2023-2024学年福建省厦门市湖里区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年福建省厦门市湖里区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算m⋅m2的正确结果是( )
A. mB. m2C. m3D. 2m2
2.使分式xx−1有意义，则x满足条件( )
A. x>0B. x≠0C. x>1D. x≠1
3.如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是( )
A. ∠ACD
B. ∠AEB
C. ∠AEF
D. ∠CEF
4.点A(5,2)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (5,−2)B. (−5,−2)C. (−5,2)D. (2,−5)
5.周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 三角形具有稳定性
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6.如图是一个4×4的正方形网格.根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与△ABC全等的是( )
A. △ABD
B. △ABE
C. △ABF
D. △ABG
7.下列各式从左向右变形正确的是( )
A. a+2b+2=abB. a−ba2−b2=1a+bC. a+2a=2D. 3b−13c−1=b−1c−1
8.《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. 900x+1×2=900x−3B. 900x+1=900x−3×2
C. 900x−1×2=900x+3D. 900x+1=900x+3×2
9.如图，已知∠MAN=60∘，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB=2，点C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持CB=CD，若AC=m，则AD的长为( )
A. 12m+1
B. 12m+2
C. 12m−1
D. m−2
10.四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为60cm2，空白区域所示的小正方形面积为48cm2.将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的更小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b(a>b)，则代数式(a−b)的值为( )
A. 4B. 6C. 12D. 18
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：
(1)2a6÷a3=______；
(2)(x2)3=______.
12.正六边形一个外角是______度．
13.计算：(x+2)(x−2)=______.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BD是∠ABC的角平分线，如果AB=10，△ADB的面积是15，则CD的长为______.
15.已知a=312+592+118，b=692−1，则a−b=______.
16.如图，AD是等边△ABC的高，点M是线段AD上一点，连接BM，以BM为边向右下方作等边△BMN，当BN+DN的值最小时，∠BMD的大小为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
计算：
(1)3xy⋅2y+x(2x−y2)；
(2)(2a+b)(a2−b).
18.(本小题7分)
如图，点A，B，D在一条直线上，B为AD中点，BE//AC，BE=AC.求证：BC=DE.
19.(本小题7分)
先化简，再求值：(1−1x−2)÷x2−6x+9x−2，其中x=4.
20.(本小题8分)
劳动课上，甲、乙两小组制作纸玫瑰花，已知甲组每分钟比乙组多制作2朵，甲组制作15朵所用的时间与乙组制作10朵所用的时间相等，求甲、乙两组每分钟各制作玫瑰花多少朵？
21.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在AB，AC上，AD=CE，CD与BE相交于点F.
(1)求证：∠ACD=∠CBE；
(2)在线段CD的延长线上求作一点P，使得∠BPC=60∘.(要求：尺规作图，保留作图痕迹)
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，A(m,0)，B(0,m)，其中m>0.
(1)若点C(4,3)在第一象限，AB⊥AC，求m的值；
(2)点D为x轴正半轴上一个动点，OD=t，点E的坐标为(n,t)，n>t>m，若BD=ED，则在点D运动的过程中，∠EAD的大小是否发生变化？若不变，请求出∠EAD的度数；若变化，请说明∠EAD的大小变化过程.
23.(本小题10分)
有五组整式①x2+x，x2+2，x−2；②12x2+x−5，12x2+x−8，3；③2x2+4x−3，2x2+1，4x−4；④3x2+x+7，3x2−4x+6，5x+1；⑤x2−52x+1，x2−12x−2，−2x+3.这五组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的一个整式组称为“平移整式组”.
(1)若某个“平移整式组”中的第一个整式为4x2+3x−2，第二个整式为ax2+2(a≠0).
①直接写出a的值：______；
②请求出该“平移整式组”中的第三个整式；
(2)若a(x−5)2+b(a≠0)，2x2−8x+8+c，(−2m−2)x+2(m−5)2−8(m为常数)是一个“平移整式组”，求b−c的值.
24.(本小题11分)
某学校有甲、乙2个社团，甲有p1人，乙有p2人，学校拟从他们中选择部分学生代表参加某活动.若希望公平合理地分配代表名额，最常用的方法是等比例分配法：甲社团分得n1个代表名额，乙社团分得n2个代表名额，计算社团人数与代表名额的比例，满足p1n1=p2n2，即为实现公平.
(1)若甲有140人，乙有100人，共有36个代表名额，依据等比例分配法，是否能进行公平的分配？若能，请分别求出甲、乙的代表名额；若不能，请说明理由.
