2023-2024学年河南省漯河市舞阳县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省漯河市舞阳县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3−1的结果是( )
A. −3B. −13C. 3D. 13
2.计算4ab÷2a的结果是( )
A. 2B. 2abC. 2aD. 2b
3.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为( )
A. 0.34×10−9B. 3.4×10−9C. 3.4×10−10D. 3.4×10−11
4.下列运算结果正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (2a2)3=8a6
C. a(a+1)=a2+1D. (a3+a)÷a=a2
5.从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米(a>b>100)的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会( )
A. 变小了B. 变大了C. 没有变化D. 无法确定
6.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，下列结论不一定成立的是( )
A. BC=2CE
B. ∠BAD=12∠BAC
C. ∠AFB=90∘
D. AE=CE
7.某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同.若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为( )
A. 1000x−50−800xB. 1000x+50=800xC. 1000x=800x+50D. 1000x=800x−50
8.如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=(a+b)2−4abD. (a+b)(a−b)=a2−b2
9.已知a=817，b=279，c=913，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. ac>a
10.已知两个分式：1x，1x+1；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为f1；作差，结果记为g1；
(即f1=1x+1x+1，g1=1x−1x+1)
第二次操作：将f1，g1作和，结果记为f2；作差，结果记为g2；(即f2=f1+g1，g2=f1−g1)
第三次操作；将f2，g2作和，结果记为f3；作差，结果记为g3；(即f3=f2+g2，g3=f2−g2)
…(依此类推)
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①g7=8g1；②当x=2时，f1+f3+f5+f7=252；③若f8=g4，则x=2；
④在第2n(n为正整数)次操作的结果中：f2n=2nx，g2n=2nx+1.
以上结论正确的个数有个.( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：8x2−2=______.
12.化简：x+1x−1x=______.
13.如果a2+6a+m是一个完全平方式，那么m是______.
14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______.
15.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限，△ABO是等边三角形，点E在线段OA上，且AE=2，点F是线段AB上的动点，点P是y轴负半轴上的动点，当EP+FP的值最小时，AF=7，则点A的坐标是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
计算：
(1)(2022+ 2)0+(−3)−2；
(2)a2⋅a4+(a3)2−2a7÷a；
(3)2aa2−b2−1a+b；
(4)(m−1)(m+5)−(m−2)(m+2).
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)−3x2+6xy−3y2
(2)a2(x−y)+16(y−x)
18.(本小题7分)
先化简，再求值：(1−1x)÷x2−1x2+2x+1，其中x=−2.
19.(本小题10分)
计算：
(1)3x−1−x+2x(x−1)=0；
(2)2xx+3+1=72x+6.
20.(本小题8分)
如图，△ABC(∠B>∠A).
(1)在边AC上用尺规作图作出点D，使∠CDB=2∠A(保留作图痕迹)；
(2)在(1)的情况下，连接BD，若CB=CD，∠A=35∘，求∠C的度数．
21.(本小题9分)
一条笔直的公路经过相距10千米的A，B两地，甲、乙两人骑车从A地前往B地.
(1)若乙骑车的速度是甲骑车的速度2倍，甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达B地，求甲骑车的速度；
(2)若甲、乙两人同时从A地出发，甲骑车的速度为(a2−4)千米/时，乙骑车的速度为(a2−4a+4)千米/时，其中a>2.请判断谁先到达B地，并说明理由.
22.(本小题10分)
如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE=DC，BE=AC，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM=EF，连接CM.
(1)试说明：△BDE≌△ADC.
(2)试说明：AC⊥MC.
23.(本小题11分)
阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1=a，x2=b.又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−(a+b)，所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1=a，x2=b.
(1)理解应用：方程x2+2x=5+25的解为：x1=______，x2=______；
(2)知识迁移：若关于x的方程x+3x=7的解为x1=a，x2=b，求a2+b2的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程6x−1=k−x的解为x1=t+1，x2=t2+2，求k2−4k+4t3的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：3−1=13.
