人教版八年级数学下学期复习 专题1.1二次根式精讲精练(10大易错题型深度导练(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下学期复习 专题1.1二次根式精讲精练(10大易错题型深度导练(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了1二次根式精讲精练，二次根式有无意义的条件，二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的运算，二次根式的混合运算，二次根式的应用，5−213−18+18等内容，欢迎下载使用。
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【知识梳理】
1.二次根式的定义
形如 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为 ．
2.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 ．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证 ．
3.二次根式的性质：
（1），（双重非负性）．
（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
4.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数 ；被开方数中不含 ．
5.二次根式的运算：
（1）二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的 .
推广：
（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的 .
（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再把被开方数相同的二次根式进行 ，合并方法为系数 ，根式 ．
二次根式的加减步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
6.二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．
①与实数的混合运算一致，运算顺序 ，最后 ，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．
（2）二次根式的运算结果要化为 ．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7.二次根式的应用：
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【典例剖析】&【变式训练】
考点1 二次根式的定义
【例1】（2022春•会东县校级月考）下列各式中，是二次根式的有（ ）
（1）6；（2）3.14−π；（3）x2+1；（4）3−27；（5）x2+2x+2；（6）|x|；（7）−2(2x−1)2；（8）11+2x(x＜−112)．
A．4个B．5个C．6个D．7个
【变式训练】
【变式1.1】（2022秋•德惠市期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．2B．mC．−16D．327
【变式1.2】（2022春•利州区校级月考）已知下列各式：−12，x−3，a2+3，0，(−1)2，其中二次根式有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1.3】（2022秋•高陵区期中）二次根式a中a的最小值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
考点2 二次根式的有意义的条件
【例2】（2022秋•新华区校级期末）代数式x−2x+2在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
【变式训练】
【变式2.1】（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式5x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x=25B．x≠25C．x≥25D．x≤25
【变式2.2】（2022秋•双牌县期末）当x＝2时，下列各式中，没有意义的是（ ）
A．x−2B．2−xC．x2−2D．2−x2
【变式2.3】（2022春•利州区校级月考）若y=x−2−2−x−4，则x﹣y的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
考点3 二次根式的性质与化简
【例3】（2022秋•市北区校级期末）下列各式中正确的是（ ）
A．9=±3B．x2=xC．3(−x)3=−xD．(−x)2=−x
【变式3.1】（2022秋•海港区期末）若(x−3)2=x−3，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
【变式3.2】（2020秋•弥勒市校级月考）当x=−34时，x2的值为（ ）
A．34B．−34C．±34D．a2+1
【变式3.3】（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：|a−2|+(a−4)2的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
考点4 最简二次根式与同类二次根式
【例4】（2022秋•漳州期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．3B．4C．12D．8
【变式训练】
【变式4.1】（2022秋•娄底期末）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A．a+1B．2x−1C．2b4D．y10
【变式4.2】（2022秋•卧龙区校级期末）下列二次根式中，能与2合并的是（ ）
A．12B．12C．20D．9
【变式4.3】（2022•天津模拟）若8与最简二次根式m+1能合并，则m的值为（ ）
A．7B．9C．2D．1
考点5 二次根式的乘除
【例5】．计算：
（1）2532×（−23158）；
（2）36a2+36b2．
【变式5.1】计算：
（1）3224•2318
（2）13219•（−419x2y）．
【变式5.2】计算
（1）45÷（﹣5145）
（2）2a2b2c5÷（ab2c3）（a＞0，b＞0，c＞0）
【变式5.3】．计算：
（1）212÷328×（−5227）；
（2）5bab3×（−25ab）÷13ba．
考点6 二次根式的加减
【例6】计算：
（1）5+20−45；
（2）38+218−50；
（3）239x+6x4−2x1x．
【变式训练】
【变式6.1】计算：
（1）22+32
（2）8+18
（3）16x+64x
（4）48−913+312．
【变式6.2】计算下列各式：
（1）5−6−20+23+95
（2）12−0.5−213−18+18
（3）27a−a3a+3a3+12a75a3
（4）23x9x+6xyx+yxy−x21x．
【变式6.3】若a、b为有理数，且8+18+18=a+b2，求ba的值．
考点7二次根式的混合运算
【例7】（2022秋•历城区期末）计算：
