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人教版八年级数学下册 第十七章勾股定理压轴题考点训练(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册 第十七章勾股定理压轴题考点训练(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了如图， 中，，则 的值为，求代数式的最小值_____等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
2．如图，长方形中，，，将边沿一直线翻折，使点D的对应点G落在上，折痕交，于点E，F，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．在直角坐标系中，点，动点在第一象限，动点在轴上．当时，面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在等腰中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则的长度为（ ）
A．B．12C．D．18
7．求代数式的最小值_____．
8．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为______．
9．如图，中，，点在边上，，，延长至点，使，过点作于点，则_____．
10．如图，如果四边形中，，，，且，，，则______．
11．如图，在长方形中，点E是上的一点，过点E作，交于点F，作点D关于的对称点G，依次连接、、．已知，，且当是以为腰的等腰三角形时，则的值为_________________．
12．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长．
13．已知在中，，，点P在外，连接、，且．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，作的平分线交于点D，求的度数；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点E，在上取一点G，连接，若，，，求证：．
14．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，，，，，则的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为、，顶点在轴的正半轴上，的高交线段于点E，且．
(1)求证：；
(2)点在直线上，设点的横坐标是，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在值，使？若存在，请求出符合条件的值及的长；若不存在，请说明理由．
第十七章 勾股定理压轴题考点训练
1．如图， 中，，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图：过A作垂足为F
∵，∴
∵，∴ ，∴
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，
又∵，∴
在中，由勾股定理得：
∴，∴ ．
故选：A．
2．如图，长方形中，，，将边沿一直线翻折，使点D的对应点G落在上，折痕交，于点E，F，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】解：延长至点，使得，连接、、，
是长方形，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
边翻折至，
，，，
，，，
在和中，
，，
，，
即当时，有最小值，
是长方形，，
，，
由勾股定理得：，的最小值是5，
故选C．
3．在直角坐标系中，点，动点在第一象限，动点在轴上．当时，面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，根据题意，可得：，，
以为弦，所对的圆周角为作辅助圆，如图所示：
当点位于优弧中点时，点到的距离最大，为定值，
此时面积的最大，设辅助圆的圆心为，
∴，
∵，，
∴，
∴点到弦的距离为，
∴当点位于优弧中点时，点到直线的距离为，
∴面积的最大值为．
故选：B
4．如图，在等腰中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：连接、，
是等腰直角三角形，
在中，为的中点，
同理
点在的垂直平分线上运动，
作关于垂直平分线的对称点，
的最小值为
，
为中点，
，
在中
故选：C
5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由图象可知点在x轴上，
，
，
，
，
，
．
故选C．
6．如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则的长度为（ ）
A．B．12C．D．18
【答案】A
【详解】解：如图，过点A作的延长线于点F，设与交于点G，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7．求代数式的最小值_____．
【答案】10
【详解】解：把式子化为两点间距离公式，，
即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
如图所示，
设关于轴的对称点为，则，
要求的最小值，只需求的最小值，
根据线段的性质可得，的最小值为线段的长度，
，，
，
即代数式的最小值是10．
8．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，
∵为等腰的高，，∴，∴，
当F与点G重合时，取得最小值，
∴，∴，∴，
∴，
∴．
9．如图，中，，点在边上，，，延长至点，使，过点作于点，则_____．
【答案】
【详解】解：过点C作于H，
∵，，，∴，
在和中
，∴，∴，
∵，，∴，
∴．
10．如图，如果四边形中，，，，且，，，则______．
【答案】7
【详解】解：如图：在DC上取一点G，使，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
设，即，
在中，
∴，解得：．
∴．
11．如图，在长方形中，点E是上的一点，过点E作，交于点F，作点D关于的对称点G，依次连接、、．已知，，且当是以为腰的等腰三角形时，则的值为_________________．
【答案】或
【详解】解：①当时，是以为腰的等腰三角形，
在长方形中，
∵D关于的对称点G，
∴，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴，
∴，
设，则，，
在中，
即：，解得：，
，
∴的值为；
②当时，是以为腰的等腰三角形，
如下图1，过点B做，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D关于的对称点G，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中
∴，
∴，，
设，则，
∵，，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，则的值为或．
12．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长．
【答案】(1)是，见解析；(2)，见解析；(3)
【详解】（1）如图2，四边形是垂美四边形．
证明：连接交于点E，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
（2）猜想结论．
如图1，已知四边形中，∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）如图3，连接，
∵，
∴，即，
在B和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
13．已知在中，，，点P在外，连接、，且．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，作的平分线交于点D，求的度数；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点E，在上取一点G，连接，若，，，求证：．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）∵为等边三角形，
∴，
∵平分，设，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图，过作于，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，设，则，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
14．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，，，，，则的值为 ．
【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）8
【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
理由如下：∵，和均为等腰直角三角形，
∴，，
，
即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为、，顶点在轴的正半轴上，的高交线段于点E，且．
(1)求证：；
(2)点在直线上，设点的横坐标是，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在值，使？若存在，请求出符合条件的值及的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，
【详解】（1）解：∵是的高，
∴，
∴，
∴．
∵轴轴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴，．
∵，
∴．
（2）∵，
∴，，，
∴，
