2023-2024学年湖北省武汉三中八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖北省武汉三中八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为( )
A. 7×10−9B. 7×10−4C. 0.7×10−9D. 0.7×10−8
2.下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，8
3.2023年秋季，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感.下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上.设善行者每刻钟行x尺，则列方程为( )
A. 800x=1000x−60B. 800x−60=600xC. 800x=600x−60D. 800x−60=1000x
5.如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，平面镜所在点的竖线为y轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部S的坐标是(−1.5,1)，则此时对应的虚像S′的坐标是( )
A. (1.5,−1)B. (1,1.5)C. (1,−1.5)D. (1.5,1)
6.如图为脊柱侧弯测量示意图，cbb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一.一次体检中，若测得某人cbb角∠O=45∘，则图中与∠O相等的角的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：a3−a=______.
8.分式2x−1x+1有意义，则x的取值范围是______.
9.学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章.小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为______ ∘.
10.如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，∠D=35∘，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75∘，∠D保持不变，则图中∠ECF应为______ ∘.
11.如图：AB=AC.DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E，若△ABC周长为28，BC=8.则△BCE的周长为______.
12.已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=12AC，则等腰△ABC的顶角度数为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：(a5)3⋅(a2)4÷a12÷(a2)5.
14.(本小题6分)
分解因式：9x2(a−b)+16y2(b−a).
15.(本小题6分)
先化简，再求值：x2−4x+4x2−1⋅x+1x2−2x+1x−1，其中x=12.
16.(本小题6分)
如下图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和图2中作图.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)如图1，已知点D为△ABC内一点，BD=CD，画出BC的垂直平分线；
(2)如图2，已知AE=AF，画出BC的垂直平分线.
17.(本小题6分)
解分式方程：1−xx−1=2x1−x2.
18.(本小题8分)
如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB//CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE.求证：△ABE≌△CDF.
19.(本小题8分)
当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)由图2，可得等式：______.
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值.
20.(本小题8分)
其商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间又用2800元购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元
(1)求该商店第一次购进水果多少千克？
(2)该商店两次购进的水果按照相同的标价销售一段时间后，将最后剩下的50千克按照标价半价出售，售完全部水果后，利润不低于3100元，则最初每千克水果的标价至少是多少？
21.(本小题9分)
如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)试猜想筝形的对角线AC与BD有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
(2)过点D作DE//AB交BC于点E，若BC=10，CE=4，求DE的长．
22.(本小题9分)
已知△ABC和△DEF为等边三角形.点D在△ABC边AB上，点F在直线AC上.
(1)若点C和点F重合(如图①)，求证：AE//BC；
(2)若F在AC的延长线上(如图②)，(1)中的结论是否成立.给出你的结论并证明.
23.(本小题12分)
【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.求△AED的周长.
解：∵△BDE是由△BDC折叠而得到，
∴△BDE≌△BDC.
∴BC=BE=6cm，DC=DE.
∵AB=8cm，
∴AE=AB−BE=8cm−6cm=2cm.
∵AC=5cm，
∴△AED的周长为：AD+DE+AE=AC+AE=7cm.
【知识应用】(1)在Rt△ABC中，∠C=90∘，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，过点E作∠BED的平分线交BD于点P连接AP.如图1，若CD=3cm，AB+BC=16cm，求△ABC的面积；
(2)如图2，求证：AP平分∠CAB；
【拓展应用】(3)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90∘，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，过点E作∠BED的平分线交BD于点连接AP，过点P作PH⊥AB.若AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm，直接写出PH长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：0.000000007=7×10−9，
故选：A.
直接用负整数指数科学记数法表示即可．
本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0).
2.【答案】C
【解析】解：A.12+22≠32，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
B.22+32≠42，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
C.32+42=52，能作为直角三角形三边长度，符合题意；
D.42+52≠82，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意．
故选：C.
直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】B
【解析】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B.
根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查的是轴对称图形的识别，掌握其概念是解决此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
800x=800−200x−60，
即800x=600x−60，
故选：C.
根据题意，可知善行者行800尺的时间=不善行者走600尺用的时间，然后即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
5.【答案】D
【解析】解：某时刻火焰顶部S的坐标是(−1.5,1)，则此时对应的虚像S′的坐标是(1.5,1).
