2023-2024学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.4的平方根是( )
A. −2B. 2C. ±2D. 16
2.下列各选项中，是无理数的是( )
A. 13B. 0C. 3.14D. 2
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a5B. (a+b)2=a2+b2
C. (a2)3=a5D. a2+a3=a5
4.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
5.计算(x−3)(x+2)的结果为( )
A. x2−6B. x2−x+6C. x2−x−6D. x2+x−6
6.如图，在△ABC，AB的垂直平分线交AC于D，若AC=5，BC=4，则△DBC的周长是( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
7.为了解某地一天内的气温变化情况，比较适合使用的统计图是( )
A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 频数分布直方图
8.山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原.如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C=90∘)绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村.已知AC=9km，BC=12km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为( )
A. 7kmB. 6kmC. 5kmD. 2km
9.要说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，下列所举的反例正确的是( )
A. a=2，b=1B. a=2，b=−3
C. a=2，b=−1D. a=−2，b=−1
10.如图，在△ABC中，∠A=45∘，∠B=22.5∘，BC=8，则△ABC的面积为( )
A. 4B. 8C. 16D. 32
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小： 11______3.
12.“一起向未来”的英语“Tgether fr a Shared Future”，字母“e”出现的频数是______.
13.计算：(2a2−4a)÷2a=______.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=1，则点D到AB的距离为______.
15.已知a+b=3，则a2−b2+6b的值为______.
16.如图，△ABC是等边三角形，D为BC的中点，点E是点D关于直线AC的对称点，连接AE，BE，BE交AC于点P.
(1)若AB=2，则AD=______；
(2)若点K在线段AE上，连接PK，CK，则PK+CK的最小值等于______的长度.(用图中的某一条线段表示)
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 9+|1− 2|−38.
18.(本小题8分)
因式分解：
(1)am−an+at；
(2)2a2−12a+18.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x+y)(2x−y)−x(4x−y)，其中x=2，y=−3.
20.(本小题8分)
如图，AC//DF，AC=DF.下列三个条件：
①AE=DB；
②BC=EF；
③∠C=∠F.
请你从①②③中选一个条件，使△ABC≌△DEF.
(1)你添加的条件是______(填序号)；
(2)添加条件后，请证明△ABC≌△DEF.
21.(本小题8分)
清溪学校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个.随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的统计图表.
根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的m=______，n=______；
(2)求扇形统计图中“E”类所对应的圆心角度数.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB=10，AD=8，BD=6，AC=17.(1)求∠ADB的度数；
(2)求△ABC的面积.
23.(本小题10分)
(1)如图1，在△ABC中，∠A=90∘，点D在线段BC的延长线上，请在线段AC的延长线上作一点P，使得∠DPC=∠B(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)如图2是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.正方形ABCD四个顶点都是格点，E是CD上的格点，将线段AE绕点A顺时针旋转90∘后得到线段AF.
①连接EF，则△AEF是______三角形；
②请在线段BC上作一点G，并连接AG，使得∠EAG=45∘(要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法).
24.(本小题13分)
综合与实践
【问题提出】
对于任意实数a，b，定义一种新运算⊕：a⊕b=(a+1)2+(b+1)2，例如：2⊕3=(2+1)2+(3+1)2=25.
【初步感知】
(1)(−2)⊕3=______；
【深度探究】
(2)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由；
【拓展运用】
(3)若实数a，b满足10a+10b−2ab−23=0，求a⊕b的最小值.
25.(本小题13分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，BD⊥AB，点E在AB上，且CD平分∠BDE，AB，CD相交于点F，连接CE.
(1)直接写出∠BCD，∠BED的数量关系：______；
(2)求证：∠ECF=45∘；
(3)用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵(±2)2=4，
∴4的平方根为±2，
故选：C.
根据平方根的定义进行解答即可．
本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
2.【答案】D
【解析】解：A、13是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、0是整数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，是有理数，故此选项不符合题意；
D、 2是无理数，故此选项符合题意．
故选：D.