故选：D.
根据a−n=1an(a≠0)计算即可．
本题考查了负整数指数幂，解题的关键是掌握负整数指数幂的运算公式．
2.【答案】D
【解析】解：4ab÷2a=2b.
故选：D.
根据单项式除以单项式法则运算即可．
本题考查单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.00000000034=3.4×10−10；
故选：C.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】解：A、a3⋅a2=a3+2=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(2a2)3=8a6，故此选项计算正确，符合题意；
C、a(a+1)=a2+a，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a3+a)÷a=a2+1，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：B.
根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方以及整式的乘除运算法则进行判断即可．
本题考查了幂的相关运算以及整式的乘除运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知：原面积为ab(平方米)，
第二年按照庄园主的想法则面积变为(a+10)(b−10)=ab−10a+10b−100=[ab−10(a−b)−100]平方米，
∵a>b，
∴ab−10(a−b)−100∴面积变小了，
故选：A.
原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法则面积变为(a+10)(b−10)，又a>b，通过计算可知租地面积变小了．
本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．
6.【答案】D
【解析】解：∵AE是中线，
∴BE=CE，
BC=2CE.
∴故选项A正确，不符合题意；
∵AF是高，
∴∠AFB=90∘，故选项C正确，不符合题意；
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC.
故选项B正确，不符合题意；
根据题意不一定得出AE=CE，
故选项D不正确符合题意．
故选：D.
根据三角形中线即为三角形的顶点与其对边中点的线段、角平分线即为三角形的一个内角的平分线与对边相交的线段、三角形的高即为过三角形的一个顶点作对边的垂线段，据此进行解答即可．
本题考查了三角形的中线、角平分线、高线等定义，熟记相关定义是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：1000x=800x−50.
故选：D.
根据两种型号的机器人工作效率间的关系，可得出乙型机器人每小时分拣(x−50)件快递，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得，图1中阴影部分面积为(a−b)2，
图2中阴影部分面积为a2−2ab+b2，
∴(a−b)2=a2−2ab+b2，
故选：A.
根据图1和图2中阴影部分面积的不同方法可得此题正确的结果．
此题考查了利用平方差公式几何背景解决问题的能力．关键是能利用不同整式表示图形的阴影部分的面积．
9.【答案】A
【解析】解：∵a=817，b=279，c=913，
∴a=(34)7=328，b=(33)9=327，c=(32)13=326.
又∵328>327>326，
∴a>b>c.
故选：A.
根据幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系解决此题．
本题主要考查幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设f=1x，g=1x+1，则f1=f+g，g1=f−g；
f2=f1+g1=2f，g2=f1−g1=2g；
f3=f2+g2=2f1，g3=f2−g2=2g1；
f4=f3+g3=2f2=4f=22f，g4=f3−g3=2g2=22g；
f5=f4+g4=2f3=4f1，g5=f4−g4=2g3=4g1；
f6=f5+g5=2f4=23f，g6=f5−g5=2g4=23g；
f7=f6+g6=2f5=23f1，g7=f6−g6=2g5=23g1；
…
一般地：f2n=2nf=2nx，g2n=2ng=2nx+1，则④正确；
∴g7=f6−g6=2g5=23g1=8g1，故①正确；
当x=2时，f1+f3+f5+f7=f1+2f1+4f1+8f1=15f1，而f1=12+12+1=56，
∴f1+f3+f5+f7=15×56=252，故②正确；
若f8=g4，即24x=22x+1，
解得：x=−43，故③错误；
故正确的有3个．
故选：B.
设f=1x，g=1x+1，分别求出f1，g1，f2，g2，…，f7，g7，得到规律，即可一一判断．
本题是规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一般规律．
11.【答案】2(2x+1)(2x−1)
【解析】解：原式=2(4x2−1)=2(2x+1)(2x−1)，
故答案为：2(2x+1)(2x−1)
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：x+1x−1x=x+1−1x=xx=1.