（1）|−22|−3−1−4×2+(π−5)0；
（2）(5+3)(5−3)−(3−1)2．
【变式训练】
【变式7.1】（2023•义乌市校级开学）计算：
（1）|3−2|+(−13)−1−20220；
（2）(32+23)(32−23)−(2−23)2．
【变式7.2】（2022秋•深圳期末）计算：
（1）28−7；
（2）12+|3−2|−(π−3.14)0；
（3）(3+2)(3−2)−(5−1)2．
【变式7.3】（2022秋•高新区校级期末）计算：
（1）(48+20)−(12−5)；
（2）48+3−214×30+(22+3)2．
【方法技巧】
二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
考点8二次根式的化简求值
【例8】（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【变式训练】
【变式8.1】（2022春•高昌区月考）已知x=6+2，y=6−2，
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+2xy+y2的值．
【变式8.2】（2022春•殷都区校级月考）已知a=5+2，b=5−2，求a2+ab+b2的值．
【变式8.3】（2022秋•永年区期末）已知x=17−5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
考点9二次根式的应用
【例9】（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为63cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3cm．求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．
【变式训练】
【变式9.1】（2022春•亭湖区校级月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）加高度h（单位：m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑风速的影响）．
（1）求从40m高空抛物到落地时间；
（2）已知高空坠物动能w（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）．
【变式9.2】（2021春•罗山县期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
12+13 212×13；6+3 26×3；1+15 21×15；7+7 27×7．
（2）由（1）中各式猜想a+b与2ab（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
【变式9.3】（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是v＝16df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
考点10二次根式与探究材料题
【例10】（2021春•泗阳县期末）在解决问题“已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值时，小明是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，
∴a﹣2=−3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解答下列问题：
（1）化简：23−1；
（2）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12021+2019；
（3）若a=12−1，求：
①12a2﹣a﹣1的值；
②2a2﹣5a2+1的值．
【变式训练】
【变式10.1】（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=(1+2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为整数），则有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+43= ．
（3）请化简：12−63
【变式10.2】（2021•市中区校级一模）观察下面的式子：
S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142⋯Sn＝1+1n2+1(n+1)2
（1）计算：S1= ，S3= ；猜想Sn= （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=S1+S2+S3+⋯+Sn（用n的代数式表示）．
【变式10.3】（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.1二次根式精讲精练（易错题型分类导练案）
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【知识梳理】
1.二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
2.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3.二次根式的性质：
（1），（双重非负性）．
（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
4.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
5.二次根式的运算：
（1）二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
二次根式的加减步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
6.二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．
①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7.二次根式的应用：
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【典例剖析】&【变式训练】
考点1 二次根式的定义
1．（2022春•会东县校级月考）下列各式中，是二次根式的有（ ）
（1）6；（2）3.14−π；（3）x2+1；（4）3−27；（5）x2+2x+2；（6）|x|；（7）−2(2x−1)2；（8）11+2x(x＜−112)．
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】二次根式的条件有三个：①含有根号②根指数是2③被开方数是非负数，三个条件缺一不可．按照此定义逐个排查即可．
【详解】（1）6，（3）x2+1，（5）x2+2x+2，（6）|x|符合二次根式的定义，属于二次根式；
（2）3.14−π，（8）11+2x(x＜−112)被开方数小于0，无意义，不是二次根式；
（7）−2(2x−1)2的被开方数是负数时，它无意义，不是二次根式；
（4）3−27属于三次根式．
