2023-2024学年江西省上饶市万年县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年江西省上饶市万年县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. 3a2+5a2=8a4B. (a2+3)0=1C. a6⋅a2=a12D. (2ab2)3=6a3b6
3.在△ABC中，AB=AC=x，BC=5，则腰长x的取值范围是( )
A. 052C. 525
4.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是( )
A. 九边形B. 八边形C. 七边形D. 六边形
5.关于x的分式方程3x=ax−4有解，则字母a的取值范围是( )
A. a≠3B. a≠0C. a≠3且a≠0D. a=3且a=1
6.如图，点P、Q是边长为12cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为2cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动过程中，下列结论错误的是( )
A. BP=CM
B. △ABQ≌△CAP
C. 当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形
D. ∠CMQ的度数不变，始终等于60∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：−3m2+12m−12=______.
8.如图，要使△AOB≌AOC，在∠1=∠2的情况下，还需添加一个条件是______(填一个即可).
9.若2m=a，32n=b，m，n为正整数，则23m+10n=______.
10.已知ab=−1，a+b=2，则式子ab+ba=______.
11.已知△ABC，BC=7cm，BC边的垂直平分线分别交AC、BC于N、M，若△ABN的周长为13cm，则△ABC的周长等于______cm.
12.已知△ABO关于x轴对称，A(3,2)，若在坐标轴上有一点C(x,y)(x,y均为整数)，且满足△BOC的面积等于4，则C点的坐标为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.解方程：2x2−4−x2−x=1.
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
(1)计算：(−9)3×(23)4×6−2.
(2)计算：(2x+1)(4x2−2x+1)−x(8x2−1).
15.(本小题6分)
如图，已知∠A=∠B，AD=BC，AC和BD相交于点E.求证：∠BDC=∠ACD.
16.(本小题6分)
已知长方形ABCD如图所示，直线BC上有两点M、N，且MB=NC，请仅用无刻度的直尺分别在图(1)和图(2)中画出一个不同的等腰三角形OMN.
17.(本小题6分)
先化简2a+2a−1÷(a+1)+a2−1a2−2a+1，然后a在−1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
18.(本小题8分)
已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+2c2=2c(a+b).试判断△ABC的形状.
19.(本小题8分)
甲、乙两人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b)，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x−10；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2−9x+10，求a，b的值.
20.(本小题8分)
如图所示：在△ABC中，∠ABC=90∘，点D在AC上，点E在△BCD的内部，DE平分∠BDC，且BE=CE.
(1)求证：BD=CD；
(2)求证：BD=12AC.
21.(本小题9分)
“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，万年县某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书.已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本.
(1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？
(2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠.若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？
22.(本小题9分)
关于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c或x=1c；
x+2x=c+2c的解是x=c或x=2c；
x+3x=c+3c的解是x=c或x=3c；
……
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+nx=m+nm(m≠0,n≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么？(直接写出答案)并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)请利用这个结论解关于x的方程：x−2x−3=a−2a−3(a≠3).
23.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴一动点(OC>2)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连结DA并延长交y轴于点E.
(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
(2)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、B、C的图形能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A.3a2+5a2=8a2，因此选项A不符合题意；
B.由于a2+3≠0，所以(a2+3)0=1，因此选项B符合题意；
C.a6⋅a2=a8，因此选项C不符合题意；
D.(2ab2)3=8a3b6，因此选项D不符合题意．
故选：B.
根据合并同类项法则，零指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方的计算方法逐项进行计算即可．
本题考查合并同类项法则，零指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，零指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵等腰三角形ABC中，腰长AB=AC=x，底边BC=5，
∴三角形三边之间的关系得：AB+AB>BC，
∴x+x>5，
解得：x>52.
故选：B.
根据三角形三边之间的关系得x+x>5，由此解出即可得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】本题考查了多边形的内角和公式以及外角和定理，正确理解定理是关键．
根据多边形的外角和是360∘，以及多边形的内角和公式即可求解．
解：设多边形的边数是n，则(n−2)×180∘=3×360∘，
解得：n=8.
故选：B.
5.【答案】C
【解析】解：将关于x的分式方程3x=ax−4的两边都乘以x(x−4)，得
3(x−4)=ax，
即(3−a)x=12，
由于分式方程有解，
∴a≠3，
又∵分式方程有增根x=0和x=4，
∴当x=4时，a=0，
综上所述x≠3且x≠0.
故选：C.
根据分式方程的解法以及分式方程的增根可确定a的取值范围即可．
本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的意义是正确解答的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、在等边△ABC中，AB=BC.
∵点P、Q的速度都为2cm/s，
∴AP=BQ，
∴BP=CQ.
只有当CM=CQ时，BP=CM.
故A错误；
B、∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS).