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3.【答案】A
【解析】解：A、a3⋅a2=a5，正确；
B、(a+b)2=a2+b2+2ab，故选项错误，
C、(a2)3=a6，故选项错误，
D、a3与a2，是相加不是相乘，不能运算，故选项错误，
故选A.
根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项的法则计算即可．
本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法，熟练掌握性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
4.【答案】C
【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C.
本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5.【答案】C
【解析】解：(x−3)(x+2)
=x2+2x−3x−6
=x2−x−6，
故选：C.
根据多项式乘多项式运算法则求解即可．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∵AC=5，BC=4，
∴△DBC的周长是：BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=4+5=9.
故选：B.
由AB的垂直平分线交AC于D，可得AD=BD，又由AC=5，BC=4，△DBC的周长=BC+AC，即可求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】B
【解析】解：∵为了解某地一天内的气温变化情况，
∴应选择的统计图是折线统计图，
故选：B.
根据题意中的“变化情况”直接选择折线统计图．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，折线统计图，频数分布直方图的概念，根据实际选择合适的统计图，根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键．折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90∘，AC=9km，BC=12km，
∴AB= AC2+BC2=15(km)，
∴AC+BC−AB=9+12−15=6(km)，
∴从A村到B村比原来减少的路程为6km.
故选：B.
由勾股定理求出AB= AC2+BC2=15(km)，因此AC+BC−AB=6(km)，即可得到答案．
本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出AB的长．
9.【答案】B
【解析】解：当a=2，b=−3时，a>b，而a2说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，
故选：B.
根据有理数的大小比较法则、有理数的平方计算，判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10.【答案】C
【解析】解：过B作BN⊥AC交AC延长线于N，过C作CM⊥AB于M，
∵∠A=45∘，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∴∠ABN=45∘，AN=NB，
∴∠ABC=22.5∘，
∴∠CBN=∠ABN−∠ABC=22.5∘，
∴BC平分∠ABN，
∵CN⊥BN，CM⊥AB，
∴CN=CM，
令CM=x，则CN=x，
∵∠A=45∘，CM⊥AB，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴AC= 2x，
∴BN=AN=AC+CN= 2x+x，
∵CN2+BN2=BC2，BC=8，
∴x2+( 2x+x)2=64，
∴(2+ 2)x2=32，
∴△ABC的面积=12AC⋅NB=12× 2x×( 2x+x)=12×(2+ 2)x2=16.
故选：C.
过B作BN⊥AC交AC延长线于N，过C作CM⊥AB于M，判定△ABN是等腰直角三角形，得到∠ABN=45∘，AN=NB，求出∠CBN=∠ABN−∠ABC=22.5∘，由角平分线的性质得到CN=CM，令CM=x，则CN=x；判定△ACM是等腰直角三角形，得到AC= 2x，因此BN=AN=AC+CN= 2x+x，由勾股定理得到x2+( 2x+x)2=64，因此(2+ 2)x2=32，于是得到△ABC的面积=12AC⋅NB=12×(2+ 2)x2=16.
本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由角平分线的性质得到CN=CM，由勾股定理得到x2+( 2x+x)2=64.
11.【答案】>
【解析】解：∵ 9=3， 11> 9，
∴ 11>3，
故答案为：>.
先将3化为根号的形式，根据被开方数越大值越大得结论．
本题考查了实数大小的比较，比较大小时，常用的方法有：①作差法，②作商法，③如果有一个是二次根式，要把另一个也化为二次根式的形式，根据被开方的大小进行比较．
12.【答案】4
【解析】解：“Tgether fr a Shared Future”这个句子的所有字母中，字母“e”出现了4次，故字母“e”出现的频数为4.
故答案为：4.
根据频数的定义：每个对象出现的次数，求解即可．
本题考查了频数的定义，解答本题的关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．
13.【答案】a−2
【解析】解：原式=2a2÷2a−4a÷2a
=a−2，
故答案为：a−2.
根据多项式除以单项式法则：让多项式的每一项都与单项式相除，再把所得商相加即可．
本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式和单项式除以单项式法则．
14.【答案】1
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90∘，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=1，
即点D到AB的距离为1.