(2)现实中，常常出现名额无法正好按等比例公平分配，这时可以先引入“不公平度”来进行
衡量.例如：若p1n1>p2n2，则会认为对甲不公平，我们可以用“a=p1n1−p2n2”表示对“甲的不公平度”；若p1n1然后采用如下做法来进行分配：
第一步：先从全部代表名额中取部分名额进行分配，例如甲分得m1个名额，乙分得
m2个名额，使p1m1与p2m2相等或大致相等皆可；
第二步：取余下代表名额中的1个，计算下面两种方案中的不公平度.
方案一：将这个名额分给乙，若有p1m1>p2m2+1，此时对甲不公平，记“对甲的不
公平度”为a=p1m1−p2m2+1；
方案二：将这个名额分给甲，若有p1m1+1公平度”为b=p2m2−p1m1+1；
第三步：比较a，b的大小，若a>b，则将该名额分配给甲；若a若a=b，则将该名额分配给甲或乙皆可；
第四步：对余下每一个代表名额，重复第二、三步，直至名额分配完成.
解决问题：
若对甲、乙社团代表名额完成第一步分配后，此时有p1m1=p2m2，还剩1个名额，
且p1(2m1+1)m1(m1+1)>p2(2m2+1)m2(m2+1)，请判断这个名额应该分配给哪个社团？
25.(本小题13分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，点D是BC的中点，直线l经过点A且在AC右侧，点C关于直线l的对称点为点E，∠BAE<180∘，连接BE交线段AD于点F，连接CF.
(1)求证：BF=CF；
(2)若∠CBE=30∘，探究线段AF，DF，EF的数量关系；
(3)在直线l绕点A旋转的过程中，是否存在CF⊥EF的情形？若存在，求此时∠CAE的度数；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：m⋅m2=m2+1=m3，
故选：C.
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握计算法则．
2.【答案】D
【解析】解：依题意得：x−1≠0.
解得x≠1.
故选：D.
分式有意义时，分母x−1≠0.
本题考查了分式有意义的条件．(1)分式有意义的条件是分母不等于零．(2)分式无意义的条件是分母等于零．
3.【答案】C
【解析】解：A、∠ACD是△ABC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意；
B、∠AEB是△ABE内角，不是△ABE的外角，不符合题意；
C、∠AEF是△ABE的外角，符合题意；
D、∠CEF是△EBC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意；
故选：C.
根据三角形的外角的概念判断即可．
本题考查的是三角形的外角的概念，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
4.【答案】C
【解析】解：点A(5,2)关于y轴对称的点的坐标为：(−5,2).
故选：C.
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5.【答案】C
【解析】解：小乔这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：C.
根据三角形具有稳定性判断即可．
本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：连接BD，BF，AF，BE，AG，如图所示：

依题意得：AB=3，AC= 22+22=2 2，BC= 22+12= 5，
对于选项A，
∵AB=3，AD=2，BD= 22+32= 13，
∴AD≠BC，BD≠AC，
∴△ABD和△ABC不全等，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∵AB=3，AE=2，BE= 22+32= 13，
∵AE≠BC，BE≠AC，
∴△ABE和△ABC不全等，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
∵AB=3，AF= 22+22=2 2，BF= 22+12= 5，
∴AF=AC，BF=BC，
在△ABF和△△ABC中，
AB=ABAF=ACBF=BC，
∵△ABF≌△△ABC，
故选项C符合题意；
对于选项D，
∵AB=3，BG=2，AG= 22+32= 13，
∴BG≠BC，AG≠AC，
∴△ABG和△ABC不全等，
故选项D不符合题意．
故选：C.
连接BD，BF，AF，BE，AG，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，AC=2 2，BC= 5，对于选项A，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，AD=2，BD= 13，由此可判定△ABD和△ABC不全等；对于选项B，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，AE=2，BE= 13，由此可判定△ABD和△ABC不全等；对于选项C，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，AF=2 2，BF= 5，根据“SSS”可判定△ABF和△△ABC全等；对于选项D，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，BG=2，AG= 13，由此可判定△ABG和△ABC不全等，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，理解三边对应相等的两个三角形全等，利用勾股定理分别求出相关线段的长是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、分子、分母都加2，分式的值改变，故A错误；
B、a−ba2−b2=a−b(a−b)(a+b)=1a+b，故B正确；
C、a+2a=1+2a，故C错误；
D、3b−13c−1≠b−1c−1，故D错误．
故选：B.
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，据此判断即可．
本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不为0的整式，分式的值不变，这是分式变形的主要依据．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，根据等量关系：路程÷时间=速度，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】
解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，由题意得：
900x+1×2=900x−3，
故选A.
