2023-2024学年湖北省荆州市江陵县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖北省荆州市江陵县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列三条线段中，能够首尾相接构成一个三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 2cm，2cm，4cmC. 3cm，4cm，5cmD. 3cm，5cm，9cm
3.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是( )
A. SSSB. SASC. AASD. ASA
4.如图，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB这四个关系中可以选择的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
5.已知，如图1，Rt△ABC.画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC.在已有∠MB′N=90∘的条件下，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程.下列说法错误的是( )
A. 甲同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL
B. 甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长
C. 乙同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是SAS
D. 乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长
6.一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为( )
A. 13 cmB. 17 cmC. 7 cm或13 cmD. 不确定
7.如图，OP平分∠AOB，∠AOB=60∘，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若OP=6，则PE的最小值( )
A. 大于3
B. 等于3
C. 小于3
D. 无法确定
8.如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为(2,−1)，则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为( )
A. (0,1)
B. (3,1)
C. (1,−1)
D. (0,0)
9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是( )
A. 对应点连线与对称轴垂直B. 对应点连线被对称轴平分
C. 对应点连线被对称轴垂直平分D. 对应点连线互相平行
10.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S四边形AEPF=12S△ABC；
④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)BE+CF=EF.
上述结论中始终正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点M(a,b)与点N(3,−1)关于x轴对称，则a+b的值是______.
12.如图，将分别含有30∘、45∘角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65∘，则图中角α的度数为__________.
13.如图，三角形纸牌中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为______.
14.如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点D，且EF//BC，若BE=3，CF=4，则EF的长为______.
15.如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于______.
16.如图，A(4,0)，B(0,6)，若AB=BC，∠ABC=90∘，则C点的坐标为______.
三、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)求出图形中x的值.
(2)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点；
②作直线MN交BC于D，连接AD.若AD=AC，∠B=28∘，求∠DAC.
18.(本小题6分)
如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，求证：BD=CE.
请补全下列的证明过程
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB
∴∠AEB=90∘，∠ADC=90∘
∴______
∵在△AEB和△ADC中
{∠AEB=∠ADC∠A=∠A(ㅤㅤ)
∴△AEB≌△ADC(______)
∴AE=AD
∴AB−AD=AC−______
即BD=CE
19.(本小题8分)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB//DE，BE=CF.
(1)求证：AC//DF；
(2)若∠B=65∘，∠F=35∘，求∠EOC的度数．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50∘，∠C=70∘，求∠EAD与∠BOA的度数．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(−1,4)，B(−2,1)，C(−4,3).
(1)△ABC的面积是______；
(2)已知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于x轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1和△A2B2C2；
(3)在y轴有一点P，使得△PA1B2周长最短，请画出点P的位置(保留画图的痕迹).
22.(本小题10分)
如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
(1)求证：BE=CF；
(2)若AB=15，AC=9，求BE的长．
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段AC上由C点向A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
(2)若点Q的运动速度与点P不同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CPQ全等？
24.(本小题12分)
已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BCAC=n，D是BC延长线上一点，且DC=AC，E，D位于直线AB两侧，AE⊥AB，AE=AB，连接DE与AC交于点F.
(1)如图1，若n=1时，则EFDF=______，CFBD=______.
(2)如图2，若n<1时，EH⊥AC，交CA的延长线于H，(1)中EFDF和CFBD的值是否改变，若不变，说明理由，若有改变，求其值.
(3)若AFFC=25，则n=______.
25.(本小题8分)
如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上一点，且DE=CE，连接BD，CD.
(1)判断BD与AC的关系(直接写结果)；
(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
(3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角中锐角的度数.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】根据轴对称图形的概念判断即可．
本题主要考查了轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
解：选项A，B，D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C.
2.【答案】C
【解析】解：A、∵1+2=3，
∴长为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵2+2=4，
∴长为2cm，2cm，4cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵3+4>5，
∴长为3cm，4cm，5cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵3+5<9，
∴长为3cm，5cm，9cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C.
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，解答此题的关键是掌握全等三角形的判定方法“ASA”．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“ASA”画出．
【解答】
∵三角形没有被墨迹污染的部分有两个角和它们的夹边，
∴根据ASA可画出与书上完全一样的三角形．
故选D.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等.
根据已知条件结合判定方法逐个验证即可.