故答案为：1.
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD.
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：a2−b2+6b
=(a+b)(a−b)+6b
=3(a−b)+6b
=3a+3b
=3(a+b)
=9.
故答案是：9.
把前两项分解因式，然后把a+b=3代入，化简，然后再利用a+b表示，代入求值即可．
本题考查了平方差公式，正确对所求的式子进行变形是关键．
16.【答案】 3 BP
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC=1，
∴AD= AB2−BD2= 3；
故答案为： 3；
(2)∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30∘，
∵点E是点D关于直线AC的对称点，
∴∠CAD=∠CAE=30∘，
作点P关于AE的对称点Q，连接CQ交AE于K，
则此时PK+CK的值最小，且等于CQ的长度，
连接AQ，
∵点P关于AE的对称点Q，
∴∠QAP=2∠PAE=60∘，AQ=AP，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴BP=CQ，
即PK+CK的最小值等于PB的长度，
故答案为：BP.
(1)根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论；
(2)根据等边三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30∘，根据轴对称的性质得到∠CAD=∠CAE=30∘，作点P关于AE的对称点Q，连接CQ交AE于K，则此时PK+CK的值最小，且等于CQ的长度，连接AQ，根据轴对称的性质得到∠QAP=2∠PAE=60∘，AQ=AP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了轴对称-最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解： 9+|1− 2|−38
=3+ 2−1−2
= 2.
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)am−an+at=a(m−n+t)；
(2)2a2−12a+18
=2(a2−6a+9)
=2(a−3)2.
【解析】(1)利用提公因式法进行分解，即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19.【答案】解：原式=4x2−y2−4x2+xy
=xy−y2，
当x=2，y=−3时，原式=2×(−3)−(−3)2=−6−9=−15.
【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】(1)①或③；
(2)证明：∵AC//DF，
∴∠A=∠D，
若添加的条件①，
∵AE=DB，
∴AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠A=∠DAB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)；
若添加的条件③，
在△ABC和△DEF中，
∠C=∠FAC=DF∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
【解析】(1)解：添加的条件是①或③；
(2)见答案.
(1)由全等三角形的判定即可得到答案；
(2)由SAS或ASA即可证明△ABC≌△DEF.
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
21.【答案】(1)70；0.3；
(2)由题意可得：扇形统计图中，E类所对应的圆心角为：60200×360=108∘.
【解析】解：(1)由题意可得：参加比赛的学生总数为：34÷17%=200(人)，
∴m=200×35%=70(人)，n=60200=0.3；
故答案为：70；0.3；
(2)见答案.
(1)由C类有34人，占总人数的17%可计算出总人数，由D类占总人数的35%即可计算出m的值，60除以总人数200即可得到n的值；
(2)由(1)中所得n的值除以总人数再乘以360∘即可得到扇形统计图中E类所对应的圆心角的度数．
本题考查了数据的分析，解决本题的关键是由C类占总人数的17%计算出总人数．
22.【答案】解：(1)∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90∘；
(2)在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90∘，
∴CD= AC2−AD2= 172−82=15，
∴BC=BD+CD=6+15=21，
∴△ABC的面积=12BC⋅AD=12×21×8=84.