共有4个二次根式．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，满足二次根式的条件有三个：①含有根号②根指数是2③被开方数是非负数，三个条件缺一不可．
【变式训练】
【变式1.1】（2022秋•德惠市期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．2B．mC．−16D．327
【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．
【详解】A、2＞0一定成立，被开方数是非负数，故选项正确；
B、当m＜0时，二次根式无意义，故选项错误；
C、被开方数为负数，二次根式无意义，故选项错误；
D、是三次根式，故选项错误．
故选：A．
【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子a（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【变式1.2】（2022春•利州区校级月考）已知下列各式：−12，x−3，a2+3，0，(−1)2，其中二次根式有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次根式的根指数是2且被开方数是非负数，解答即可．
【详解】x−3中当x＜3时，被开方数小于0，不是二次根式；
−12，a2+3，(−1)2是二次根式，共有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键．注意，二次根式的被开方数是非负数．
【变式1.3】（2022秋•高陵区期中）二次根式a中a的最小值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可得，a≥0，
∴二次根式a中a的最小值为0．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
考点2 二次根式的有意义的条件
【例2】（2022秋•新华区校级期末）代数式x−2x+2在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x的范围．
【详解】由题意可知：x−2≥0x+2≠0，
解得：x≥2，
∴x的值可能为2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键．
【变式训练】
【变式2.1】（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式5x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x=25B．x≠25C．x≥25D．x≤25
【分析】根据二次根式有意义的条件可得5x﹣2≥0，再解不等式即可．
【详解】由题意得：5x﹣2≥0，
解得：x≥25，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【变式2.2】（2022秋•双牌县期末）当x＝2时，下列各式中，没有意义的是（ ）
A．x−2B．2−xC．x2−2D．2−x2
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可求解．
【详解】A、当x＝2时，x−2=0，有意义；
B、当x＝2时，2−x=0，有意义；
C、当x＝2时，x2−2=2，有意义；
D、当x＝2时，2﹣x2＝﹣2＜0，没有意义．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【变式2.3】（2022春•利州区校级月考）若y=x−2−2−x−4，则x﹣y的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x，y的值，再代入x﹣y中即可求解．
【详解】由题意得x−2≥0，2−x≥0，
∴2≤x≤2，故x＝2，
∴y＝﹣4，
∴x﹣y＝2﹣（﹣4）＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数并据此求出x，y的值是解题关键．
考点3 二次根式的性质与化简
【例3】（2022秋•市北区校级期末）下列各式中正确的是（ ）
A．9=±3B．x2=xC．3(−x)3=−xD．(−x)2=−x
【分析】根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可．
【详解】A．9=3，故此选项不符合题意；
B．x2=，故此选项不符合题意；
C．3(−x)3=−x，故此选项符合题意；
D．(−x)2=，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
【变式训练】
【变式3.1】（2022秋•海港区期末）若(x−3)2=x−3，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
【分析】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可．
【详解】∵(x−3)2=x−3，
即x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
【点睛】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
【变式3.2】（2020秋•弥勒市校级月考）当x=−34时，x2的值为（ ）
A．34B．−34C．±34D．a2+1
【分析】根据a2=|a|，进行计算即可解答．
【详解】当x=−34时，x2=|x|＝|−34|=34，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，熟练掌握a2=|a|是解题的关键．
【变式3.3】（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：|a−2|+(a−4)2的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
【分析】根据数轴先确定a﹣2、a﹣4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
【详解】根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，
即：﹣2＞0，a﹣4＜0，
故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴及二次根式、绝对值的化简，关键是根据数轴得出a﹣2与a﹣4的正负情况．
考点4 最简二次根式与同类二次根式
【例4】（2022秋•漳州期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．3B．4C．12D．8
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】A、3属于最简二次根式，故本选项符合题意；
B、4=2不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、12=22不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、8=22不属于最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
【变式训练】
