2023-2024学年湖北省襄阳市老河口市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳市老河口市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12B. (a3)2=a5C. (a2b)3=a2b3D. (−a2)3=−a6
2.下列变形是因式分解的是( )
A. x(x+1)=x2+xB. x2+2x+1=(x+1)2
C. x2+xy−3=x(x+y)−3D. x2+6x+4=(x+3)2−5
3.在13,2x,x+12,x−yx+y中，分式的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.分式1x+1有意义的条件是( )
A. x≠−1B. x≠0C. x≠1D. x为任意实数
5.分式方程2x−3=1x的解是( )
A. x=1B. x=−1C. x=3D. x=−3
6.三角形的面积是12a3−6ab+3a2，它的一条高是3a，这条高对应的底边长是( )
A. 8a2−4b+2aB. a2+2b−4aC. a2−2b+4aD. 4a2−2b+a
7.已知a+b=4，ab=2，那么a2+b2的值是( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
8.直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为( )
A. 90∘B. 135∘C. 120∘D. 45∘或135∘
9.如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=100∘，∠BAE=60∘，则∠CAE的度数为( )
A. 20∘
B. 30∘
C. 40∘
D. 50∘
10.如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.2−2=______.
12.分解因式：8a3b2−12ab3c=______.
13.如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形的小路和一条平行四边形小路(阴影部分)，两条小路的出口宽均为c.对花园中小路以外的部分进行绿化，则绿化部分的面积为______.
14.如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以A、B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为______.
15.若关于x的方程1x+1x+2=2mx(x+2)无解，则m的值为______.
16.如图，在△ABC中，∠BAC=30∘，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，∠CAE=75∘，若CE=BA+AC，则∠B的度数为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
计算：
(1)(x+y)(x2−xy+y2)；
(2)(12a3−6a2+3a)÷3a；
(3)(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9.
18.(本小题6分)
如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC.求证：AB=DE.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(2a+b)2+(a+b)(a−b)，其中a=1，b=−2.
20.(本小题6分)
化简：(1+a2−a)÷4−a2a2−4a+4，并在−2，0，2中选择一个合适的a值代入求值.
21.(本小题6分)
由小正方形组成的3×3的网格中，每个小正方形的顶点称为格点.A，B，C均为格点.在给定的网格中，按下列要求画图(每小题只画一种即可)：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段N，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点.
(2)在图②中，画一条不与AB重合的线段PQ，使PQ与AB关于某条直线对称，且P，Q为格点.
(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点.
22.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x其中x满足(x−1)(x−3)=1.
23.(本小题7分)
某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从A地行驶至B地，全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0.8元.
(1)求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费；
(2)从A地行驶至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，DE⊥AB.
(1)求证：∠CAD=∠BDE；
(2)作DF//AB，交AC于点F，若AB=6，求DF的长.
25.(本小题12分)
问题提出：在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，直线N经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.探究线段DE，AD，BE之间的数量关系.
分类探究：
(1)如图1，当A，B两点在直线N同侧时.①求证：△ADC≌△CEB；②推断：线段DE，AD，BE之间的数量关系是______；
(2)如图2，当A，B两点在直线MN异侧时，请探究线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程；
拓展运用：
(3)如图3，∠ACB=90∘，AC=BC，A(−3,m)，B(2,n)，C(−1,−1)，请直接写出m，n的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a3⋅a4=a7，故A错误；
B、(a3)2=a6，故B错误；
C、(a2b)3=a6b3，故C错误；
D、(−a2)3=−a6，故D正确；
故选：D.
由同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方分别进行判断，即可得到答案．
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
2.【答案】B
【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误；
故选：B.
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
3.【答案】C
【解析】解：在式子13,2x,x+12,x−yx+y中，属于分式的有：2x，x−yx+y，共2个，
故选：C.
直接根据分式的定义进行判即可．
本题主要考查了分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB其中B≠0叫做分式，解题的关键在于能够熟练掌握分式的定义．
4.【答案】A
【解析】解：要使1x+1有意义，得
x+1≠0.
解得x≠−1，
当x≠−1时，1x+1有意义，
故选：A.
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论是解题的关键．
将分式方程转化为整式方程，求出x的值，检验即可得出答案．
【解答】
解：2x−3=1x，
方程两边都乘x(x−3)得：2x=x−3，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，x(x−3)≠0，
∴x=−3是原方程的解．
故选：D.
6.【答案】A
【解析】解：∵三角形的面积是12a3−6ab+3a2，它的一条高是3a，
∴这条高对应的底边长=2×(12a3−6ab+3a2)÷3a=8a2−4b+2a，
故选：A.