故答案为：1.
根据同分母得分是加减运算法则计算即可求得答案．
此题考查了同分母的分式加减运算法则．题目比较简单，注意结果需化简．
13.【答案】9
【解析】解：∵(a+3)2=a2+6a+9，
∴m=9，
故答案为：9.
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
14.【答案】360∘
【解析】解：如图：
∵∠E+∠A=∠1，∠B+∠F=∠2，
∵∠1+∠2+∠C+D=360∘，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360∘，
故答案为：360∘.
根据三角形内角与外角的关系可得∠E+∠A=∠1，∠B+∠F=∠2，再根据四边形内角和为360∘可得答案．
本题考查了三角形内角与外角的关系，解题的关键是灵活运用三角形的外角性质及多边形内角和定理．
15.【答案】(−8,0)
【解析】解：作点E关于y轴的对称点G，连接FG、PG，作GH⊥AB于点H，则∠AHG=90∘，
∵PO垂直平分EG，
∴EP=GP，
∴EP+FP=GP+FP，
∵GP+FP≥FG，
∴当GP+FP=FG，且FG的值最小时，GP+FP的值最小，
∴当FG与HG重合，且点F、P、G在同一条直线上时，GP+FP的值最小，此时EP+FP的值最小，
∴AH=AF=7，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠GAH=60∘，
∴∠AGH=90∘−∠GAH=30∘，
∴AG=2AH=2×7=14，
∵AE=2，OG=OE，
∴OG+OE=2OE=EG=AG−AE=14−2=12，
∴OE=6，
∴OA=OE+AE=6+2=8，
∴A(−8,0)，
故答案为：(−8,0).
作点E关于y轴的对称点G，连接FG、PG，作GH⊥AB于点H，则EP=GP，所以EP+FP=GP+FP，由GP+FP≥FG，可知当FG与HG重合，且点F、P、G在同一条直线上时，GP+FP的值最小，此时EP+FP的值最小，则AH=AF=7，所以AG=2AH=2×7=14，求得OE=6，则OA=8，所以A(−8,0)，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=1+19
=119；
(2)原式=a6+a6−2a6
=(1+1−2)a6
=0；
(3)原式=2a(a+b)(a−b)−a−b(a+b)(a−b)
=2a−a+b(a+b)(a−b)
=a+b(a+b)(a−b)
=1a−b；
(4)原式=m2+5m−m−5−(m2−4)
=m2+5m−m−5−m2+4
=m2−m2+5m−m−5+4
=4m−1.
【解析】(1)根据零指数幂和负指数幂的性质进行计算即可；
(2)根据同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和单项式除以单项式法则进行计算即可；
(3)先把各个分式通分，然后按照同分母的分式相减，最后约分即可；
(4)按照多项式乘多项式法则进行计算，然后再合并同类项即可．
本题主要考查了整式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握实数指数幂的性质、同底数幂相乘、幂的乘方和单项式除以单项式等法则．
17.【答案】解：(1)−3x2+6xy−3y2
=−3(x2−2xy+y2)
=−3(x−y)2；
(2)a2(x−y)+16(y−x)
=(x−y)(a2−16)
=(x−y)(a+4)(a−4).
【解析】(1)直接提取公因式−3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
(2)直接提取公因式(x−y)，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
18.【答案】解：(1−1x)÷x2−1x2+2x+1
=x−1x⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=x+1x；
当x=−2时，原式=−2+1−2=12.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)3x−1−x+2x(x−1)=0，
方程两边都乘x(x−1)，得3x−(x+2)=0，
3x−x−2=0，
2x−2=0，
x=1，
检验：当x=1时，x(x−1)=0，
所以x=1是增根，
即原分式方程无解；
(2)2xx+3+1=72x+6，
2xx+3+1=72(x+3)，
方程两边都乘2(x+3)，得4x+2(x+3)=7，
4x+2x+6=7，
4x+2x=7−6，
6x=1，
x=16，
检验：当x=16时，2(x+3)≠0，
所以x=16是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x=16.
