人教版八年级数学下册 专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册 专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(原卷版+解析)，共72页。试卷主要包含了面积问题，最值问题，等腰三角形存在性问题，直角三角形存在性问题，等腰直角三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，菱形存在性问题等内容，欢迎下载使用。

类型一、面积问题
例．如图，直线AB的表达式为，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为点C在线段上，交y轴于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若，求点C的坐标．
(3)若与的面积相等，在直线上有点P，满足与的面积相等，求点P坐标．
【变式训练1】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
(1)填空：________；________；________；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求直线的解析式和点B的坐标；
(2)求的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标．
类型二、最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过、两点．
(1)______，______．
(2)已知、，
①在直线上找一点P，使．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；
②点P的坐标为______；③点Q在y轴上，那么的最小值为______．
【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线经过和两点，且与轴，轴分别相交于，两点．
(1)求直线的表达式；
(2)若点在直线上，当的面积等于2时，求点的坐标；
(3)①在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为______；
②在轴上找一点，使得的值最大，则点的坐标为______．
【变式训练2】如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)点D是一次函数图象上的一点，且的面积是4，求点D的坐标；
(3)点P是y轴上一点，当的值最小时，若存在，点P的坐标是______．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，．
(1)求点的坐标；
(2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围；
(3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长．
类型三、等腰三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．
(1)A的坐标是______，B的坐标是______；
(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．
(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．
【变式训练1】直线与x轴、y轴分别交于两点，且．
(1)求的长和k的值：
(2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？
(3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）
【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)如图1，求直线的解析式和A点坐标；
(2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若，求点P坐标；
(3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，求点Q的坐标．
【变式训练3】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2，点为轴上的一个动点．
(1)求点的坐标和、的值；
(2)连接，当与的面积相等时，求点的坐标；
(3)连接，是否存在点使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四、直角三角形存在性问题
例．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
(1)直线的函数表达式．
(2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．
(3)若为直角三角形，求点D的坐标．
【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段上的一个动点，点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到 A停止运动）．设点P的运动时间为．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)当的面积为12时，求t的值；
(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)已知点是直线上的动点，
若的面积为4，求点的坐标；
若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【变式训练3】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为．
(1)则______，______，______；
(2)关于， 的二元一次方程组y=x+1,y=kx+b的解为______；
(3)求四边形的面积；
(4)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标．
类型五、等腰直角三角形存在性问题
例．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．
(1)求证：．
(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．
(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【变式训练1】综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA的中点，点与点关于轴对称，作直线．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)若点是直线上的一个动点．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．如图2，连接，．直接写出为直角三角形时点的坐标．
