD．
类型四、旋转问题
例．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．
【答案】(1)，
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【详解】（1）点N，分别是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转知，，
，，，，，
利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，
同（1）的方法得，，，
同（1）的方法得，，，
，
，
，，
，是等腰直角三角形；
（3）由（2）知是等腰直角三角形，
∴．∴当最大时，最大．
∵，∴最大时最大．
∴当点D在的延长线上时最大，如图，
此时中，，，．
∴．
【变式训练1】在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为（ ）
A．5B．C．7D．
【答案】B
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
，，点是的中点，
，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，
在中，，
当点在的延长线上时，有最大值为，
故选：B．
【变式训练2】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．
(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．
①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；
②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．
【答案】(1)或
(2)①；②
【详解】（1）当点在的延长线上时，，
当点在线段上时，，
故CD的长为或12．
（2）①如图2中，连接，．
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
②如图3中，连接，延长交于，交于．
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
同法可得，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【变式训练3】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．
(3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)7
(3)或
【详解】（1）证明：∵于点M．于点N
∴，
∴ ，
∴
又∵P为边中点，
∴，
又 ，
，
∴ ．
（2）解：如图：延长与的延长线相交于点E
∵于点M．于点N
∴
∴，
∴
∴，
又∵P为中点，
∴
又∵ ，
∴，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵
∴．
（3）解：①如图1当点B，P在直线a的异侧时，
∵,
∴，
∵，
∴MG=GN，
∴，
∵，
∴；
①如图2：当点B，P在直线a的同侧时，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或．
类型一、折叠问题
例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．
【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为 ____________
【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
类型二、平行四边形中的最值问题
例．（将军饮马模型）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．
【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【变式训练4】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．
类型三、动点问题
例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．
【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？
类型四、旋转问题
例．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．
【变式训练1】在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为（ ）
A．5B．C．7D．
【变式训练2】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．
(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．
①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；
②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．
【变式训练3】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．
(3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系．
专题05 平行四边形的四种几何综合问题
类型一、折叠问题
例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
【答案】A
【详解】解：如图：连接，作，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴且，
∴，
∴；
∵M是中点，
∴，
∴，
∴；
∵折叠，
∴，
∴当 三点共线时，的长度最小，
∴此时，
故选：A．
例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【详解】解：延长交于点H，
∵恰好垂直于，且四边形是平行四边形，
∴也垂直于，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．
【答案】
【详解】解：由折叠知：，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴∠，
∴，
∴，
过点作，垂足为F，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
【答案】7
【详解】∵向上翻折，点A正好落在边上，∴，，
∵的周长为6，的周长为20，
∴，，∴，
∴
∵，，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，即，
∴．
故答案为：7．
【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为 ____________
【答案】45
【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．
∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，
∴，，，
∵，∴，
∵D、T关于对称，∴，，∴，
∵，∴B、A、T共线，
∴，
∵， ，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
则的最小值为45．
故答案为：45．
【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6，5BE=AE，
∴AE=5，BE=，
由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=，
∴AF=AM+FM=6+=．
∴AF长度为．
故答案为：．
类型二、平行四边形中的最值问题
例．（将军饮马模型）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．
【答案】
【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A与点F关于直线对称，
∴，，则，
∴是等边三角形，
∵在中，，
∴，
过点E作直线的垂线，垂足为点G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【答案】9.6
【详解】设交于点，过点作于点，如图所示，
在四边形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴,
在中，，
∵，
∴，
当点与点，重合时，最小，
∴的最小值为．
故答案为：．
【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
【答案】3
【详解】解：如图，过作交的延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的和最小，
∵，，
∴，
即：的最小值等于3；
故答案为：3．
【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，
在中，，，，
，
．
的最小值为．故答案为：．
【变式训练4】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．
【答案】
【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=，
∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO=，
∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，
当P与P'重合时，OP的值才是最小，∴则PQ的最小值为2OP′=2×OC=，
故答案为：．
类型三、动点问题
例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】4s或s
【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：4s或s．
【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．
【答案】2
【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为：2．
【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？
【答案】分别需经过；或．理由见解析．
【详解】解：①设经过，，
此时四边形成为平行四边形，
∵，∴，解得，∴当s时，且PQ=CD
②设经过，，
如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或平行四边形，
∵，∴四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，
∵AD=24cm，BC=26cm，∴（cm），
当四边形PQCD为梯形（腰相等）时，，
∴，解得，∴当s时，PQ=CD，
当四边形为平行四边形或梯形（腰相等），为平行四边形时有s，PQ=CD，
综上所述，当s时，；当s或s时，PQ=CD．
类型四、旋转问题
例．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．
【答案】(1)，
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【详解】（1）点N，分别是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转知，，
，，，，，
利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，
同（1）的方法得，，，
同（1）的方法得，，，
，
，
，，
，是等腰直角三角形；
（3）由（2）知是等腰直角三角形，
∴．∴当最大时，最大．
∵，∴最大时最大．
∴当点D在的延长线上时最大，如图，
此时中，，，．
∴．
【变式训练1】在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为（ ）
A．5B．C．7D．
【答案】B
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
，，点是的中点，
，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，
在中，，
当点在的延长线上时，有最大值为，
故选：B．
【变式训练2】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．
(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．
①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；
②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．
【答案】(1)或
(2)①；②
【详解】（1）当点在的延长线上时，，
当点在线段上时，，
故CD的长为或12．
（2）①如图2中，连接，．
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
②如图3中，连接，延长交于，交于．
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
同法可得，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【变式训练3】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．
(3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)7
(3)或
【详解】（1）证明：∵于点M．于点N
∴，
∴ ，
∴
又∵P为边中点，
∴，
又 ，
，
∴ ．
（2）解：如图：延长与的延长线相交于点E
∵于点M．于点N
∴
∴，
∴
∴，
又∵P为中点，
∴
又∵ ，
∴，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵
∴．
（3）解：①如图1当点B，P在直线a的异侧时，
∵,
∴，
∵，
∴MG=GN，
∴，
∵，
∴；
①如图2：当点B，P在直线a的同侧时，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或．
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