【解答】
解：①根据AD=AC，∠ABC=∠ABD，AB=AB，不能推出△ABC≌△ABD，故错误；
②BC=BD，∠ABC=∠ABD，AB=AB，根据SAS能推出△ABC≌△ABD，故正确；
③∠C=∠D，∠ABC=∠ABD，AB=AB，根据AAS能推出△ABC≌△ABD，故正确；
④∠DAB=∠CAB，AB=AB，∠ABD=∠ABC，根据ASA能推出△ABC≌△ABD，故正确；
故选D.
5.【答案】D
【解析】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长，则判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL，则选项A、B正确；
乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AB的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长，则判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是SAS，则选项C正确，选项D错误；
故选：D.
根据两人作图的过程即可作出判断．
本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：当3cm是腰时，3+3<7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长=7+7+3=17cm.
故它的周长为17cm.
故选：B.
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60∘，
∴∠POD=12∠AOB=30∘，
∵PD⊥OA于点D，
∴∠ODP=90∘，
∴PD=12OP=12×6=3，
当PE⊥OB时，PE的值最小，
∵OP平分∠AOB，PD⊥AO，
∴PE=PD=3，
∴PE的最小值是3.
故选：B.
由角平分线定义得到∠POD=12∠AOB=30∘，由含30度角的直角三角形的性质得到PD=12OP=3，当PE⊥OB时，PE的值最小，由角平分线的性质得到PE=PD=3，于是得到PE的最小值是3.
本题考查角平分线的性质，含3度角的直角三角形，垂线段最短，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到PD=12OP，由垂线段最短得到当PE⊥OB时，PE的值最小，由角平分线的性质得到PE=PD.
8.【答案】D
【解析】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，
∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为(0,0)，
故选：D.
到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，进而得出其坐标．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9.【答案】B
【解析】解：观察原图，对称变换后又进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的；
对应点连线是不可能平行的，D是错误的；
找对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分．
故选：B.
由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等及轴对称的性质；按要求画出图形是正确解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．
根据题意，利用ASA证明△APE≌△CPF和△APF≌△BPE，再根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【解答】
解：∵AB=AC，P是BC中点，
∴∠APC=90∘，
∵∠EPF=90∘，∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，P是BC中点，
∴AP=CP，∠EAP=∠FCP=45∘，
又∵∠EPA=∠FPC，AP=CP，∠EAP=∠FCP=45∘，
∴△APE≌△CPF，同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，①正确；
∴PE=PF，△EPF是等腰直角三角形，②正确；
∴S四边形AEPF=S△APC=12S△ABC，③正确；
由全等三角形得AE=FC，BE=AF，
∵AF+AE>EF，
∴BE+CF>EF，故④不成立．
11.【答案】4
【解析】【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的特点是解题关键．
直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点M(a,b)与点N(3,−1)关于x轴对称，
∴a=3，b=1，
则a+b=4.
故答案为：4.
12.【答案】140∘
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180∘，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
先求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，得出∠DFB，再根据三角形外角的性质即可得出答案．
【解答】
解：如图，
∵∠ACB=90∘，∠DCB=65∘，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=90∘−65∘=25∘，
∵∠A=60∘，
∴∠DFB=∠AFC=180∘−∠ACD−∠A=180∘−25∘−60∘=95∘，
∵∠D=45∘，
∴∠α=∠D+∠DFB=45∘+95∘=140∘，
故答案为：140∘.
13.【答案】7cm.
【解析】解：∵过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴DC=DE，BE=BC=6cm，
∵AB=8cm，
∴AE=AB−BE=2cm，
∵△AED周长=AD+DE+AE
=AD+DC+AE
=AC+AE
=5cm+2cm
=7cm.
故答案为7cm.
根据折叠性质得到DC=DE，BE=BC=6cm，则AE=2cm，再根据三角形周长定义得到△AED周长=AD+DE+AE，然后利用DC代替DE得到△AED周长=AD+DC+AE=AC+AE=5+2=7(cm).
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14.【答案】7
【解析】解：∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
∴EB=ED=3，FD=FC=4，
∴EF=ED+DF=3+4=7，
故答案为：7.
根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键．
15.【答案】60∘
【解析】解：∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，
∴OA=OB，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴OA=AC，
∴OA=OB=OC=AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60∘.
故答案为60∘.