故B正确；
C、设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=(12−t)cm，
当∠PQB=90∘时，
∵∠B=60∘，
∴PB=2BQ，即12−t=2t，t=4，
当∠BPQ=90∘时，
∵∠B=60∘，
∴BQ=2BP，得t=2(12−t)，t=8，
∴当第4秒或第8秒时，△PBQ为直角三角形．
故C正确．
D、点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60∘.
故D正确；
故选：A.
A、等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ.
B、根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
C、设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=(12−t)cm，当∠PQB=90∘时，因为∠B=60∘，所以PB=2BQ，即12−t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90∘时，同理可得BQ=2BP，即t=2(12−t)，由此两种情况即可得出结论．
D、由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60∘；
此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60∘是解答此题的关键．
7.【答案】−3(m−2)2
【解析】解：−3m2+12m−12
=−3(m2−4m+4)
=−3(m−2)2，
故答案为：−3(m−2)2.
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8.【答案】OB=OC(或∠B=∠C或∠BAO=∠CAO)答案不唯一
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠AOB=∠AOC，
∵AO=AO，
∴当添加OB=OC时，△AOB≌AOC(SAS)；
当添加∠B=∠C时，△AOB≌AOC(AAS)；
当添加∠BAO=∠CAO时，△AOB≌AOC(ASA).
故答案为：OB=OC(或∠B=∠C或∠BAO=∠CAO).答案不唯一
先根据等角的余角相等得到∠AOB=∠AOC，加上OA为公共边，所以可根据“SAS”或“AAS”或“ASA”添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
9.【答案】a3b2
【解析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
解：32n=25n=b，2m=a，
则23m+10n=23m⋅210n=2m3⋅25n2=a3⋅b2=a3b2.
故答案为：a3b2.
10.【答案】−6
【解析】解：∵ab=−1，a+b=2，
∴原式=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=4+2−1=−6，
故答案为：−6
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】20
【解析】解：∵MN垂直平分BC，
∴BN=CN，
∵△ABN的周长为13cm，
∴AB+AN+BN=13cm，
∴AB+AN+CN=13cm，
即AB+AC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=13+7=20(cm).
故答案为：20.
先根据线段垂直平分线的性质得到BN=CN，然后利用△ABN的周长为13cm和等线段代换得到AB+AC=13cm，从而可计算出△ABC的周长．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
12.【答案】(−4,0)或(4,0)
【解析】解：∵△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(3,2)，
∴点B的坐标为(3,−2)，
又∵在坐标轴上有一点C(x,y)(x,y均为整数)，且满足△BOC的面积等于4，
∴当点C在x轴上时，12×OC×2=4，即OC=4，
当点C在y轴上时，12×OC×3=4，即OC=83，
∴C点的坐标为(−4,0)或(4,0).
故答案为：(−4,0)或(4,0).
根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得点B的坐标为(3,−2)，再根据△BOC的面积等于4，即可得到点C的坐标．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标和三角形的面积，关键是掌握关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
13.【答案】解：去分母得2+x(x+2)=x2−4，
解得x=−3，
检验：当x=−3时，(x−2)(x+2)≠0，
所以原方程的解为x=−3.
【解析】本题考查了解分式方程：先把方程化为整式方程，解整式方程，然后进行检验即可，属于基础题．
方程两边同乘以(x+2)(x−2)得到整式方程2+x(x+2)=x2−4，可解得x=−3，然后进行检验确定分式方程的解．
14.【答案】解：(1)(−9)3×(23)4×6−2
=−36×2434×122×32
=−36×2434×22×32
=−22
=−4；
(2)(2x+1)(4x2−2x+1)−x(8x2−1)
=8x3−4x2+2x+4x2−2x+1−8x3+x
=1+x.
【解析】(1)先根据有理数的乘方和负整数指数幂进行计算，再根据分数的乘法法则进行计算即可；
(2)先根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了有理数的乘方，单项式乘多项式，多项式乘多项式，负整数指数幂等知识点，能正确根据有理数的乘方、单项式乘多项式、多项式乘多项式、负整数指数幂定义进行计算是解此题的关键．
15.【答案】证明：在△AED和△BEC中，
∠A=∠B∠AED=∠BECAD=BC，
∴△AED≌△BEC(AAS)，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，即∠BDC=∠ACD.
【解析】首先利用AAS证得△AED≌△BEC，进而利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是利用AAS证明△AED≌△BEC.