故选：D.
利用关于y轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了镜面对称，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵BD⊥OA，AC⊥OB，
∴∠ACO=∠ACB=∠BDO=∠BDA=90∘，
∵∠O=45∘，
∴∠CAO=90∘−∠O=45∘，∠DBO=90∘−∠O=45∘，
∴∠APD=90∘−∠CAO=45∘，
∴∠APD=∠BPC=45∘，
∴图中与∠O相等的角有：∠CAO，∠DBO，∠APD，∠BPC，共有4个，
故选：D.
根据垂直定义可得∠ACO=∠ACB=∠BDO=∠BDA=90∘，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAO=∠DBO=45∘，从而可得∠APD=45∘，再利用对顶角相等可得∠APD=∠BPC=45∘，即可解答．
本题考查了直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】【分析】本题主要考查了因式分解的方法，关键是熟练掌握提取公因式法和运用公式法的综合.
先提取a，然后利用平方差公式进行分解可得结果.
【解答】解：a3−a=a(a2−1)=a(a+1)×(a−1).
8.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意得，x+1≠0，
解得，x≠−1，
故答案为：x≠−1.
根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
9.【答案】135
【解析】解：(8−2)×180∘8=135∘，
即此正八边形徽章一个内角的大小为135∘，
故答案为：135.
根据多边形的内角和及正多边形的性质列式计算即可．
本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】50
【解析】解：∵∠ABD=75∘，∠D=35∘，
∴∠ACD=∠ABD−∠D=40∘
∵AC⊥CE
∴∠ACE=90∘，
∴∠ECF=180∘−∠ACD−∠ACE=50∘.
故答案为：50.
首先根据三角形外角的性质得到∠ACD=∠ABD−∠D=40∘，然后利用平角的概念求解即可．
此题考查了三角形外角的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
11.【答案】18
【解析】解：∵DE垂直平分AB交AB于D，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
而△ABC周长=AC+BC+AB=28，
又AB=AC，BC=8，
∴AB=AC=10，
∴△BCE的周长=AC+BC=18.
故答案为：18.
由于DE垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，由此得到△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，而△ABC周长=AC+BC+AB=28，又AB=AC，BC=8，由此首先求出AB、AC，然后即可求出△BCE的周长．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
12.【答案】90∘或30∘或150∘
【解析】解：如图1中，当AB=AC时，
∵BD⊥AC，BD=12AC，
∴AB=2BD，
∴∠A=30∘，
如图2中，当AB=AC，
∵BD⊥AC，BD=12AC，
∴AB=2BD，
∴∠DAB=30∘，
∴∠BAC=150∘，
如图3中，当BA=BC，
∵BD⊥AC，BA=BC，
∴BD=AD=DC，
∴∠A=∠ABD=∠CBD=∠C=45∘，
∴∠ABC=90∘，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为30∘或150∘或90∘.
故答案为：30∘或150∘或90∘.
分三种情形：如图1中，当AB=AC时，如图2中，当AB=AC，如图3中，当BA=BC，分别利用等腰三角形的性质求出顶角的度数即可．
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13.【答案】解：(a5)3⋅(a2)4÷a12÷(a2)5
=a15⋅a8÷a12÷a10
=a23÷a12÷a10
=a23−12−10
=a.
【解析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14.【答案】解：原式=9x2(a−b)−16y2(a−b)
=(a−b)(9x2−16y2)
=(a−b)(3x+4y)(3x−4y).
【解析】将原式变形后，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15.【答案】解：原式=(x−2)2(x+1)(x−1)⋅x+1x(x−2)+1x−1
=x−2x(x−1)+1x−1
=x−2x(x−1)+xx(x−1)
=x−2+xx(x−1)
=2x−2x(x−1)
=2(x−1)x(x−1)
=2x.
当x=12时，原式=4.
【解析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再进行分式乘法，最后通分进行分式的加法，约分后再代入求值即可
本题考查的是分式的化简求值，掌握异分母分式的加减是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1所示，直线AE即为所求；
(2)如图2所示，直线AG即为所求；

【解析】(1)根据垂直平分线的逆定理得到点A和点D在线段BC的垂直平分线上，得到AD所在直线即为BC的垂直平分线；
(2)连接CE，BF交于点H，连接AH交BC于点G，即为所求．
本题主要考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定方法．
17.【答案】解：去分母得：x2−1−x(x+1)=−2x，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：(x+1)(x−1)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】证明：
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AF=CE，
∴AF+EF=EF+CE，即AE=CF，
在△ABE和△CDF中
∠ABE=∠CDF∠BAE=∠DCFAE=CF
∴△ABE≌△CDF(AAS).