作轴于，轴于．
∵，
∴，，
∴平分第一、三象限．
∵点在直线上，点的横坐标是，
∴点的坐标是，
∴，
∴．
（3）∵，
，
∴，
∴，
∴．
∵平分第一、三象限，
∴与坐标轴的夹角是，
作坐标轴于F，则是等腰直角三角形，
∴．
A．B．C．D．
2．如图，长方形中，，，将边沿一直线翻折，使点D的对应点G落在上，折痕交，于点E，F，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．在直角坐标系中，点，动点在第一象限，动点在轴上．当时，面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在等腰中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则的长度为（ ）
A．B．12C．D．18
7．求代数式的最小值_____．
8．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为______．
9．如图，中，，点在边上，，，延长至点，使，过点作于点，则_____．
10．如图，如果四边形中，，，，且，，，则______．
11．如图，在长方形中，点E是上的一点，过点E作，交于点F，作点D关于的对称点G，依次连接、、．已知，，且当是以为腰的等腰三角形时，则的值为_________________．
12．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长．
13．已知在中，，，点P在外，连接、，且．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，作的平分线交于点D，求的度数；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点E，在上取一点G，连接，若，，，求证：．
14．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，，，，，则的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为、，顶点在轴的正半轴上，的高交线段于点E，且．
(1)求证：；
(2)点在直线上，设点的横坐标是，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在值，使？若存在，请求出符合条件的值及的长；若不存在，请说明理由．
第十七章 勾股定理压轴题考点训练
1．如图， 中，，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图：过A作垂足为F
∵，∴
∵，∴ ，∴
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，
又∵，∴
在中，由勾股定理得：
∴，∴ ．
故选：A．
2．如图，长方形中，，，将边沿一直线翻折，使点D的对应点G落在上，折痕交，于点E，F，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】解：延长至点，使得，连接、、，
是长方形，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
边翻折至，
，，，
，，，
在和中，
，，
，，
即当时，有最小值，
是长方形，，
，，
由勾股定理得：，的最小值是5，
故选C．
3．在直角坐标系中，点，动点在第一象限，动点在轴上．当时，面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，根据题意，可得：，，
以为弦，所对的圆周角为作辅助圆，如图所示：
当点位于优弧中点时，点到的距离最大，为定值，
此时面积的最大，设辅助圆的圆心为，
∴，
∵，，
∴，
∴点到弦的距离为，
∴当点位于优弧中点时，点到直线的距离为，
∴面积的最大值为．
故选：B
4．如图，在等腰中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：连接、，
是等腰直角三角形，
在中，为的中点，
同理
点在的垂直平分线上运动，
作关于垂直平分线的对称点，
的最小值为
，
为中点，
，
在中
故选：C
5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由图象可知点在x轴上，
，
，
，
，
，
．
故选C．
6．如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则的长度为（ ）
A．B．12C．D．18
【答案】A
【详解】解：如图，过点A作的延长线于点F，设与交于点G，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7．求代数式的最小值_____．
【答案】10
【详解】解：把式子化为两点间距离公式，，
即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
如图所示，
设关于轴的对称点为，则，
要求的最小值，只需求的最小值，
根据线段的性质可得，的最小值为线段的长度，
，，
，
即代数式的最小值是10．
8．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，
∵为等腰的高，，∴，∴，
当F与点G重合时，取得最小值，
∴，∴，∴，
∴，
∴．
9．如图，中，，点在边上，，，延长至点，使，过点作于点，则_____．
【答案】
【详解】解：过点C作于H，
∵，，，∴，
在和中
，∴，∴，
∵，，∴，
∴．
10．如图，如果四边形中，，，，且，，，则______．
【答案】7
【详解】解：如图：在DC上取一点G，使，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
设，即，
在中，
∴，解得：．
∴．
11．如图，在长方形中，点E是上的一点，过点E作，交于点F，作点D关于的对称点G，依次连接、、．已知，，且当是以为腰的等腰三角形时，则的值为_________________．
【答案】或
【详解】解：①当时，是以为腰的等腰三角形，
在长方形中，
∵D关于的对称点G，
∴，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴，
∴，
设，则，，
在中，
即：，解得：，
，
∴的值为；
②当时，是以为腰的等腰三角形，
如下图1，过点B做，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D关于的对称点G，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中
∴，
∴，，
设，则，
∵，，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，则的值为或．
12．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长．
【答案】(1)是，见解析；(2)，见解析；(3)
【详解】（1）如图2，四边形是垂美四边形．
证明：连接交于点E，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
（2）猜想结论．
如图1，已知四边形中，∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）如图3，连接，
∵，
∴，即，
在B和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
13．已知在中，，，点P在外，连接、，且．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，作的平分线交于点D，求的度数；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点E，在上取一点G，连接，若，，，求证：．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）∵为等边三角形，
∴，
∵平分，设，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图，过作于，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，设，则，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
14．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，，，，，则的值为 ．
【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）8
【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
理由如下：∵，和均为等腰直角三角形，
∴，，
，
即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为、，顶点在轴的正半轴上，的高交线段于点E，且．
(1)求证：；
(2)点在直线上，设点的横坐标是，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在值，使？若存在，请求出符合条件的值及的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，
【详解】（1）解：∵是的高，
∴，
∴，
∴．
∵轴轴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴，．
∵，
∴．
（2）∵，
∴，，，
∴，
作轴于，轴于．
∵，
∴，，
∴平分第一、三象限．
∵点在直线上，点的横坐标是，
∴点的坐标是，
∴，
∴．
（3）∵，
，
∴，
∴，
∴．
∵平分第一、三象限，
∴与坐标轴的夹角是，
作坐标轴于F，则是等腰直角三角形，
∴．
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