【变式4.1】（2022秋•娄底期末）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A．a+1B．2x−1C．2b4D．y10
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】A.a+1是最简二次根式，故A不符合题意；
B.2x−1是最简二次根式，故B不符合题意；
C.2b4是最简二次根式，故C不符合题意；
D.y10=10y10，不是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式4.2】（2022秋•卧龙区校级期末）下列二次根式中，能与2合并的是（ ）
A．12B．12C．20D．9
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可得出答案．
【详解】A．12=23，不能与2合并，故该选项不符合题意；
B．12=22，能与2合并，故该选项符合题意；
C．20=25，不能与2合并，故该选项不符合题意；
D．9=3，不能与2合并，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
【变式4.3】（2022•天津模拟）若8与最简二次根式m+1能合并，则m的值为（ ）
A．7B．9C．2D．1
【分析】先将8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】8=22，∵22与最简二次根式m+1能合并，
∴m+1＝2，
解得m＝1．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．
考点5 二次根式的乘除
【例5】计算：
（1）2532×（−23158）；
（2）36a2+36b2．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后化简二次根式；
（2）先进行根号下的加法运算，然后进行化简．
【详解】（1）原式=−4154516=−55；
（2）原式=36(a2+b2)a2b2=6|ab|a2+b2．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．
【变式训练】
【变式5.1】．计算：
（1）3224•2318
（2）13219•（−419x2y）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘法法则求解即可．
【详解】（1）原式＝36×22
＝123；
（2）原式=199×（﹣2xy19）
=−29xy．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．
【变式5.2】计算
（1）45÷（﹣5145）
（2）2a2b2c5÷（ab2c3）（a＞0，b＞0，c＞0）
【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简求解．
【详解】（1）原式＝﹣45×515=−43；
（2）原式=2a2b2c5⋅2c3ab=2cab．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键．
【变式5.3】计算：
（1）212÷328×（−5227）；
（2）5bab3×（−25ab）÷13ba．
【分析】（1）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可；
（2）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可．
【详解】（1）212÷328×（−5227）
=1352×128×（−5227），
=−5352×128×167，
=−53×107，
=−51021；
（2）5bab3×（−25ab）÷13ba
=5b×（−25）×3ab3×ab×ab，
=−6ba3b3，
＝﹣6aab．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．
考点6 二次根式的加减
【例6】．计算：
（1）5+20−45；
（2）38+218−50；
（3）239x+6x4−2x1x．
【分析】原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【详解】（1）原式=5+25−35=0；
（2）原式＝62+62−52=72；
（3）原式＝2x+3x−2x=3x．
【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练】
【变式6.1】计算：
（1）22+32
（2）8+18
（3）16x+64x
（4）48−913+312．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；
（2）首先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；
（3）首先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；
（4）首先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可．
【详解】（1）22+32=52；
（2）8+18=22+32=52；
（3）16x+64x=4x+8x=12x；
（4）48−913+312=43−9×33+3×23=73．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确把握运算法则是解题关键．
【变式6.2】计算下列各式：
（1）5−6−20+23+95
（2）12−0.5−213−18+18
（3）27a−a3a+3a3+12a75a3
（4）23x9x+6xyx+yxy−x21x．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式=5−6−25+63+355
=−255−263；
（2）原式＝23−22−233−24+32
=433+924；
（3）原式＝33a−3a+3a+523a
=113a2；
（4）原式＝2xx+6xy+xy−xx
＝xx+7xy．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
【变式6.3】若a、b为有理数，且8+18+18=a+b2，求ba的值．
【分析】首先化简各式，进而得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】∵8+18+18=a+b2，
∴22+32+24=2142=a+b2，
∴a＝0，b=214，
∴ba＝（214）0＝1．
【点睛】此题主要二次根式的化简求值以及乘方运算，正确化简二次根式是解题关键．
考点7二次根式的混合运算
【例7】（2022秋•历城区期末）计算：
（1）|−22|−3−1−4×2+(π−5)0；
（2）(5+3)(5−3)−(3−1)2．
【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后把4化简后合并即可；
（2）根据平方差公式和完全平凡的公式计算．
【详解】（1）原式＝22−13−22+1
=23；
（2）原式＝5﹣9﹣（3﹣23+1）
＝﹣4﹣4+23
＝23−8．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