【解析】(1)方程两边都乘x(x−1)得出3x−(x+2)=0，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘2(x+3)得出4x+2(x+3)=7，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点D为所作；
(2)由(1)得∠CDB=2∠A=2×35∘=70∘，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=70∘，
∴∠C=180∘−70∘−70∘=40∘.
【解析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
(1)作AB的垂直平分线交AC于D，则DA=DB，所以∠A=∠DBA，则根据三角形外角性质可得到∠CDB=2∠A；
(2)先计算出∠CDB=70∘，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到∠CBD=∠CDB=70∘，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．
21.【答案】解：(1)设甲的骑车速度为xkm/h，则乙的骑车速度为2xkm/h，
根据题意可得：10x=102x+12，
解得：x=10，
经检验x=10是分式方程的解，
∴甲骑车的速度为10km/h；
(2)甲先到达B地，理由如下：
∵(a2−4)−(a2−4a+4)
=a2−4−a2+4a−4
=4a−8，
∵a>2，
∴4a−8>0，
∴v甲>v乙，
∴甲先到达B地，
【解析】(1)设甲的骑车速度为xkm/h，则乙的骑车速度为2xkm/h，然后根据题意列出分式方程，求解检验即可；
(2)运用作差法比较甲乙的速度，进而得出答案．
本题考查了分式方程的应用以及作差法比较整式的大小，读懂题意，根据题意列出分式方程以及比较出两个整式的大小是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90∘，
在Rt△BDE与Rt△ADC中，
BE=ACDE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
(2)∵F为BC中点，
∴BF=CF，
在△BFE与△CFM中，
BF=CF∠BFE=∠CFMEF=FM，
∴△BFE≌△CFM(SAS)，
∴∠CBE=∠BCM，BE=MC，
∵Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CAD=∠BCM，
∵∠CAD+∠ACD=90∘，
∴∠BCM+∠ACD=90∘，
即∠ACM=90∘，
∴AC⊥MC.
【解析】(1)根据HL证明Rt△BDE≌Rt△ADC；
(2)根据SAS证明△BFE≌△CFM，得到∠CBE=∠BCM，BE=MC，由(1)得∠CBE=∠CAD，再利用直角三角形的两锐角互余得出AC⊥MC.
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】525
【解析】解：(1)∵x+abx=a+b的解为x1=a，x2=b，
∴x2+2x=x+2x=5+25的解为x=5或x=25，
故答案为：5，25；
(2)∵方程x+3x=7，
∴a+b=7，ab=3，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=49−6=43；
(3)方程6x−1=k−x可化为x−1+6x−1=k−1，
设y=x−1，方程变形为y+6y=k−1，
∴y1⋅y2=6，y1+y2=k−1，
∴y1=x1−1，y2=x2−1，
∵x1=t+1，x2=t2+2，
∴y1=t+1−t=t，y2=t2+2−1=t2+1，
∴x−1=t或x−1=t2+1，
∴t(t2+1)=6，t+t2+1=k−1，
∴k=t+t2+2，t3+t=6，
k2−4k+4t3
=k(k−4)+4t3
=(t+t2+2)(t+t2−2)+4t3
=t4+6t3+t2−4
=t(t3+t)+6t3−4
=6t+6t3−4
=6(t3+t)−4
=6×6−4
=32.
(1)根据题意可得x=3或x=25；
(2)由题意可得a+b=7，ab=3，再由完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2−2ab=43；
(3)方程变形为x−1+6x−1=k−1，则方程的解为x−1=t或x−1=t2+1，则有t(t2+1)=6，t+t2+1=k−1，整理得k=t+t2+2，t3+t=6，再将所求代数式化为k2−4k+4t3=t(t3+t)+6t3−4=6(t3+t)−4=20.
本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．