【解析】(1)根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，即可求解；
(2)在Rt△ACD中利用勾股定理即可求出CD的长，再根据三角形面积公式可得出结论．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
23.【答案】等腰直角
【解析】解：(1)如图1中，点P即为所求；
(2)①△AEF是等腰直角三角形；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADB=∠ABF=90∘，
∵AE=AF，
∴Rt△ADE≌Rt△ABF(HL)，
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠EAF=∠DAB=90∘，
∴△AEF是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
②如图2中，线段AG即为所求．
(1)过点D作DP⊥BC交AC于点P，点P即为所求；
(2)①△AEF是等腰直角三角形，理由全等三角形的性质证明；
②连接EF，理由网格特征作出EF的中点T，连接AT，延长AT交BC于点G，线段AG即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
24.【答案】17
【解析】解：(1)根据题中的新定义得：
(−2)⊕3
=(−2+1)2+(3+1)2
=1+16
=17；
故答案为：17；
(2)实数a，b的这种新运算⊕也满足交换律，理由如下：
根据题中的新定义得：
a⊕b=(a+1)2+(b+1)2，
b⊕a=(b+1)2+(a+1)2=(a+1)2+(b+1)2，
则a⊕b=b⊕a；
(3)∵实数a，b满足10a+10b−2ab−23=0，
∴2ab=10(a+b)−23，
a⊕b=(a+1)2+(b+1)2
=a2+2a+1+b2+2b+1
=(a2+b2)+2(a+b)+2
=(a+b)2+2(a+b)+2−2ab
=(a+b)2+2(a+b)+2−10(a+b)+23
=(a+b)2−8(a+b)+16+9
=(a+b−4)2+9≥9，
当a+b−4=0，即a+b=4时，a⊕b的最小值为9.
(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；
(2)根据题中的新定义计算出a⊕b与b⊕a的值，判断即可；
(3)原式利用题中的新定义化简，把已知等式变形后代入计算即可求出最小值．
此题考查了实数的运算，新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
25.【答案】∠BED=2∠BCD
【解析】(1)解：∵CD平分∠BDE，
∴∠CDB=∠CDE，
设∠CDB=∠CDE=α，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45∘，
∵BD⊥AB，
∴∠DBE=90∘，
∴∠BED=90∘−∠BDE=90∘−2α，∠CBD=∠ABC+∠DBE=45∘+90∘=135∘，
∴∠BCD=180∘−∠CDB−∠CBD=180∘−α−135∘=45∘−α，
∴∠BED=2∠BCD，
故答案为：∠BED=2∠BCD；
(2)证明：过点F作FG⊥DE于点G，连接AG、CG，
则∠EGF=∠DGF=90∘，
∵CD平分∠BDE，BD⊥AB，
∴BF=GF，
∵DF=DF，
∴Rt△BDF≌Rt△GDF(HL)，
∴∠DFB=∠DFG，
∴∠CFB=∠CFG，
∵CF=CF，
∴△BCF≌△GCF(SAS)，
∴∠BCF=∠GCF，BC=GC，
∴∠ACG=90∘−2∠BCD=90∘−2(45∘−α)=2α，
∵AC=BC，
∴AC=GC，
∴∠CAG=∠CGA=12(180∘−2α)=90∘−α，
∴∠EAG=∠CAG−∠BAC=90∘−α−45∘=45∘−α，
∵∠BED=90∘−∠BDE=90∘−2α=∠EAG+∠EGA，
∴∠EGA=45∘−α=∠EAG，
∴AE=GE，
又∵CE=CE，
∴△ACE≌△BCG(SSS)，
∴∠ACE=∠GCE，
∴∠GCE+∠GCF=12∠ACB=12×90∘=45∘，
即∠ECF=45∘
(3)解：AE2+BF2=EF2，证明如下：
由(2)可知，AE=GE，GF=BF，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：GE2+GF2=EF2，
∴AE2+BF2=EF2.
(1)设∠CDB=∠CDE=α，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠ABC=45∘，再证∠BED=90∘−2α，∠BCD=45∘−α，即可得出结论；
(2)过点F作FG⊥DE于点G，连接AG、CG，证Rt△BDF≌Rt△GDF(HL)，得∠DFB=∠DFG，再证△BCF≌△GCF(SAS)，得∠BCF=∠GCF，BC=GC，然后证△ACE≌△BCG(SSS)，得∠ACE=∠GCE，即可得出结论；
(3)由(2)可知，AE=GE，GF=BF，在Rt△EFG中，由勾股定理得GE2+GF2=EF2，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．组别
正确字数x
频数
频率
A
0≤x<8
16
0.08
B
8≤x<16
20
0.1
C
16≤x<24
34
0.17
D
24≤x<32
m
0.35
E
32≤x<40
60
n