南京市建邺区2022-2023学年八年级下学期数学期末试卷（含答案解析）

这是一份南京市建邺区2022-2023学年八年级下学期数学期末试卷（含答案解析），共25页。试卷主要包含了与分式相等的是，关于函数的图象有以下四个结论等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效，
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚，
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．一批电池的使用寿命B．全班同学的身高情况
C．一批食品中防腐剂的含量D．全市中小学生最喜爱的数学家
3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )
A．2B．4C．8D．12
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
AB．C．D．
5．与分式相等的是( )
A．B．C．D．
6．关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．要使分式有意义，则的取值范围是______．
8．牛奶中含有丰富的营养成分，其中水分约占82%；蛋白质约占4.3%，脂肪约占6%，乳糖约占7%，其它约占0.7%，对人体的健康有非常重要的作用.为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是______.
9．如图，四边形，四边形分别菱形与正方形．若，则=______°．
10．将张宽为的小长方形按如图摆放在中，则的面积为________________．
11．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是________________．
12．若一个数大于它的倒数，结合和的图象（如图），可知的取值范围是______．
13．设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______.
14．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则______．
15．小淇用正方形纸片制作成图①的七巧板，设计拼成图②的“房屋”．若正方形纸片的边长为4，则“房屋”的高度________________．
16．如图，在菱形中，分别是上的动点，且满足，则的最小值为________________．
三、解答题（本大题共10小题，共8分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算．
18．解下列方程
（1）；（2）．
19．计算.
20．某校在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我最喜欢的球类运动”调查，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列各题：
（1）在本次调查中，一共抽取了__________名学生，在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为__________度；
（2）请补全条形统计图；
（3）统计发现，该校“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数大约相差240人，请估计全校总人数．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，求证：CD＝EF．
22．点O为矩形的中心．
（1）命题1：如图①，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形．
命题2：如图②，P，Q两点在，上，且线段过点O，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形．
请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明．
（2）若把图①的四边形的面积记为，图②的四边形的面积记为，则_________．（填“＞”或“＜”或“=”）
23．若关于x的一元二次方程（k-1）x²-2kx+k-3=0有实根，则k的取值范围是_____.
24．如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．
（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．
请你图②中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线的函数表达式；
（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．
25．已知：三角形的三边长分别为a，b，c（）．求证：．
（1）如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．
（2）为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．
26．定义：若一个四边形只有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图①，在四边形中，，若平分，则四边形是近似菱形．
（1）如图②，在四边形中，，，．
求证：四边形是“近似菱形”，
（2）如图③，已知线段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且与互补．
要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
（3）在（2）的条件下，“近似菱形”中的取值范围是________________．
解：设甲每小时做个，
由题意得：
……
思路①利用，，，再配方，……
思路②利用，使用平方差公式，……
思路③利用，……
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．B
【解析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．因此B选项的图形是中心对称图形．
故选：B
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
2．B
【解析】根据抽样调查和普查的特点分析即可．
【详解】解：A．调查一批电池的使用寿命适合抽样调查；
B．调查全班同学的身高情况适合普查；
C．调查一批食品中防腐剂的含量适合抽样调查；
D．调查全市中小学生最喜爱的数学家适合抽样调查；
故选：B．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．C
【解析】随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会逐渐稳定于随机事件发生的概率．
【详解】解：由频率的稳定性可知：
袋子中红球个数最可能是：（个）