【解析】由AB//CD可得∠BAC=∠DCA，由AF=CE可得AE=CF，可证得△ABE≌△CDF.
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL.
19.【答案】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【解析】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+ac+bc)
=121−76
=45.
(1)根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
(2)根据(1)中结果，求出所求式子的值即可．
此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克．
由题意，得1000x+2=28002x，
解得x=200.
经检验，x=200是所列方程的解．
答：该商店第一次购进水果200千克．
(2)设最初每千克水果的标价是 y 元，则
(200+200×2−50)⋅y+50×12y−3800≥3100，
解得y≥12.
答：最初每千克水果的标价至少是12元．
【解析】(1)设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可；
(2)设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于3100元列出不等式，然后求解即可得出答案．
此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)BD⊥AC，
证明：在△ABD和△CBD中，
AD=CDAB=CBBD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，
∴BD⊥AC.
(2)∵DE//AB，
∴∠EDB=∠ABD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠EDB=∠CBD，
∴DE=BE，
∵BC=10，CE=4，
∴BE=BC−CE=10−4=6，
∴DE=6，
∴DE的长为6.
【解析】(1)由AD=CD，AB=CB，BD=BD，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABD≌△CBD，得∠ABD=∠CBD，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明BD⊥AC；
(2)由DE//AB，得∠EDB=∠ABD，而∠ABD=∠CBD，所以∠EDB=∠CBD，则DE=BE=BC−CE=10−4=6.
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABD≌△CBD是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵△ABC和△DEF为等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠B=∠BCA=∠DCE=60∘，
∴∠BCD+∠DCA=∠ACE+∠DCA，即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠EAC，
∵∠B=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE//BC；
(2)若F在AC的延长线上，(1)中的结论仍然成立．
过点F作FM//BC交AB的延长线于点M，
∵△ABC为等边三角形，FM//BC，
∴∠M=∠ABC=60∘，∠AFM=∠ACB=60∘，
∴△AFM为等边三角形，
同(1)可证AE//FM，
∵FM//BC，
∴AE//BC.
【解析】(1)利用等边三角形的性质可得BC=AC，DC=EC，∠B=∠BCA=∠DCE=60∘，再根据全等三角形的判定与性质可得∠B=∠EAC，最后根据平行线的判定方法可得结论；
(2)过点F作FM//BC交AB的延长线于点M，利用等边三角形的判定与性质及平行线的性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
23.【答案】(1)解：由题可知，△BED≌△BCD，∠BED=∠C=90∘，CD=ED=3，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DE+12BC⋅CD=12CD(AB+BC)=12×3×16=24(cm2)；
(2)证明：如图，过点P分别作AB、ED、AC边的垂线垂足分别为点F、H、M，
由题可知，△BED≌△BCD，∠BDC=∠BDE，
∴PH=PM，
∵EP平分∠BED，
∴PF=PH，
∴PF=PM，
∴∠PAC=∠PAB，
则AP平分∠CAB；
(3)解：如图，过点P分别作BC、AC边的垂线，垂足分别为点G、M，连接PC，
由题可知，△BED≌△BCD，∠DBC=∠DBE，
∴PH=PG，
由(2)可知PH=PM，
∴PH=PM=PG，
∵S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，
∴S△ABC=12PH(AB+BC+AC)=12AC⋅BC，
即12(10+6+8)PH=12×6×8，
解得PH=2cm.
【解析】(1)根据已知条件可得S△ABC=S△ABD+S△BCD，从而可以计算得解；
(2)过点P分别作AB、ED、AC边的垂线，垂足分别为点F、H、M，利用全等性质，通过等量代换即可得到PF=PM，通过角平分线性质即可得证；
(3)过点P分别作BC、AC边的垂线，垂足分别为点G、M，连接PC，通过条件可证得PH=PM=PG，利用S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP关系即可得解．
本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键．