B．如图3，连接，过点作轴于点．直接写出为等腰直角三角形时点的坐标．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
类型六、平行四边形存在性问题
例．在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．
(3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【变式训练2】如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．
(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；
(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．
类型七、菱形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A，
(1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________；
(2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P．
(1)A点坐标为________，P点坐标为________；
(2)在线段上有一个动点M，过M点作直线轴，与直线相交于点N，若的面积为，求M点的坐标．
(3)若点C为线段上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．
专题09 一次函数与几何图形综合的七种考法
类型一、面积问题
例．如图，直线AB的表达式为，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为点C在线段上，交y轴于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若，求点C的坐标．
(3)若与的面积相等，在直线上有点P，满足与的面积相等，求点P坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：令，则，
令，则，
解得：，
∴点；
（2）解：如图，过点C作于点F，
∵，
∴，
∵点D坐标为，点B的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴点F的坐标为，
即点C的横坐标为2，
当时，，
∴点C的坐标为；
（3）解：设点C的坐标为，
∵与的面积相等，
∴，即，
∴，
即，
解得：，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
如图，连接，
∵与的面积相等，
∴点O和点P到距离相等，此时，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴点P的坐标为．
【变式训练1】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
(1)填空：________；________；________；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，4，2
(2)存在，
(3)存在，或
【详解】（1）∵直线与轴交于点，且经过定点，
∴，
∴，
∴直线，
∵直线经过点，
∴，
∴，
把代入，得到．
∴，，．
故答案为：，4，2；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小．
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得到，
∴，
∴存在一点，使的周长最短，；
（3）∵点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线，
∴，
∵，
∴，
∵点的运动时间为秒．
∴，
分两种情况：①点在线段上，
∵和的面积比为，
∴，
∴
∴，
∴；
②点在线段的延长线上，
∵和的面积比为，
∴，
∴，
∴
综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)5；
(2)；
(3)．
【详解】（1）解：如图，连接，
，，，，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：设，
直线的解析式为：，
则有：，
解得：，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
整理得，
解得或（不符合题意，舍去），
．
【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求直线的解析式和点B的坐标；
(2)求的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【详解】（1）解：∵直线：交y轴于点，
∴，
∴直线为，
当时，，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴D的横坐标为1，
当时，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴，
①以为腰时，
当B为直角顶点时，如图，过点C作轴于点H，
则，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点；
当P为直角顶点时，如图，过点C作于点G，
，
则，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点；
②以为底时，如图，过点C作于点G，作轴于点H，
则，，
∴，∴，
∴∴，∴，，
∴，即，∴，∴点；
综上，符合题意的点C坐标为或或．
类型二、最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过、两点．
(1)______，______．
(2)已知、，
①在直线上找一点P，使．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；
②点P的坐标为______；
③点Q在y轴上，那么的最小值为______．
【答案】(1)，4；(2)①见解析；②；③5
【详解】（1）解：将、代入中，
得：，解得；，故答案为：，4；
（2）①如图，点P即为所求；
②由作图可知：点P在的垂直平分线上，
∵、，
∴点P的横坐标为1，代入中，
得：，
∴；
③∵，
∴点N关于y轴对称点为，
则，
∴，
∴的最小值为．
【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线经过和两点，且与轴，轴分别相交于，两点．
(1)求直线的表达式；
(2)若点在直线上，当的面积等于2时，求点的坐标；
(3)①在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为______；
②在轴上找一点，使得的值最大，则点的坐标为______．
【答案】(1)；(2)或；(3)①②
【详解】（1）解：设直线的表达式是，
∵直线经过和两点，
解得：，
∴直线的表达式是；