故选：C
【点睛】本题考查频率的稳定性．熟知相关概念是解题的关键．
4．C
【解析】根据最简二次根式的概念进行逐一判断即可：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、不是二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、被开方数含有开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
5．A
【解析】根据分式的基本性质进行变形后即可判断．
【详解】解：A．，故选项符合题意；
B．，故选项不符合题意；
C．，故选项不符合题意；
D．，故选项不符合题意．
故选：A
【点睛】此题考查了分式，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】作出函数的图象，根据函数图象即可判断．
【详解】如图，作出函数的图象，
由图象可知：函数图象与坐标轴有公共点，∴①错误；
函数图象关于直线对称，∴②正确；
函数图象关于直线对称，∴③正确；
函数图象关于成中心对称，∴④正确；
∴正确的个数是3个．
故选：C．
【点睛】本题考查从函数图象上获取信息，反比例函数图象的特点，中心对称的概念，解题的关键是能够正确画出函数图象．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．
【解析】根据分式有意义的条件：分式的分母不为，即可．
【详解】解：当时，分式有意义，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分式的分母不为．
8．扇形统计图
【解析】
【分析】(1)条形统计图的特点：能清楚的表示出数量的多少；(2)折线统计图的特点：不但可以表示出数量的多少，而且能看出各种数量的增减变化情况；(3)扇形统计图的特点：比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系；据此进行解答即可．
【详解】解：牛奶中含有丰富的营养成分，其中水分约占82％，蛋白质约占4.3％，脂肪约占6％，乳糖约占7％，其他约占0.7％，对人体的健康有非常重要的作用．
为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是扇形统计图．
故答案为：扇形统计图．
【点睛】此题考查的是统计图的选择，掌握条形、折线和扇形统计图的特点是解答的关键．
9．46
【解析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
平分
故答案为：
【点睛】本题综合考查正方形和菱形的性质．熟悉相关性质是解题的关键．
10．
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的性质及平行四边形的性质即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵小长方形的宽为，
∴根据图形可知小长方形长为，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为，
故答案为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
11．乙每小时比甲多做6个
【解析】根据方程中左右两个代数式的含义即可解答．
【详解】解：∵表示甲做30个用的时间，表示乙做45个用的时间，
∴被墨迹弄污条件乙每小时比甲多做6个，
故答案为：乙每小时比甲多做6个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
12．或
【解析】
【分析】先求出两函数的交点，再根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：联立，解得或，
由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即此时，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出两个函数的交点坐标是解题的关键．
13．3
【解析】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3.
14．-6
【解析】根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【详解】解：当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴，解得k=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答．
15．##
【解析】根据七巧板的各个组成图形的特点，求出各部分的边长，图②中的h是小正方形的边长、平行四边形长边上的高、中三角形的直角边长的和，据此解决即可．
【详解】解：如图1，，，，
∴在中，，
∴，
∴在图2中，，，，
过点作于点M，则是等腰直角三角形，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查七巧板，勾股定理，正方形的性质，正确识别图形是解题的关键．
16．
【解析】连接，过作，且，连接，如图所示，根据条件得到，利用全等性质得到，则，即当三点共线时有最小值，则在中，,，即可得到的最小值为．
【详解】解：连接，过作，且，连接，，如图所示：
在菱形中，，
，
，即是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，即当三点共线时有最小值，则在中，,，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及菱形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题的求解方法是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共8分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．
【解析】根据平方差公式将括号拆开计算即可.
【详解】解：原式；
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活运用平方差公式是解题的关键．
18．（1）（2）
【解析】
（1）用公式法解一元二次方程即可求解；
（2）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，代入最简公分母检验即可得．
【小问1详解】
解：
∵，，，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
两边同时乘以得：
，
，
．
检验：当时，．
∴为原方程的解．
【点睛】本题考查解一元二次方程和分式方程，解题的关键是掌握解方程的方法，正确求解．
19．
【解析】
【详解】分析：先计算，再做除法，结果化为整式或最简分式.
详解：
.
点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和.
