2023-2024学年湖北省襄阳市樊城区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳市樊城区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.使分式xx−5有意义的条件是( )
A. x=5B. x≠0C. x≠−5D. x≠5
2.下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A. x2+y2B. −x2−y2C. x2−y3D. −x2+y2
3.下列长度的三根木条首尾相连，能组成三角形的是( )
A. 3，4，8B. 8，7，15C. 2，2，3D. 5，5，11
4.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去
6.将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 75∘
D. 85∘
7.下列计算正确的是( )
A. (a2)3=a6B. a2⋅a3=a6C. (2a)3=2a3D. a10÷a2=a5
8.一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为千米/时．( )
A. 12(a+b)B. aba+bC. a+b2abD. 2aba+b
9.如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在( )
A. △ABC三条中线的交点处B. △ABC三条高所在直线的交点处
C. △ABC三条角平分线的交点处D. △ABC三边的垂直平分线的交点处
10.如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论不一定成立的是( )
A. PA=PB
B. OA=OB
C. PO平分∠APB
D. AB垂直平分OP
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品______.
12.若5m=8，5n=4，则5m−n=__________.
13.如图，在等边三角形ABC中AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为__________.
14.若一个多边形的内角和与外角和具有2倍的数量关系，则它是______边形.
15.观察分析下列方程：①x+2x=3；②x+6x=5；③x+12x=7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是______.
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
王老师在黑板上书写了一个代数式及其正确的演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如：−x2−1x2−2x+1)÷xx−1=−2x.求“所捂部分”化简后的结果.
17.(本小题7分)
(1)观察图①∼图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征：______；______.
(2)在图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征．
18.(本小题8分)
阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式(x2−4x+1)(x2−4x+7)+9进行因式分解的过程．
解：设x2−4x=y
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2−4x+4)2(第四步)
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的____；
A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____；
(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解．
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为(−1,0)、(−2,3)、(−3,1).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出B1、C1两点的坐标：B1(______，______)C1(______，______)
(2)在y轴上找一点D，使得BD+DA的值最小，在图中画出得到D点的痕迹，并直接写出它的坐标D(______，______).
20.(本小题8分)
在△ABC中，已知∠A=80∘，∠C=30∘，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究：
(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；
(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；
(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系.
21.(本小题8分)
某校组织学生到相距80km的江阴黄山湖公园进行社会实践活动．上午8：00学生乘长途汽车从学校出发．上午8：30一位老师带着两名迟到的学生乘小轿车从学校出发，结果小轿车比长途汽车晚10分钟到达目的地．
(1)小汽车的行驶时间比长途汽车的行驶时间少______小时；(请直接写出答案)
(2)已知小轿车的平均速度是长途汽车的1.5倍，求小轿车的速度．
22.(本小题9分)
我们定义：顶角等于36∘的等腰三角形为黄金三角形.
(1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；(保留作图痕迹，不写作法)(2)说说(1)中的三角形是“黄金三角形”的理由.
23.(本小题10分)
如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
(1)下列分式：①x−1x2+1；②a−2ba2−b2；③x+yx2−y2；④a2−b2(a+b)2.其中是“和谐分式”的是______(填写序号即可)；
(2)若a为正整数，且x+1x2+ax+4为“和谐分式”，请写出a的值______；
(3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果______.
m2−n2；m2+2mn+n2；m−n.
24.(本小题10分)
(1)课本习题回放：
“如图①，∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm.求BE的长”.请直接写出此题答案：BE的长为______cm.
(2)探索证明：
如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB=AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF.
(3)拓展应用：
如图③，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，点E在线段AD上，∠BED=∠BAC.若DE：BE：AE=1：2：5，则S△BDE：S△ACD=______.(图中画出分析思路；直接填写结果)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得：x−5≠0，
解得：x≠5，
故选：D.
根据分式有意义的条件可得x−5≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
2.【答案】D
【解析】解：A、x2+y2，无法分解因式，不合题意；
B、−x2−y2，无法分解因式，不合题意；
C、x2−y3，无法分解因式，不合题意；
D、−x2+y2=(y−x)(y+x)，正确，符合题意；
故选：D.
直接利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．
【解答】
解：A、3+4<8，不能组成三角形；
B、8+7=15，不能组成三角形；
C、2+2>3，能够组成三角形；
D、5+5<11，不能组成三角形．
故选：C.