9.【答案】D
【解析】解：如图所示，过点C作CE⊥AN，
在Rt△ACE中，∠MAN=60∘，
∴∠ACE=30∘，
∵AC=m，
∴AE=12m，
∵AB=2，
∴BE=12m−2，
∵CB=CD，CE⊥BD，
∴BE=ED=12m−2，
∴BD=(12m−2)×2=m−4，
∴AD=AB+BD=2+m−4=m−2，
故选：D.
过点C作CE⊥AN，根据在Rt△ACE中，∠MAN=60∘，求得AE的值，进而求出BE的值，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BD的值，最后求出AD的值即可．
本题主要考查了含30∘的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：(1)如图所示：
在图1中，依题意得：S正方形ABCD=60cm2，S正方形EFGH=48m2，
AE=BF=CG=DH=b，AH=BE=CF=DG=a，
∴S正方形ABCD=4S△AEH+S正方形EFGH，
∴60=4×12ab+48，
∴ab=6，
在图2中，依题意得：S正方形PQRS=48cm2，
由翻折的性质得：PK=QH=RT=SP=b，PH=QT=RP=SK=a，
∴KH=PH−PK=a−b，
∵S正方形PQRS=4S△PKS+S正方形KHTP，
∴48=4×12ab+(a−b)2，
∴(a−b)2=48−2ab=48−2×6=36，
∴a−b=6.
故选：B.
(1)在图1中，依题意得S正方形ABCD=60cm2，S正方形EFGH=48m2，S正方形ABCD=4S△AEH+S正方形EFGH，由此得60=4×12ab+48，进而得出ab=6，在图2中，依题意得S正方形PQRS=48cm2，KH=PH−PK=a−b，S正方形PQRS=4S△PKS+S正方形KHTP，由此得48=4×12ab+(a−b)2，由此可得(a−b)2=48−2ab=36，据此可得a−b的值．
此题主要考查了正方形和三角形的面积，图形的翻折变换及其性质，理解题意，准确识图，熟练掌握三角形和正方形的面积是解决问题的关键．
11.【答案】2a3 x6
【解析】解：(1)2a6÷a3=2a3；
故答案为：2a3.
(2)(x2)3=x6.
故答案为：x6.
(1)利用单项式除以单项式法则计算即可；
(2)利用幂的乘方法则计算即可．
本题考查了整式的运算，掌握单项式除以单项式法则、幂的乘方法则等知识点是解决本题的关键．
12.【答案】60
【解析】解：∵正六边形的外角和是360∘，
∴正六边形的一个外角的度数为：360∘÷6=60∘，
故答案为：60.
根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．
本题考查的是多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
13.【答案】x2−4
【解析】解：(x+2)(x−2)=x2−4.
故答案为：x2−4.
利用平方差公式计算即可求得答案．
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
14.【答案】3
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=10，△ADB的面积是15，
∴12AB⋅DE=12×10×DE=15，
∴DE=3，
在Rt△ABC中，∠C=90∘，BD是∠ABC的角平分线，
∴CD=DE=3，
故答案为：3.
过点D作DE⊥AB于点E，根据三角形面积公式求出DE的长，再根据角平分线的性质即可得出结果．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟记角平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】−200
【解析】解：a=(31+59)2−2×31×59+118=8100−3658+118=4560，
b=(69+1)(69−1)=70×68=4760，
∴a−b=4560−4760=−200，
故答案为：−200.
分别利用完全平方和、平方差公式计算a和b即可．
本题考查有理数的乘方等，掌握完全平方公式、平方差公式是本题的关键．
16.【答案】60∘
【解析】解：如图1，取AB的中点E，作EF//BC交AC于点F，连接EM、FM，则BE=AE=12AB，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60∘，AD⊥BC，
∴BD=CD=12BC，
∴BD=BE，
∵△BMN是等边三角形，
∴BN=BM，∠MBN=60∘，
∴∠DBN=∠EBM=60∘−∠CBM，
在△BDN和△BEM中，
BN=BM∠DBN=∠EBMBD=BE，
∴△BDN≌△BEM(SAS)，
∴DN=EM，
∵∠EAF=60∘，∠AEF=∠ABC=60∘，∠AFE=∠C=60∘，
∴△AEF是等边三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分EF，
∴EM=FM，
∴DN=FM，
∴BN+DN=BM+FM，
连接BF，当点M落在线段BF上时，BM+FM的值最小，此时BN+DN的值最小，
如图2，点M在BF上，
∵AF=AE=12AB=12AC，
∴AF=CF，
∴∠CBM=∠ABM=12∠ABC=30∘，
∵∠MDB=90∘，
∴∠BMD=90∘−∠CBM=90∘−30∘=60∘，
故答案为：60∘.