（2）在中，令，则，
∴，
∴，
设，
∵的面积等于2，
∴，即：，
∴，
∴或；
（3）①如图，
∵，
∴当时，最小，
故点在线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线交轴于点，则点即为所求．∴，
设， ∴ 解得：，
故点的坐标为，故答案为：；
②如图，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于，
则，即，当三点共线时，的值最大，
∵，∴．
设直线的解析式为，
把的坐标代入得 解得，
∴直线的解析式为：
当时，，∴．
故答案为：．
【变式训练2】如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)点D是一次函数图象上的一点，且的面积是4，求点D的坐标；
(3)点P是y轴上一点，当的值最小时，若存在，点P的坐标是______．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）当时，，
∴点 ，
∴，即，
∴正比例函数的表达式为 ；
（2）设点 ，
当时，，
∴点 ，
∴，
∵的面积是4，
∴ ，
解得：或2，
∴点D的坐标为或 ；
（3）存在，理由如下：
如图，
取点C关于y轴的对称点，则,
即点P位于与x轴的交点时，最小，
∵点 ，
∴点，
设直线的解析式为 ，
把点，代入得 ：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，．
(1)求点的坐标；
(2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围；
(3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：∵轴，轴，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，，∴，∴，∴点的坐标为：．
（2）解：设经过点，的直线的解析式为，且，，
∴，解方程组得，，∴经过点，的直线的解析式为，∴，
∵点在直线上，∴，∴，则直线的解析式表示为，
若直线经过点，则，解方程得，；若直线经过点，则，
∴的取值范围是．
（3）解：根据“三角形两边之差小于第三边”可知，，
∴的最大值为，则点为直线与轴的交点，由（1）可知，，如图所示，
过点作轴于，根据勾股定理得，，
设，则，解方程得，，∴，
∴当取得最大值时，的长为．
类型三、等腰三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．
(1)A的坐标是______，B的坐标是______；
(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．
(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或或或．
【详解】（1）解：一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B，
令，即，
解得，
令，即，
，，
故答案为：，；
（2）设直线的解析式，
将，代入，
，
解得，
∴直线的函数解析式，
设点，则点，点，
依题意可得，
∴，
解得：，；
（3）设, 而，
，，，
当时，有，解得：，，
当,有，解得：，
不合题意舍去，，
当时，有，解得：或，
或，
综上所述：或或或，
【变式训练1】直线与x轴、y轴分别交于两点，且．
(1)求的长和k的值：
(2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？
(3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）
【答案】(1)，；
(2)当点A运动到时，的面积是；
(3)，，，．
【详解】（1）解：，
当时，，∴点C的坐标为，∴，
又，∴，即点B的坐标为，
将代入，得：，解得，；综上所述：，．
（2）作于D，
由题意得，，
，解得，，即点A的纵坐标为4，，解得，，
∴当点A运动到时，的面积是；
（3）在（2）成立的情况下，y轴上存在一点P，使是等腰三角形，
分四种情况考虑：
当时，；
当时，；
当时，作，，
为线段垂直平分线与轴的交点，，，，
设，则，
在中，，即
在中，，即，
，，，
当时，；
综上，P的坐标为，，，．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)如图1，求直线的解析式和A点坐标；
(2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若，求点P坐标；
(3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】(1)；；(2)，．(3)，，．
【详解】（1）解： ∵，，
∴，，∴，解得：，
设为，∴，解得：，∴，
∵垂直平分，
∴的中点的坐标为：，，
过作于，则，
∴，∴，∴．
（2）在y轴上取一点，使得．
∵，
∴，解得，，∴，．
∵，，
同理可得：的解析式为：，
作交于P，∴，
∴ ，即
同理，∴．
综上：，．
（3）①如图，当时，
由轴对称的性质可得：，
∵，
∴，
∴由垂直平分线的判定定理可得：，互相垂直平分，
∴在轴上，且，
设，
∴，解得：，
∴，
∴．
②当时，如图，
由，
∴为等边三角形，
此时，重合，∴；
③当时，在直线上，如图，
∵，
∴，，，
作，在轴上，
∴，，
∴，
∴；
同理：如图，当在的位置，在的位置，
此时．
综上：或或．
【变式训练3】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2，点为轴上的一个动点．
(1)求点的坐标和、的值；
(2)连接，当与的面积相等时，求点的坐标；
(3)连接，是否存在点使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)或
(3)存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或
【详解】（1）解：将代入，得，∴点的坐标为．
∵一次函数的图象与轴交于点，∴， 即．
将点代入，得，解得．
（2）解：∵，，
∴，中边上的高为2，
∴，∴．
在中，令，得，
∴，即中，边上的高为，
∴，解得．
又∵，∴或．
（3）解：如图1，过点作轴于点，
则，
所以，，所以．
①当时，．
因为，所以此时点的坐标为或；
②当时，由等腰三角形的性质易得．因为，所以．
因为，所以此时点的坐标为；
③当时，如图2，设，则
，，所以，
所以，解得，所以此时点的坐标为．
综上可知，存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或．
类型四、直角三角形存在性问题
例．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
(1)直线的函数表达式．
(2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．
(3)若为直角三角形，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：将代入直线中，
解得，
∴直线的解析式为，