4.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形的知识求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5.【答案】C
【解析】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C.
此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】【解答】
解：∵∠DAC=∠DFE+∠C=60∘+45∘=105∘，
∴∠CAF=180∘−∠DAC=75∘，
故选：C.
【分析】
利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可．
本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解决本题的关键．
根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题．
【解答】
解：A.根据幂的乘方，得(a2)3=a6，故A符合题意．
B.根据同底数幂的乘法，得a2⋅a3=a5，故B不符合题意．
C.根据积的乘方，得(2a)3=8a3，故C不符合题意．
D.根据同底数幂的除法，得a10÷a2=a8，故D不符合题意．
故选：A.
8.【答案】D
【解析】【分析】
平均速度=总路程÷总时间，设单程的路程为x，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．
本题考查了列代数式(分式)，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．
【解答】
解：设上山的路程为x千米，
则上山的时间为xa小时，下山的时间为xb小时，
则上、下山的平均速度为2xxa+xb=2aba+b千米/时．
故选：D.
9.【答案】D
【解析】【分析】
根据题意和线段垂直平分线的性质，可以解答本题．
【解答】
解：∵中转仓到A，B，C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处.
故选：D.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的性质解答．
10.【答案】D
【解析】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，故A正确；
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠OAB=90∘−∠PAB，∠OBA=90∘−∠PBA，
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，故B正确；
∴PO平分∠APB；故C正确；
∵PA=PB，OA=OB，
∴点P在AB的垂直平分线上，点O在AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分AB，故D错误．
故选：D.
由OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，根据角平分线的性质，可证得PA=PB，又由等腰三角形的判定，可证得OA=OB，即可判定PO平分∠APB，根据线段垂直平分线的判定，可得OP垂直平分AB.
此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．注意掌握线段垂直平分线的判定的应用是关键．
11.【答案】书
【解析】解：根据轴对称的知识，这个单词是bk，
这个单词所指的物品是书，
故答案为：书
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，解答即可．
本题考查了轴对称的概念，注意轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是解决本题的关键．
逆用同底数幂的除法进行计算即可．
【解答】
解：∵5m=8，5n=4，
∴5m−n=5m÷5n=8÷4=2，
故答案为：2.
13.【答案】3
【解析】解：因为△ABC是等边三角形，
所以AC=BC=AB=2，
因为BD是AC边上的高线，
所以D为AC的中点，
所以AD=CD=12AC，
因为CE=CD，
所以CE=12AC=1，
所以BE=BC+CE=2+1=3.
故答案为：3.
由等边三角形的性质可得AC=BC=AB=2，根据BD是AC边上的高，可得AD=CD=1，再由题中条件CE=CD求出CE，最后由BE=BC+CE即可求得BE.
本题考查了等边三角形的性质和线段的和差，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=12AC是正确解答本题的关键．
14.【答案】三或六
【解析】解：设这个多边形为n边形，
若多边形的内角和是外角和的2倍，则(n−2)×180∘=360∘×2，
解得n=6，
即这个多边形为六边形；
若多边形的外角和是内角和的2倍，则(n−2)×180∘×2=360∘，
解得n=3，
即这个多边形为三角形；
综上所述，这个多边形为三角形或六边形．
故答案为：三或六．
根据多边形的外角和是360∘以及内角和的计算方法列方程求解即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360∘是正确解答的关键．
15.【答案】x+n(n+1)x=n+(n+1)
【解析】解：∵第1个方程为x+1×2x=1+2，
第2个方程为x+2×3x=2+3，
第3个方程为x+3×4x=3+4，
…
∴第n个方程为x+n(n+1)x=n+(n+1).
故答案是：x+n(n+1)x=n+(n+1).
方程中的分式的分子变化规律为：n(n+1)，方程的右边的变化规律为n+(n+1).
本题考查了分式的定义．该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么．
16.【答案】解：−2x×xx−1+x2−1(x−1)2
=−2x−1+(x+1)(x−1)(x−1)2
=−2x−1+x+1x−1
=x−1x−1
=1，
则“所捂部分”化简后的结果1.
【解析】根据分式的乘法法则、加法法则计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
17.【答案】(1)都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和.
(2)答案示例：
.
【解析】解：(1)答案不惟一，例如四个图案具有的共同特征可以是：
①都是轴对称图形；
②面积都等于四个小正方形的面积之和；
故答案为：都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和；
(2)见答案.