【变式训练】
【变式7.1】（2023•义乌市校级开学）计算：
（1）|3−2|+(−13)−1−20220；
（2）(32+23)(32−23)−(2−23)2．
【分析】（1）根据绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】（1）原式＝2−3+（﹣3）﹣1
＝2−3−3﹣1
＝﹣2−3．
（2）原式＝（18﹣12）﹣（2﹣46+12）
＝6﹣（14﹣46）
＝6﹣14+46
＝﹣8+46．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键熟练运用平方差公式以及完全平方公式、绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
【变式7.2】（2022秋•深圳期末）计算：
（1）28−7；
（2）12+|3−2|−(π−3.14)0；
（3）(3+2)(3−2)−(5−1)2．
【分析】（1）先把28化简，然后合并即可；
（2）先根据零指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可；
（3）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）原式＝27−7
=7；
（2）原式＝23+2−3−1
=3+1；
（3）原式＝3﹣2﹣（5﹣25+1）
＝1﹣5+25−1
＝25−5．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
【变式7.3】（2022秋•高新区校级期末）计算：
（1）(48+20)−(12−5)；
（2）48+3−214×30+(22+3)2．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】（1）原式＝43+25−23+5
＝23+35．
（2）原式＝43+3−1×30+8+46+（3）2
＝53−30+8+46+3
＝11+46+53−30．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
考点8二次根式的化简求值
【例8】（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；
（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）∵a＝4﹣23，b＝4+23，
∴ab＝（4﹣23）×（4+23）
＝42﹣（23）2
＝16﹣12
＝4；
a﹣b＝（4﹣23）﹣（4+23）
＝4﹣23−4﹣23
＝﹣43；
（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣43，
所以2a2+2b2﹣a2b+ab2
＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）
＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）
＝2×[（﹣43）2+2×4]﹣4×（﹣43）
＝2×（48+8）+163
＝2×56+163
＝112+163．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式训练】
【变式8.1】（2022春•高昌区月考）已知x=6+2，y=6−2，
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+2xy+y2的值．
【分析】（1）直接将x、y的值代入进行计算即可；
（2）利用完全平方公式进行化简后再代入数值进行计算．
【详解】（1）x−y=6+2−(6−2)=22；
（2）x2+2xy+y2＝（x+y）2
=(6+2+6−2)2
=(26)2
＝24．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
【变式8.2】（2022春•殷都区校级月考）已知a=5+2，b=5−2，求a2+ab+b2的值．
【分析】由a=5+2，b=5−2易得a+b＝25，ab＝1，再变形a2+ab+b2得到（a+b）2﹣ab，然后把a+b＝25，ab＝1整体代入计算即可．
【详解】∵a=5+2，b=5−2，
∴a+b＝25，ab＝1，
∴a2+ab+b2
＝（a+b）2﹣ab
＝（25）2﹣1
＝20﹣1
＝19．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值．
【变式8.3】（2022秋•永年区期末）已知x=17−5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．
【详解】（1）xy
=17−5×17+5
=17−5
=12；
（2）x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（17−5+17+5）2+12
＝（7+5+7−52）2+12
＝（7）2+12
＝7+12
＝712．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
考点9二次根式的应用
【例9】（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为63cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3cm．求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．
【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；
（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．
【详解】（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（63）2﹣4×（3）2
＝108﹣12
＝96（cm2）；
（2）长方体盒子的体积：（63−23）（63−23）×3
＝43×43×3
＝483（cm3）．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
【变式训练】
【变式9.1】（2022春•亭湖区校级月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）加高度h（单位：m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑风速的影响）．
（1）求从40m高空抛物到落地时间；
（2）已知高空坠物动能w（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）．
【分析】（1）把40m代入公式即可；
（2）求出h，代入动能计算公式即可求出．
【详解】（1）由题意知h＝40m，
∴t=405=8=22（s），
故从40m高空抛物到落地时间为22s；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当t＝4s时，4=ℎ5，
∴h＝80m，
这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点睛】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