将点A的坐标代入，得，
∴，
将点A的坐标代入直线中，
解得，
∴直线的解析式为：
（2）（3）过点A作轴于M，轴于N，则，
由折叠得，
∴，
∴，
解得（负值已舍去），
又E在y轴负半轴，
∴；
（3）分两种情况：
①当时，如图，
由折叠得，
，
过A作AG⊥x轴于G，，
，，∴；
②当时，如图，
由折叠得，，
∴，
由A、B两点坐标可得：，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
综上，或．
【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段上的一个动点，点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到 A停止运动）．设点P的运动时间为．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)当的面积为12时，求t的值；
(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，t的值为4或6
【详解】（1）解：在中，令得，
解得，
∴，
在中，令得，
∴；
（2）解：过C作轴于H，连接，如图：
在中，令得：，
解得，
∴，
∴，
由，得：，
∴，
∴，
∵点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，即，
解得；
（3）解：存在，理由如下：
①当时，过C作轴于H，如图：
∵，，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，解得；
②当时，如图：
此时是等腰直角三角形，，
∴，∴ ，
综上所述，t的值为4或6．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)已知点是直线上的动点，
若的面积为4，求点的坐标；
若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)，；或
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
直线与轴交于点与轴交于点，
，解得， 直线的解析式为，
把代入，得，，．
（2）解：，，
直线轴交轴于点，，
， ，，；
一定不是直角，
当时，点恰好在点，，
当时，
，
由题可得，，，
，，
，，
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或．
【变式训练3】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为．
(1)则______，______，______；
(2)关于， 的二元一次方程组y=x+1,y=kx+b的解为______；
(3)求四边形的面积；
(4)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标．
【答案】(1)3，，2；(2)；(3)；(4)存在，的坐标为或
【详解】（1）对于直线，令，得到，即，
把代入中，得：，
把代入得：，即，
把坐标代入中得：，即，
故答案为：3，，2；
（2）∵一次函数与交于，
∴由图象得：的解为：；
故答案为：；
（3）∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴；
（4）如图所示，设，
∴，
，
，
分两种情况考虑：
（1）当时，，
①当时，，
∴，
∴，
∴；
②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1，
∵在轴上，
∴的坐标为，
综上，的坐标为或．
类型五、等腰直角三角形存在性问题
例．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．
(1)求证：．
(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．
(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)的解析式：
(3)点，，．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴ ，
又∵，
∴，
在与中，
∴；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图，
∵，
∴为等腰直角三角形，
由（1）得：，
∴，，
∵直线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，
把点，代入得：
∴，解得：，
∴的解析式：；
（3）解：当点位于直线上时，分两种情况：
设，
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则，
∴，；
由（1）得：，
∴，
即，
解得：；
∴；
当点在矩形的外部时， 则，
∴，；
由（1）得：，
∴，
即，
解得：；
∴；
②点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则，
∴；
同（1）得，，
∴，；
∴；
∴，
解得：；
∴；
综合上面情况可得：点的坐标为或或．
【变式训练1】综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA的中点，点与点关于轴对称，作直线．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)若点是直线上的一个动点．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．如图2，连接，．直接写出为直角三角形时点的坐标．
B．如图3，连接，过点作轴于点．直接写出为等腰直角三角形时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)直线的解析式为
(3)A．点的坐标为或；B．点的坐标为或
【详解】（1）解：当时，，
∴点，
当时，则，
解得，
∴点；
（2）∵点C是线段OA的中点，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴点，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）A．当时，则点的横坐标为，
则，
∴点的坐标为；
当，则点的横坐标为，
则，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；
B．∵为等腰直角三角形，
∴，
设点，则，
当点在之间时，
则，
解得：，
∴点；
当点在点左侧时，
则，
解得：，
∴点；
若点在点右侧时，
则，
解得：（不合题意，舍去）；
综上所述：点的坐标为或．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）解：∵经过，
∴，
∴直线的解析式是；
（2）解：当时，，解得，
∴点．
∴，
过点A作，垂足为M，则有，
∵时，，P在点D的上方，
∴，
∴；
∵，
∴，解得，
∴点．
根据题意得：，，
∴，
∴．