(1)应从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑；
(2)只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可，最简单的是相邻4个小正方形组成一个较大的正方形．
本题考查利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同，有一定难度．
18.【答案】解：(1)C；
(2)(x−2)4 ；
(3)设x2+2x=y，
原式=y(y+2)+1，
=y2+2y+1，
=(y+1)2
=(x2+2x+1)2
=(x+1)4
【解析】【分析】
本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
(1)根据完全平方公式进行分解因式；
(2)最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
(3)根据材料，用换元法进行分解因式．
【解答】
解：(1)y2+8y+16=(y+4)2，运用了完全平方公式，
故选：C；
(2)(x2−4x+1)(x2−4x+7)+9，
设x2−4x=y，
原式=(y+1)(y+7)+9，
=y2+8y+16，
=(y+4)2，
=(x2−4x+4)2，
=(x−2)4；
故答案为：(x−2)4；
(3)见答案．
19.【答案】−2−3−3−101
【解析】解：(1)如图所示：
由图可知：B1(−2,−3)、C1(−3,−1)；
故答案为：−2，−3，−3，−1；
(2)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′与y轴相交于点D，点D即为所求；
∵(−1,0)，
∴A′(1,0)，
设直线BA′的函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，
将A′(1,0)，B(−2,3)代入得：3=−2k+b0=k+b，
解得：k=−1b=1，
∴直线BA′的函数解析式为：y=−x+1，
当x=0时，y=1，
∴D(0,1).
故答案为：0，1.
(1)先根据题意，画弧图形，再根据图形即可写出B1，C1两点的坐标；
(2)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′与y轴相交于点D，点D即为所求，求出直线BA′的函数解析式，即可求出点D的坐标．
此题考查了轴对称的最短路径问题、网格中三角形的面积、轴对称图形与坐标以及一次函数等知识，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∠1+∠2=180∘−2∠CDE+180∘−2∠CED
=360∘−2(∠CDE+∠CED)
=360∘−2(180∘−∠C)
=2∠C
=60∘；
(2)连接DG，
∠1+∠2=180∘−∠C′−(∠ADG+∠AGD)
=180∘−30∘−(180∘−80∘)
=50∘；
(3)∠2−∠1=180∘−2∠CED−(2∠CDE−180∘)
=360∘−2(∠CDE+∠CED)
=360∘−2(180∘−∠C)
=2∠C
所以：∠2−∠1=2∠C.
【解析】(1)根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180∘−2∠CDE，∠2=180∘−2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；
(2)连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；
(3)将∠2看作180∘−2∠CED，∠1看作2∠CDE−180∘，再根据三角形内角和定理来求．
此题是一道折叠问题，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．
21.【答案】13
【解析】解：(1)由题意，得
12−16=13，
故答案为：13
(2)设长途汽车的速度为xkm/时，则小汽车的速度为1.5xkm/时，由题意，得
80x=801.5x+13，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的根，
∴小轿车的速度为：80×1.5=120km/时．
(1)用长途汽车先行驶的时间减去小轿车后到达的时间就是小汽车不长途汽车少用的时间；
(2)设长途汽车的速度为xkm/时，则小汽车的速度为1.5xkm/时，根据时间之间的关系建立方程求出其解即可．
本题时一道行程问题的运用题，考查运用追击问题解实际问题的运用，列分式方程解实际问题的运用，解答时运用时间之间的数量关系建立方程是关键．
22.【答案】(1)解：如图，△BDC是“黄金三角形”；
(2)△BDC是“黄金三角形”，理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36∘，
∵∠A=36∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180∘−36∘)=72∘，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72∘，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BDC是黄金三角形．
【解析】(1)作∠ABC的角平分线，交AC于点D，△BDC即为所求；
(2)由角平分线的定义得∠ABD=∠CBD=36∘，再由等腰三角形的性质得∠ABC=∠C=72∘，然后证∠BDC=∠C，则BD=BC，即可得出结论．
本题考查了“黄金三角形”的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】② 4m−nm2+2mn+n2或m2+2mn+n2m−n
【解析】解：(1)①x−1x2+1，分式的分子或分母都不可以因式分解，分式不是“和谐分式”；
②a−2ba2−b2=a−2b(a+b)(a−b)，分式的分母可以因式分解，这个分式不可约分，分式是“和谐分式”；
③x+yx2−y2=x+y(x+y)(x−y)=1x−y，分式可以约分，分式不是“和谐分式”；
④a2−b2(a+b)2=(a+b)(a−b)(a+b)2=a−ba+b，分式可以约分，分式不是“和谐分式”；
故答案为：②；
(2)当a=4时，x+1x2+4x+4=x+1(x+2)2，分式是“和谐分式”；
当a=5时，x+1x2+5x+4=x+1(x+4)(x+1)=1x+4，分式不是“和谐分式”；
∴a的值是4，
故答案为：4；
(3)m2−n2=(m+n)(m−n)，m2+2mn+n2=(m+n)2，
∴m2−n2不能作分子或分母，
∴构造的“和谐分式”是：m−nm2+2mn+n2或m2+2mn+n2m−n，
故答案为：m−nm2+2mn+n2或m2+2mn+n2m−n.