16.【答案】解：连接AC，BD交于O，连接OM，ON，如图(1)，△OMN即为所求；
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBM=∠OCN，
∵BM=CN，
∴△OBM≌△OCN(SAS)，
∴OM=ON，
∴△OMN是等腰三角形；
连接MA，ND并延长交于O，如图(2)，△OMN即为所求；
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABM=∠DCN=90∘，AB=DC，
∵MB=NC，
∴△ABM≌△DCN(SAS)，
∴∠AMB=∠DNC，
∴OM=ON，
∴△OMN是等腰三角形．
【解析】连接AC，BD交于O，连接OM，ON，如图(1)，△OMN即为所求；
连接MA，ND并延长交于O，如图(2)，△OMN即为所求；
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定．
17.【答案】解：原式=2(a+1)a−1⋅1a+1+(a+1)(a−1)(a−1)2
=2a−1+a+1a−1
=a+3a−1，
当a=2(a≠−1,a≠1)时，原式=2+32−1=5.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18.【答案】解：△ABC是等边三角形．
理由：
∵a2+b2+2c2=2c(a+b)，
∴a2+b2+2c2−2ac−2bc=0.
∴(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2)=0.
∴(a−c)2+(b−c)2=0.
∴a−c=0且b−c=0.
∴a=c且b=c.
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形．
【解析】判断三角形的形状，条件里有边长，需要根据所给等式判断出三角形的三边有什么样的关系．把所给等式整理成右边为0的等式，然后把左边进行整理，得到两个非负数的和为0，即可得到三角形的三边有什么样的关系，也就判断出了三角形的形状．
本题考查了因式分解的应用．把所给等式进行合理分组后进行因式分解是解决本题的关键．用到的知识点为：a2−2ab+b2=(a−b)2；两个非负数的和为0，这两个数均为0.
19.【答案】解：由题意可知：
甲：(2x−a)(3x+b)=6x2+11x−10，
乙：(2x+a)(x+b)=2x2−9x+10，
∵6x2+11x−10=(2x+5)(3x−2)，
∴(2x−a)(3x+b)=(2x+5)(3x−2)，
∴a=−5，b=−2，
【解析】根据题意列出代数式即可求出答案．
本题考查多项式乘以多项式，属于基础题型．
20.【答案】证明：(1)作EM⊥AC于M，EN⊥BD于N.
∵∠EDM=∠EDN，EM⊥AC于M，EN⊥BD于N，
∴EM=EN，
∵CE=BE，
∴Rt△CEM≌Rt△BEN(HL)，
∴∠ECM=∠EBN，
∵∠ECB=∠EBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴BD=CD；
(2)∵∠ABC=90∘，∠DCB=∠DBC，
又∵∠A+∠ACB=90∘，∠DBC+∠ABD=90∘，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=12AC，
∵BD=CD，
∴BD=12AC.
【解析】(1)作EM⊥AC于M，EN⊥BD于N.只要证明Rt△CEM≌Rt△BEN，推出∠ECM=∠EBN，∠ECB=∠EBC，可得∠DBC=∠DCB，推出DB=DC；
(2)只要证明AD=CD=12AC即可．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)设甲种图书的价格是x元，则乙种图书的价格是(x−5)元，
由题意得：1600x−900x−5=20，
解得：x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意，
∴x−5=20−5=15，
答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元；
(2)设学校可购进甲种图书m本，则可购进乙种图书(300−m)本，
由题意得：20×0.9m+15×0.8(300−m)≤4800，
解得：m≤200，
答：学校最多可购进甲种图书200本．
【解析】(1)设甲种图书的价格是x元，则乙种图书的价格是(x−5)元，根据用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本．列出分式方程，解方程即可；
(2)设学校可购进甲种图书m本，则可购进乙种图书(300−m)本，根据该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)关于x的方程x+nx=m+nm(m≠0,n≠0)的解是x1=m，x2=nm，
检验：当x=m时，左边=m+nm，右边=m+nm，左边=右边，
所以x=m是方程的解；
当x=nm时，左边=nm+nnm=nm+m，右边=m+nm，左边=右边，
所以x=nm是方程的解；
即关于x的方程x+nx=m+nm(m≠0,n≠0)的解是x1=m，x2=nm；
(2)x−2x−3=a−2a−3(a≠3)，
(x−3)+−2x−3=(a−3)+−2a−3，
所以x−3=a−3或x−3=−2a−3，
解得：x1=a，x2=3a−11a−3.
【解析】(1)先根据已知得出方程的解，再根据方程的解的定义验证即可；
(2)先变形得出方程为(x−3)+−2x−3=(a−3)+−2a−3，根据已知得出的规律得出x−3=a−3或x−3=−2a−3，再求出答案即可．
本题考查了分式方程的解，能根据已知方程和方程的解得出规律是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)△OBC≌△ABD.
证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
OB=AB∠OBC=∠ABDCB=DB，
∴△OBC≌△ABD(SAS)；
(2)∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC=∠BAD=60∘，
又∵∠OAB=60∘，
∴∠OAE=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴∠EAC=120∘，∠OEA=30∘，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
∵在Rt△AOE中，OA=2，∠OEA=30∘，
∴AE=4，
∴AC=AE=4，
∴OC=1+4=5，
∴当点C的坐标为(5,0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【解析】(1)先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60∘，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
(2)先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120∘，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30∘，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．