若，过点C作于点N，如图，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
若，如图，过点C作轴于点F．
∵，∴．
又∵，
∴．∴，
∴，∴；
若，如图，
∴，
∵，∴，
∴，∴；
∴点C的坐标是或或．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AP的解析式为
(2)
(3)Q的坐标为或或，理由见解析
【详解】（1）解：∵，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为；
（2）过作交x轴于D，连接，
∵，的面积等于6，
∴的面积等于6，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）Q的坐标为或或．
理由如下：
设，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，
∴，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，
∴，，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，
∴，，
同②可证，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上，Q的坐标为或或．
类型六、平行四边形存在性问题
例．在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．
(3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
【答案】(1)点的坐标为
(2)
(3)点的坐标为或或
【详解】（1）解：令则
令则
过点作轴于
由旋转得
点的坐标为
（2）作点关于轴的对称点连接延长交轴于点则点就是所求的最大值点
设直线的解析式为
，
解得，
（3）
设直线的解析式为，
则
解得
直线的解析式为，
设直线的解析式为
解得：
∴直线的解析式为
设
以为平行四边形的对角线时，
，
解得，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
当为平行四边形的对角线时
，解得，
综上所述点的坐标为或或
【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）由题意可得：解得，
∴，
∴
（2）如图所示，过点E作轴于G．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵，
∴设，
代入点和点的坐标得：，
解得，
∴的解析式为，
∴当时，，
∴与轴的交点坐标为．
（3）存在，点Р的坐标为：
∵，点的坐标为，
∴
又，，为顶点的四边形是平行四边形
设，当为平行四边形的对角线时，
解得：，则，
当为对角线时，，
解得：，则，
当为对角线时，，
解得：，则，
综上所述，点Р的坐标为：．
【变式训练2】如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．
(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；
(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．
【答案】(1)x＜1
(2)2
(3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）
【详解】（1）对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则
4=2x+2，
解得：x=1，
故点D（1，4），
从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2，
故答案为：x＜1；
（2）将点B（3，0）、D（1，4）代入y=kx+b得：
，
解得：，
故直线l2：y=-2x+6，
当x=0时，y=6,

对于直线l1：y=2x+2，当x=0时，y=2，
∴
∴
∴
（3）分别过点A、B作l2、l1的平行线交于点P″，交过点D作x轴的平行线于点P、P′，
对于直线l1：y=2x+2，当y =0时，x =-1，
∴
∵B(3,0)

①当AB是平行四边形的一条边时，
此时符合条件的点为下图中点P和P′，
则AB=4=PA=P′D，
故点P的坐标为（-3，4）或（5，4）；
②当AB是平行四边形的对角线时，
此时符合条件的点为图中点P″，DA平行且等于BP“，由平移可知，点P″（1，-4）；
综上，点P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）．
类型七、菱形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A，
(1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________；
(2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线的解析式为
(3)存在，点Q的坐标为或或（2，- 2）
【详解】（1）由得，
时，
时，
∴点B的坐标为，点C的坐标为.
（2）设点D的坐标为
∵的面积为6，
∵D是线段上的点，
∴点
设直线的解析式为
∴直线的解析式为
（3）若以为边，设点
①如图1，
当时，四边形是菱形，
∴点
②如图2，当
四边形 是菱形时，
∴点
∴点
③若为对角线，如图3
当与互相垂直平分时以为顶点的四边形是菱形，
∴点P的纵坐标为2
∴点P的坐标
∴点
综上所述，点Q的坐标为或或
【变式训练1】如图在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P．
(1)A点坐标为________，P点坐标为________；
(2)在线段上有一个动点M，过M点作直线轴，与直线相交于点N，若的面积为，求M点的坐标．
(3)若点C为线段上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)或；
(3)存在，D点坐标为或或，理由见解析．
【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，
令，则，
解得：，
点的坐标为，
直线与直线交于点P
令，
解得：，
，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：过P点作于点E，
设M点的横坐标为，
在线段上，
，
轴，
、两点横坐标相同，
在直线上，
，
，
，轴，，
，
，
，
整理得：，
解得：，，
点坐标为或；
（3）解：存在，
①若为对角线，则、互相垂直平分，
，，
的垂直平分线为直线，
为线段上一点，且C在直线上，
，
D点的坐标为；
②若为边， 设点C的坐标为，设D点坐标为，
当时，连接，对角线、交于点G，
四边形为菱形，
、互相垂直平分，
为、的中点，
，
，
，
解得：，（舍），
，
点G坐标为，即
中点坐标为，
，
，
D点的坐标为；

当时，连接对角线、交于点H，
四边形为菱形，
、互相垂直平分，
为、的中点，
，
，
，
解得：，，
（舍去）或，
点H坐标为，
中点坐标为，
，
，
点的坐标为，
综上可知，D点坐标为或或．