根据三角形的面积等于底乘高的一半，故底边长等于面积×2除以高，列式计算即可作答．
本题考查了整式的除法运算，解题的关键是正确运算．
7.【答案】A
【解析】解：∵(a+b)2=a2+b2+2ab=16，
即a2+b2+4=16，
∴a2+b2=12.
故选A.
把a+b=4两边平方，即可得到a2+b2+2ab=16，然后把ab=2代入即可求解．
本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是直角三角形的性质及三角形的内角和定理，熟知直角三角形的性质是解答此题的关键．
本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180∘进行求解．
【解答】
解：如图：
∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA=90∘÷2=45∘，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45∘，
∴∠EOD=180∘−45∘=135∘，
故选B.
9.【答案】A
【解析】解：∵∠1=∠2=100∘，
∴∠ADE=∠AED=80∘，
∴∠DAE=180∘−∠ADE−∠AED=20∘，
∵AD=AE，∠ADE=∠AED，BE=CD，
∴△AEB≌△ADC(SAS)
∴∠BAE=∠CAD=60∘，
∴∠CAE=∠CAD−∠DAE=20∘，
故选：A.
由“SAS”可证△AEB≌△ADC，可得∠BAE=∠CAD=60∘，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEB≌△ADC是本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设BD=x，则CD=20−x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，∠BDE=∠CDF=30∘.
∴BE=12⋅BD=x2，
同理可得，CF=20−x2，
∴BE+CF=x2+20−x2=10.
故选B.
先设BD=x，则CD=20−x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B=∠C=60∘，再利用含30∘角的直角三角形的性质求出BE和CF的长，即可得出BE+CF的值．
本题考查的是等边三角形的性质，用到的知识点是含30∘角的直角三角形的性质，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
11.【答案】14
【解析】解：2−2=122=14.
故答案为：14.
根据负整数指数幂的运算法则直接进行计算即可．
本题主要考查负整数指数幂，幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
12.【答案】4ab2(2a2−3bc)
【解析】解：8a3b2−12ab3c=4ab2(2a2−3bc)，
故答案为：4ab2(2a2−3bc).
利用提公因式法进行分解，即可解答．
本题考查了因式分解-提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
13.【答案】ab−ca−cb+c2
【解析】解：由图可得，
S矩形ABCD=AB⋅AD=ab，
S道路面积=ca+cb−c2，
∴可绿化面积=S矩形ABCD−S道路面积
=ab−(ca+cb−c2)，
=ab−ca−cb+c2.
故答案为：ab−ca−cb+c2.
由长方形的面积减去小路的面积，再加上重叠部分面积即可得到结果．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC
=DA+DC+BC
=AC+BC
=AB+BC
=5+3
=8.
故答案为8.
利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AB+BC.
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作已知线段的垂直平分线).也考查了线段垂直平分线的性质．
15.【答案】±1
【解析】解：1x+1x+2=2mx(x+2)，
x+2+x=2m，
m=x+1，
∵关于x的方程1x+1x+2=2mx(x+2)无解，
∴x=0或x+2=0，
∴x=0或x=−2，
∴m=±1.
故答案为：±1.
根据分式方程的定义即可解答．
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.
16.【答案】50∘
【解析】解：延长CA到O，使得AO=AB，连接OE，
∵∠BAC=30∘，∠CAE=75∘，
∴∠BAE=75∘+30∘=105∘，∠OAE=180∘−75∘=105∘，
∴∠BAE=∠OAE，
在△AOE和△ABE中，
AO=AB∠BAE=∠OAEAE=AE，
∴△AOE≌△ABE(SAS)，
∴∠B=∠O，
∵CE=BA+AC，
∴CE=AO+AC=OC，
∴∠O=∠CEO，
∴∠OCE+∠O+∠OEC=∠B+∠BAC+∠B+∠B=180∘，
故3∠B+30∘=180∘，
∴∠B=50∘，
故答案为：50∘
延长CA到O，使得AO=AB，连接OE，求出∠BAE=∠OAE=105∘，证明△AOE≌△ABE，然后根据角度关系求得3∠B+30∘=180∘求出∠B的度数即可．
此题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握作辅助线和掌握各性质定义．
17.【答案】解：(1)(x+y)(x2−xy+y2)
=x3−x2y+xy2+x2y−xy2+y3
=x3+y3；
(2)(12a3−6a2+3a)÷3a
=12a3÷3a−6a2÷3a+3a÷3a
=4a2−2a+1；
(3)(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9
=[2xx(x−3)−x−3x(x−3)]⋅x(x−3)(x+3)2
=x+3x(x−3)⋅x(x−3)(x+3)2
=1x+3.