取AB的中点E，作EF//BC交AC于点F，连接EM、FM，因为△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，所以AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60∘，AD⊥BC，可证明BD=BE，因为△BMN是等边三角形，所以BN=BM，∠MBN=60∘，则∠DBN=∠EBM=60∘−∠CBM，可证明△BDN≌△BEM，得DN=EM，再证明△AEF是等边三角形，则AD垂直平分EF，所以EM=FM=DN，则BN+DN=BM+FM，连接BF，当点M落在线段BF上时，BM+FM的值最小，此时BN+DN的值最小，可求得∠BMD=60∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3xy⋅2y+x(2x−y2)
=6xy2+2x2−xy2
=5xy2+2x2；
(2)(2a+b)(a2−b)=2a3−2ab+a2b−b2.
【解析】(1)利用单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
(2)利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：∵B为AD中点，
∴AB=BD，
∵BE//AC，
∴∠A=∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
AB=BD∠A=∠DBEAC=BE，
∴△ABC≌△BDE(SAS)，
∴BC=DE.
【解析】利用SAS证明△ABC≌△BDE，然后利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(x−2x−2−1x−2)⋅x−2x2−6x+9
=x−3x−2⋅x−2(x−3)2
=1x−3，
当x=4时，原式=14−3=1.
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：设甲组每分钟制作x朵玫瑰花，则乙组每分钟制作(x−2)朵玫瑰花，
根据题意得：15x=10x−2，
解得：x=6，
经检验，x=6是所列方程的解，且符合题意，
∴x−2=6−2=4(朵).
答：甲组每分钟制作6朵玫瑰花，乙组每分钟制作4朵玫瑰花．
【解析】设甲组每分钟制作x朵玫瑰花，则乙组每分钟制作(x−2)朵玫瑰花，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲组制作15朵所用的时间与乙组制作10朵所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲组每分钟制作玫瑰花的数量，再将其代入(x−2)中，即可求出乙组每分钟制作玫瑰花的数量．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCE=60∘，
∵AD=CE，
∴△CAD≌△BCE(SAS)，
∴∠ACD=∠CBE；
(2)解：如图，点P即为所求；

【解析】(1)证明△CAD≌△BCE(SAS)，可得结论；
(2)作△ABC的外接圆O，延长CD交⊙O于点P，连接BP，点P即为所求．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，学会构造辅助圆解决问题．
22.【答案】解：(1)过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：
∵A(m,0)，B(0,m)，其中m>0.
∴OA=OM=m，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45∘，
∵AB⊥AC，
∴∠CAH=45∘，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH，
∵点C(4,3)，
∴OH=4，CH=3，
∴AH=4−m，
∴4−m=3，
解得：m=1；
(2)∵点D为x轴正半轴上一个动点，OD=t，点E(n,t)，n>t>m，
∴点D(t,0)，且点D在点A的右侧，点E在第一象限，
过点E作EM⊥x轴于M，如图2所示：
∵OA=OM=m，OD=t，
∴AD=OD−OA=t−m，
∵点E(n,t)，
∴EM=t，
∴OD=EM，
在Rt△ODB和△MED中，
OD=EMBD=ED，
∴Rt△ODB≌△MED(HL)，
∴OB=MD=m，
∴AM=AD+MD=t−m+m=t，
∴AM=EM=t，
∴△AME为等腰直角三角形，
∴∠EAD=45∘.
∴在点D运动的过程中，∠EAD的大小不发生变化，始终是45∘.
【解析】(1)过点C作CH⊥x轴于H，依题意得△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB=45∘，进而得△ACH为等腰直角三角形，则AH=CH，然后根据点A(m,0)，B(0,m)，C(4,3)，得OH=4，CH=3，AH=4−m，由此得4−m=3，由此解出m即可；
(2)依题意得点D(t,0)，且点D在点A的右侧，点E在第一象限，过点E作EM⊥x轴于M，则OA=OM=m，OD=t，AD=t−m，证Rt△ODB和△MED全等得OB=MD=m，进而得AM=AD+MD=EM=t，从而得△AME为等腰直角三角形，则∠EAD=45∘，据此可得出结论．
此题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握点的坐标，理解等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)①4；
②该“平移整式组”的三个整式分别为4x2+3x−2，第二个整式为4x2+2，第三个整式为3x−4；
(2)∵a(x−5)2+b(a≠0)=ax2−10ax+25a+b，2x2−8x+8+c，(−2m−2)x+2(m−5)2−8(m为常数)是一个“平移整式组”，
∴a=2，−10ax+25a+b−(−8x+8+c)=(−2m−2)x+2(m−5)2−8，
整理得：(8−10a)x+(25a+b−c−8)=(−2m−2)x+2(m−5)2−8，
∴8−10a=−2m−2，25a+b−c−8=2(m−5)2−8，
把a=2代入得：−2m−2=−12，
解得：m=5，
∴50+b−c−8=−8，
整理得：b−c=−50.