根据题意得出△ABC为等边三角形，从而得出∠AOC的度数．
本题考查了等边三角形的判定和性质，等边三角形的每一个角等于60度．
16.【答案】(6,10)
【解析】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90∘，AB=BC.
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB=∠BOA=90∘.
∵∠CBD+∠ABO=90∘，∠CBD+∠BCD=90∘，
∴∠ABO=∠BCD.
在△ABO和△BCD中，
∠BCD=∠ABO∠CDB=∠BOABC=AB，
∴△AO≌△BCD(AAS)，
∴BD=AO，CD=BO，
∵A(4,0)，B(0,6)，
∴BD=4，CD=6，
∴点C的坐标为(6,10)，
故答案为：(6,10).
过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC=90∘、AB=BC，通过角的计算即可得出∠ABO=∠BCD，再结合∠CDB=∠BOA=90∘即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标．
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．熟悉全等三角形的判定方法是解答的关键．
17.【答案】解：(1)由题意可得x+70=x+10+x，
解得x=60；
(2)由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=28∘，
∴∠ADC=∠B+∠DAC=28∘+28∘=56∘，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADC=56∘，
∴∠DAC=180∘−∠ADC−∠C=180∘−56∘−56∘=68∘.
【解析】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此列方程并解得x的值即可；
(2)利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA=DB，所以∠DAB=∠B=28∘，再利用三角形外角性质求出∠ADC，接着利用AD=AC得到∠C的度数，然后根据三角形内角和定理即可计算∠DAC的度数．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
18.【答案】∠AEB=∠ADCAASAE
【解析】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AEB=∠ADC.
在△AEB和△ADC中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠AAB=AC，
∴△AEB≌△ADC(AAS)，
∴AE=AD，
又AB=AC，
∴AB−AD=AC−AE，
∴BD=CE.
故答案为：∠AEB=∠ADC；AAS；AE.
由AAS即可得出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质可到AE=AD，进而可得出结论BD=CE.
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEF∠BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC//DF；
(2)解：由(1)得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
∴∠DEF=∠B=65∘，∠ACB=∠F=35∘，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180∘，
∴∠EOC=180∘−∠DEF−∠ACB=180∘−65∘−35∘=80∘.
【解析】(1)由AB//DE得∠B=∠DEF，根据BE=CF得BC=EF，可证明△CAE≌△DAE(SAS)，根据全等三角形的的性质和平行线的性质即可证得结论；
(2)由全等三角形的性质得到∠DEF=65∘，∠ACB=35∘，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC.
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得△ABC≌△DEF是解决问题的关键．
20.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90∘，
∵∠C=70∘，
∴∠DAC=180∘−90∘−70∘=20∘，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12×50∘=25∘，
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=25∘−20∘=5∘；
∵∠BAC=50∘，∠C=70∘，
∴∠BAO=25∘，∠ABC=60∘，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO=30∘，
∴∠BOA=180∘−∠BAO−∠ABO=180∘−25∘−30∘=125∘.
【解析】本题考查了三角形的内角和定理及同学们利用角平分线的定义解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
因为AD是高，所以∠ADC=90∘，又因为∠C=70∘，求出∠DAC度数，根据∠EAD=∠EAC−∠DAC可求∠EAD；因为∠BAC=50∘，∠C=70∘，所以∠BAO=25∘，∠ABC=60∘，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=30∘，故∠BOA的度数可求．
21.【答案】4
【解析】解：(1)△ABC的面积=3×3−12×2×2−12×1×3−12×3×1=4；
故答案为：4；
(2)如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
(3)如图，点P为所作．
(1)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
(2)利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，再描点得到△A1B1C1；然后利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，再描点得到△A2B2C2；
(3)由于A1B2为定值，则PA1+PB2的值最小时，△PA1B2周长最短，利用点A与点A1关于y轴对称得到PA=PA1，所以PA1+PB2=PA+PB2=AB2，根据两点之间线段最短得到此时PA1+PB2的值最小．
本题考查了作图-轴对称变换：掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键．也考查了最短路径问题．
22.【答案】(1)证明：连接CD，如图所示：
∵DG是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠BED=∠DCF=90∘，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF；
(2)解：由(1)得：BE=CF，
设BE=CF=x，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵AB=15，AC=9，
∴15−x=9+x，
解得：x=3，
∴BE=3.