(1)根据“和谐分式”的定义判断即可；
(2)分a=4、a=5两种情况，根据“和谐分式”的定义判断；
(3)根据“和谐分式”的定义判断．
本题考查的是分式的约分、“和谐分式”的定义，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
24.【答案】0.82：35
【解析】(1)解：如图①，∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠CBE=∠ACD=90∘−∠BCE，
在△CBE和△ACD中，
∠CBE=∠ACD∠E=∠ADCBC=CA，
∴△CBE≌△ACD(AAS)，
∴CE=AD=2.5cm，BE=CD，
∵DE=1.7cm，
∴BE=CD=CE−DE=2.5−1.7=0.8(cm)，
故答案为：0.8.
(2)证明：如图②，∵∠AEB+∠BED=180∘，∠CFA+∠CFD=180∘，且∠BED=∠CFD，
∴∠AEB=∠CFA，
∵∠BED=∠BAC，
∴∠ABE=∠BED−∠BAE=∠BAC−∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA∠ABE=∠CAFAB=CA，
∴△ABE≌△CAF(AAS).
(3)解：如图③，在AD上截取AL=BE，连接CL，
∵∠BED=∠BAC，
∴∠ABE=∠BED−∠BAD=∠BAC−∠BAD=∠CAL，
在△ABE和△CAL中，
AB=CA∠ABE=∠CALBE=AL，
∴△ABE≌△CAL(SAS)，
∴S△ABE=S△CAL，
∵DE：BE：AE=1：2：5，
∴DE：AL：AE=1：2：5，
设DE=2m，则AL=2m，AE=5m，
∴AD=DE+AE=2m+5m=7m，
∵S△BDES△ABE=15，
∴S△ABE=S△CAL=5S△BDE，
∵S△ACDS△CAL=ADAL=72，
∴S△ACD=72S△CAL=72×5S△BDE=352S△BDE，
∴S△BDES△ACD=235，即S△BDE：S△ACD=2：35，
故答案为：2：35.
(1)由BE⊥CE，AD⊥CE，得∠E=∠ADC=∠ACB=90∘，则∠CBE=∠ACD=90∘−∠BCE，而BC=CA，即可根据“AAS”证明△CBE≌△ACD，得CE=AD=2.5cm，BE=CD，因为DE=1.7cm，所以BE=CD=CE−DE=0.8cm，于是得到问题的答案；
(2)由∠BED=∠CFD，推导出∠AEB=∠CFA，由∠BED=∠BAC，得∠ABE=∠BED−∠BAE=∠BAC−∠BAE=∠CAF，而AB=CA，即可根据“AAS”证明△ABE≌△CAF；
(3)在AD上截取AL=BE，连接CL，由∠BED=∠BAC，得∠ABE=∠BED−∠BAD=∠BAC−∠BAD=∠CAL，而AB=CA，即可根据“SAS“证明△ABE≌△CAL，则S△ABE=S△CAL，由DE：BE：AE=DE：AL：AE=1：2：5，设DE=2m，则AL=2m，AE=5m，求得AD=7m，则S△BDES△ABE=15，所以S△ABE=S△CAL=5S△BDE，而S△ACDS△CAL=ADAL=72，则S△ACD=72S△CAL=352S△BDE，所以S△BDES△ACD=235，于是得到问题的答案．
此题重点考查同角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质、数形结合及类比等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36∘，则△ABC为黄金三角形.