【解析】(1)根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
(2)根据多项式除以单项式进行计算即可求解；
(3)先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
本题考查分式的计算，掌握分式的化简是解题的关键．
18.【答案】证明：因为∠1=∠2，
所以∠1+ECA=∠2+∠ECA，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
CA=CD∠ACB=∠DCEBC=EC，
所以△ABC≌△DEC(SAS).
所以AB=DE.
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答时证明∠ACB=∠DCE是关键．首先由∠1=∠2可以得出∠ACB=∠DCE，然后根据全等三角形的判定定理SAS即可证明△ABC≌△DEC，从而到AB=DE.
19.【答案】解：(2a+b)2+(a+b)(a−b)
=4a2+4ab+b2+a2−b2
=5a2+4ab；
当a=1，b=−2时，
原式=5×12+4×1×(−2)
=5−8
=−3.
【解析】根据完全平方公式、平方差公式进行化简运算，然后再代入数据求值即可．
本题主要考查了整式的混合运算求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
20.【答案】解：原式=2−a+a2−a×a−22(2+a)(2−a)
=22−a×a−22(2+a)(2−a)
=22+a，
∵a≠−2，2，
∴当a=0时，原式=1.
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从−2，0，2中选择一个使得原分式有意义值代入化简后的式子即可解答本题．
21.【答案】(1)如图①，线段MN即为所求作的图形．
(2)如图②，线段PQ即为所求作的图形．
(3)如图③，△DEF即为所求作的图形．
【解析】(1)根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN并且与AB对称即可；
(2)根据对称性即可在图②中，画一条不与AB重合的线段PQ并且与AB对称；
(3)根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．
本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
22.【答案】解：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x
=[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]÷x−4x
=(x+2)(x−2)−x(x−1)x(x−2)2÷x−4x
=x−4x(x−2)2×xx−4
=1(x−2)2，
∵(x−1)(x−3)=1，
∴x2−4x=−2，
∴原式=1(x−2)2=1x2−4x+4=1−2+4=12.
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，然后把(x−1)(x−3)=1整理后整体代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为(x+0.8)元，
由题意得：96x+0.8=16x，
解得：x=0.16，
检验，当x=0.16时，x(x+0.8)≠0，
∴x=0.16是原分式方程的解，
∴该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为0.16元；
(2)A地到B的路程为：16÷0.16=100(千米)，
设从A地行驶至B地用电行驶y千米，则用油行驶(100−y)千米，
由题意得：0.16y+0.96(100−y)≤40，
解得：y≥70，
∴从A地行驶至B地，至少用电行驶70千米．
【解析】(1)设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为(x+0.8)元，根据“全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费”，列出分式方程，解方程即可；
(2)先求出A地到B的路程为100千米，设从A地行驶至B地用电行驶y千米，则用油行驶(100−y)千米，根据“用油和用电的总费用不超过40元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AB=AC，点D为BC边的中点，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90∘.
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90∘.
∴∠BAD=∠BDE.
∴∠CAD=∠BDE.
(2)解：∵DF//AB，
∴∠ADF=∠BAD.
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD.
∴AF=DF.
∵∠ADC=90∘，
∴∠ADF+∠CDF=∠DAC+∠C=90∘.
∴∠CDF=∠C.
∴CF=DF.
∴DF=12AC=12AB=3.
【解析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质以及余角的性质即可求解；
(2)根据DF//AB得到∠ADF=∠BAD，根据等角对等边的性质，得出CF=DF，AF=DF.然后进行解答即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
25.【答案】DE=AD+BE
【解析】(1)①证明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90∘，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
②解：由①可知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+DC=AD+BE，
故答案为：DE=AD+BE；
(2)解：DE=AD−BE.
证明如下：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90∘，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE−CD=AD−BE；
(3)解：如图3，过点C作DE//x轴，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，
由(2)可知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∴m+1=1+2，3−1=n+1，
∴m=2，n=1.
(1)①根据直角三角形的性质得到∠DAC=∠BCE，利用AAS定理证明△ADC≌△CEB；
②根据全等三角形的性质得到AD=CE，CD=BE，结合图形得出结论；
(2)证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，结合图形得出结论；
(3)过点C作DE//x轴，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，根据全等三角形的性质得到AD=CE，CD=BE，根据题意列式计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．