【解析】(1)连接CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出BE=CF；
(2)设BE=CF=x，证明Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，则AE=AF，得15−x=9+x，解得x=3即可．
本题考查了直角三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意，BP=2t，则PC=BC−BP=6−2t；
当t=1时，BP=CQ=2×1=2厘米，
∵AB=8厘米，点D为AB的中点，
∴BD=4(厘米).
又∵PC=BC−BP，BC=6厘米，
∴PC=6−2=4(厘米)，
∴PC=BD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
BD=PC∠B=∠CBP=CQ，
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
(2)∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，
∴点P，点Q运动的时间t=PB2=32(秒)，
∴VQ=CQt=83(厘米/秒).
∴点Q的运动速度为83厘米/秒时，能够使△BPD与△CPQ全等．
【解析】(1)先表示出BP，根据PC=BC−BP，可得出答案，根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
(2)根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
24.【答案】112 37或73
【解析】解：(1)当n=1时，则BC=AC，
∵∠ACB=90∘，DC=AC，BC=AC，
∴∠ABC=∠BAC=∠CAD=∠ADC=45∘，AC=BC=CD，
∴∠BAD=∠BAE=90∘，AB=AD，CFBD=CABD=12，
∵AE=AB，
∴AE=AD，
∴EFDF=EADA=1，
故答案为：1，12；
(2)EFDF和CFBD的值不会改变，理由如下：
如图2，
∵EH⊥AC，
∴∠H=∠ACB=∠BAE=90∘，
∴∠EAH+∠BAC=90∘=∠BAC+∠ABC=90∘，
∴∠EAH=∠ABC，
又∵AB=AE，
∴△AEH≌△BAC(AAS)，
∴AC=EH，BC=AH，
∵AC=DC，
∴EH=CD，
又∵∠EFH=∠CFD，∠H=∠ACD=90∘，
∴△EFH≌△DFC(AAS)，
∴EF=DF，CF=FH=12CH，
∴EFDF=1，CFBD=12CHBD=12(AH+AC)BC+CD=12；
(3)当n<1时，如图3，
∵AFFC=25，
∴设AF=2x，FC=5x，
∴AC=7x，
由(2)可知，CF=FH=5x，BC=AH，
∴AH=FH−AF=3x=BC，
∴n=BCAC=3x7x=37，
当n>1时，如图4，
∵AFFC=25，
∴设AF=2x，FC=5x，
∴AC=3x，
由(2)可知，CF=FH=5x，BC=AH，
∴AH=FH+AF=7x=BC，
∴n=BCAC=7x3x=73，
故答案为：37或73.
(1)由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠BAC=∠CAD=∠ADC=45∘，AC=BC=CD，可求AB=AD，即可求解；
(2)由“AAS”可证△AEH≌△BAC，可得AC=EH，BC=AH，由“AAS”可证△EFH≌△DFC，可得EF=DF，CF=FH=12CH，即可求解；
(3)设AF=2x，FC=5x，由全等三角形的性质可求BC，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25.【答案】(1)解：BD与AC的位置关系是：BD⊥AC，数量关系是BD=AC.
理由如下：
延长BD交AC于点F.
∵AE⊥BC于E，
∴∠BED=∠AEC=90∘.
∵AE=BE，DE=CE，
∴△DBE≌△CAE(SAS)，
∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∠BDE=∠ACE.
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠ACE.
∵∠ACE+∠CAE=90∘，
∴∠ADF+∠CAE=90∘，
∴BD⊥AC；
(2)证明：BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化，
∵∠AEB=∠DEC=90∘，
∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，
即∠BED=∠AEC.
∵AE=BE，DE=CE，
∴△BED≌△AEC(SAS)，
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∠DBE=∠CAE.
∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90∘，
∴BD⊥AC；
(3)解：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60∘，∠BEA=∠DEC=60∘，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
BE=AE∠BED=∠AECDE=CE，
∴△BED≌△AEC(SAS)，
∴∠BED=∠ACE，
设AC交DE于点F，
则∠DFC=180∘−(∠BDE+∠EDC+∠DCF)=60∘，
∴BD与AC的夹角度数为60∘.
【解析】(1)先判断出∠BED=∠AEC=90∘，再判定△DBE≌△CAE，再判断∠ADF+∠CAE=90∘；
(2)先判断出△BED≌△AEC，再得到∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90∘；
(3)先判断出∠BED=∠AEC，再判断出△BED≌△AEC，最后计算即可．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断△DBE≌△CAE.