【变式9.2】（2021春•罗山县期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
12+13 ＞ 212×13；6+3 ＞ 26×3；1+15 ＞ 21×15；7+7 ＝ 27×7．
（2）由（1）中各式猜想a+b与2ab（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；
（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；
（3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可．
【详解】（1）∵(12−13)2＞0，
∴12−212×13+13＞0，
∴12+13＞212×13，
同理得：6+3＞26×3；1+15＞21×15；7+7＝27×7．
故答案为：＞，＞，＞，＝；
（2）猜想：a+b≥2ab（a≥0，b≥0），
理由是：∵a≥0，b≥0，
∴a+b﹣2ab=（a−b）2≥0，
∴a+b≥2ab；
（3）设AC＝a，BD＝b，
由题意得：12ab=1800，
∴ab＝3600，
∵a+b≥2ab，
∴a+b≥23600，
∴a+b≥120，
∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．
【点睛】此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
【变式9.3】（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是v＝16df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；
（2）比较两个速度的大小即可．
【详解】（1）当d＝20m，f＝1.2时，v＝1620×1.2=326（km/h），
答：肇事汽车的速度是326km/h；
（2）v＝326≈78＞70，
∴肇事汽车已经超速．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，能正确求出v的值是解此题的关键．
考点10二次根式与探究材料题
【例10】（2021春•泗阳县期末）在解决问题“已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值时，小明是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2−(2+3)(2−3)=2−3，
∴a﹣2=−3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解答下列问题：
（1）化简：23−1；
（2）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12021+2019；
（3）若a=12−1，求：
①12a2﹣a﹣1的值；
②2a2﹣5a2+1的值．
【分析】（1）（2）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（3）将a分母有理化得a=2+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．
【详解】（1）23−1=2(3+1)(3+1)(3−1)=3+1；
（2）原式=12（3−1+5−3+7−5+⋯+2021−2019）
=12（2021−1），
=2021−12；
（3）∵a=12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
①12a2−a−1
=12（a2﹣2a）﹣1
=12×1−1
=−12；
②2a2﹣5a2+1
＝﹣3a2+1
＝﹣3(2+1)2+1
＝﹣3（2+22+1）+1
＝﹣9﹣62+1
＝﹣8−62．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用a2﹣2a＝1，是解决本题的关键．
【变式训练】
【变式10.1】（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=(1+2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为整数），则有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+43= （2+3）2 ．
（3）请化简：12−63
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为m2+3n2，2mn；
（2）7+43=（2+3）2；
故答案为：（2+3）2；
（3）∵12﹣63=（3−3）2，
∴12−63=(3−3)2=3−3．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
【变式10.2】（2021•市中区校级一模）观察下面的式子：
S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142⋯Sn＝1+1n2+1(n+1)2
（1）计算：S1= 32 ，S3= 1312 ；猜想Sn= n(n+1)+1n(n+1) （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=S1+S2+S3+⋯+Sn（用n的代数式表示）．
【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+16+1+112+⋯+1+1n(n+1)，再转换成n+（1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1）
即可求出答案．
【解答】（1）解：∵S1＝1+112+122=94，
∴S1=94=32；
∵S2＝1+122+132=4936，
∴S2=76；
∵S3＝1+132+142=169144，
∴S3=1312；
∵Sn＝1+1n2+1(n+1)2=[n2+n+1]2n2(n+1)2，
∴Sn=n2+n+1n(n+1)=n(n+1)+1n(n+1)，
故答案为：32，1312，n(n+1)+1n(n+1)；
（2）解：S=32+76+1312+⋯+n(n+1)+1n(n+1)
＝1+12+1+16+1+112+⋯+1+1n(n+1)
＝n+（1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1）
＝n+1−1n+1，
=n2+2nn+1．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，主要考学生的计算能力，题目比较好，但有一定的难度．
【变式10.3】（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=12(a+b+c)=12，
∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)=12(12−7)(12−8)(12−9)=125；
（2）∵S△ABC=12AC⋅ℎ1=12BC⋅ℎ2=125，
∴ℎ1=2458=35，ℎ2=2457，
∴ℎ1+ℎ2=35+2457=4557．
【点睛】此题考查二次根式的应用，关键是根据海伦公式，利用二次根式的计算解答．