【解析】【分析】
此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
(1)①根据“平移整式组”的定义确定出a的值即可；
②找出“平移整式组”的规律确定出第三个整式即可；
(2)利用“平移整式组”的定义确定出b与c的值，即可求出b−c的值．
【解答】
解：(1)①根据“平移整式组”的定义得：a=4；
故答案为：4；
②见答案;
(2)见答案.
24.【答案】解：(1)设分配给甲社团x个名额，则分配给乙社团(36−x)个名额，
依题意得140x=10036−x，
解得：x=21，
检验：当x=21时，x(36−x)≠0.
所以原分式方程的解为：x=21.
36−21=15(个)，
答：分配给甲社团21个名额，分配给乙社团15个名额；
(2)∵a−b=(p1m1−p2m2+1)−(p2m2−p1m1+1)
=p1m1−p2m2+1−p2m2+p1m1+1
=(m1m1+m2+1m1+1)−(m2m2+m1m2+1)
=p1(2m1+1)m1(m1+1)−p2(2m2+1)m2(m2+1)
∵p1(2m1+1)m1(m1+1)>p2(2m2+1)m2(m2+1)
∴a−b>0，
∴a>b，
依据第三步，应该将这个名额分配给甲社团．
【解析】(1)设分配给甲社团x个名额，则分配给乙社团(36−x)个名额，依题意列方程140x=10036−x求解即可；
(2)根据定义求出a−b，判断其与零的大小关系即可作出判断．
本考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，正确的计算是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BF=CF；
(2)解：猜想：EF=AF+2DF.
在FE上找一点P，使得AP=AF，
在Rt△BDF中，∠CBE=30∘，
∴BF=2DF，
∴CF=2DF，
由(1)得：AD⊥BC，
∵∠CBE=30∘，
∴∠BFD=90∘−∠CBE=60∘，
∴∠AFP=∠BFD=60∘，
∵AP=AF，
∴△AFP是等边三角形，
∴∠APF=60∘，AF=PF，
∴∠APE=180∘−∠APF=120∘，
由(1)得：BF=CF，
∵FD⊥BC，BF=CF，
∴DF平分∠BFC，
∴∠DFC=∠BFD=60∘，
∴∠AFC=180∘−∠DFC=120∘，
∴∠APE=∠AFC，
在△AFB和△AFC中，
AF=AFAB=ACFC=FB，
∴△AFB≌△AFC(SSS)，
∴∠ABF=∠ACF，
∵点C关于直线l的对称点为点E，
∴直线l垂直平分EC，
∴AE=AC，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠ABF，
∴∠AEB=∠ACF，
在△PAE和△FAC中，
∠AEB=∠ACF∠AFC=∠APEAP=AF，
∴△PAE≌△FAC(AAS)，
∴PE=FC，
∴PE=FC=2DF，
∴EF=FP+PE=AF+2DF.
(3)解：直线l绕点A旋转的过程中，存在CF⊥EF，此时∠CAE=90∘.
∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∠CFD=∠CAF+∠ACF，
∴∠BFC=∠BFD+∠CFD=∠BAF+∠ABF+∠CAF+∠ACF=∠BAC+2∠ABF，
∵∠BAC为锐角，∠ABF也为锐角，
∴0∘<∠BFC<180∘，
∴直线l绕点A旋转的过程中，存在CF⊥EF.
∵CF⊥EF，
∴∠CFE=90∘，
∵∠AEB=∠ACF，∠AQE=∠CQF，
∴∠QAE=∠CFE=90∘，
∴当CF⊥EF时，总有∠CAE=90∘.
【解析】(1)由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，则可得出结论；
(2)在FE上找一点P，使得AP=AF，证明△AFP是等边三角形，得出∠APF=60∘，AF=PF，证明△AFB≌△AFC(SSS)，由全等三角形的性质得出∠ABF=∠ACF，证明△PAE≌△FAC(AAS)，由全等三角形的性质得出PE=FC，则可得出结论；
(3)由三角形外角的性质及直角三角形的性质可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．