20．（1）40，72（2）见解析（3）1200人
【解析】
【分析】（1）用随机抽取了一些学生中“最喜欢篮球”的人数除以所占百分比即可得到抽取的总人数，用羽毛球的百分比乘以即可得到羽毛球对应的圆心角度数；
（2）先计算出随机抽取了一些学生中最喜欢足球的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数大约相差的人数除以两者百分比的差即可得到全校总人数．
【小问1详解】
解：，
即在本次调查中，一共抽取了名学生；
在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为；
故答案为：
【小问2详解】
随机抽取了一些学生中最喜欢足球的人数为（人），
如图，
【小问3详解】
最喜欢篮球的占，最喜欢足球的占，
所以全校总人数为（人）．
【点睛】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，读懂题意和准确计算是解题的关键．
21．见解析
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可得，再根据中位线定理可得，问题得证．
【详解】证明：∵△ABC为直角三角形，D为AB的中点，
∴，
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形性质和中位线的性质，根据题意得出，，是解题的关键．
22．（1）两个命题均为真命题．证明见解析（2）＞
【解析】
【分析】（1）命题1证明：由点O为矩形的中心，可证是的垂直平分线，于是，，，进一步证，得，于是四边形为菱形．命题2证明：连接，则经过点O，，四边形是矩形，可得，求证，得，同命题1，可证明，得，得证四边形为菱形．
（2）如图，，由图知，，，所以，得，由菱形面积公式，得．
【小问1详解】
两个命题均为真命题．命题1证明如下：
证明：∵点O为矩形中心，
∴点O是的中点．
∵，
∴是的垂直平分线．
∴，，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
∴四边形为菱形．
命题2证明：如图，连接，则经过点O，
∵四边形是矩形
∴
∴
又
∴
∴
同命题1，可证明，得
又
∴四边形为菱形．
【小问2详解】
如图，，由图知，，
∴
∵，，，
∴
∵，
∴
【点睛】本题考查中矩形的性质、垂直平分线的性质，菱形的判定，菱形的面积计算，全等三角形判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形求证线段及角相等是解题的关键．
23．k≥且k≠1
【解析】
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△=b2-4ac=（-2k）2-4（k-1）（k-3）=16k-12≥0，
则k≥，且k-1≠0，即k≠1．
∴k≥且k≠1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
24．（1）见解析（2）直线的函数表达式，曲线的函数表达式
（3）
【解析】
【分析】（1）根据A的坐标为，点B的坐标为补全平面直角坐标系，根据，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分画图；
（2）设线段的解析式为，把，代入，得到k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，即得线段的解析式；再设曲线的解析式为，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲线的解析式；
（3）设，根据轴，，点P在上，点Q在上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，得到线段、的长的表达式，根据建立方程，解方程得到m的值，即可求出的长．
【小问1详解】
根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴，
∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，
∴，，
根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，
【小问2详解】
设线段的解析式为，
把，代入得，，
解得，，∴，
设曲线的解析式为，
把代入得，，，
∴；
【小问3详解】
设，则，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，或（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积，解决问题的关键是熟练掌握依照点的坐标补全平面直角坐标系，画出坐标系中的图形，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数性质，根据点坐标写线段长的表达式，运用矩形面积公式列方程解方程．
25．（1）①，②，③（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式求出，根据二次根式的乘法得出，再根据三角形三边关系进一步得出，即可得出答案；
（2）根据所给的方法推导即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
故答案为：①，②，③．
【小问2详解】
选择①．推导思路如下：
由，且，得．
配方，得．
易得．
即．
易得．
选择②．推导思路如下：
由，得，即．
故．
易知，
所以，即．
【点睛】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键．
26．（1）证明见解析（2）见解析（3）且
【解析】
【分析】（1）根据“近似菱形”的定义，平行线的性质和等边对等角，证明，进而得出结论；
（2）作菱形，以D为圆心，为半径画弧，交于点C，连接，则四边形为求作的“近似菱形”；
（3）根据菱形的性质得出，，进而得出，再证明，当最小时，最小，当时，，当时，不符合“近似菱形”的定义，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴四边形是“近似菱形”．
【小问2详解】
解：作法：
①作菱形；
②以D为圆心，为半径画弧，交于点C；
③连接．
则四边形为求作的“近似菱形”；
【小问3详解】
解：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当最小时，最小，当时，，
∴
当时，不符合“近似菱形”的定义，
∴且．
【点睛】本题考查“近似菱形”的定义，平行线的性质，等边对等角，正确理解新定义是解题的关键．