2023-2024学年山东省济宁市嘉祥县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省济宁市嘉祥县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列剪纸作品中，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播.经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为( )
A. 0.156×10−3B. 1.56×10−3C. 15.6×10−4D. 1.56×10−4
3.一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
4.下列各式中，从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A. x2+2x+3=x(x+2)+3B. (x+1)(x−1)=x2−1
C. x2+1=(x+1)(x−1)D. x2+4x+4=(x+2)2
5.如图，△ABC≌△DBE，∠C=45∘，∠D=35∘，∠ABD=40∘，则∠ABE的度数是( )
A. 60∘
B. 65∘
C. 70∘
D. 75∘
6.如图，在△ABC中，∠B=30∘，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.如果CE=10，则ED的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.如果把分式2x3x−2y中的x，y都扩大3倍，则分式值( )
A. 扩大3倍B. 不变C. 缩小3倍D. 扩大2倍
8.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图1)，把余下的部分拼成一个长方形(如图2)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2
B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2
D. a2−b2=(a+b)(a−b)
9.甲、乙两港口相距48千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程( )
A. 96x+4+96x−4=9B. 48x+4+48x−4=9
C. 484+x+484−x=9D. 48x+4=9
10.如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB且∠EBD=∠CBD，连接DE、CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30∘；④若EC//AD，则S△EBC=1，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式8x3y−18xy=______.
12.已知：x2−5x+1=0，x2+1x2=______.
13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△A′B′C.连接AA′，若∠1=27∘，则∠B的度数是______ ∘.
14.如果xn=y，那么我们规定(x,y]=n.例如：因为32=9，所以(3,9]=2.已知(4,12]=a,(4,5]=b,(4,y]=c，若a+b=c，y的值为______.
15.观察以下等式：
第1个等式：14+1=22+14，
第2个等式：49+1=43+19，
第3个等式：916+1=64+116，
第4个等式：1625+1=85+125，
第5个等式：2536+1=106+136，
……
按照以上规律，请写出第n个等式(用含n的等式表示)：______.
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
(1)计算：(x+2y)(x−2y)−2x5y3÷(−x2y)2+(x+y)2；
(2)化简：a2−4a+4a−1÷(3a−1−a−1)；
(3)解方程：x−2x+2−16x2−4=1+4x−2.
17.(本小题6分)
先把代数式(1+1x−2)÷x−1x2−4x+4化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适字代入求值.
18.(本小题6分)
如图，边长为1的正方形网格中，四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D都在格点上.
(1)画出四边形ABCD关于x轴的对称图形四边形A1B1C1D1，则点B1坐标为______；
(2)在y轴上找一点P，使得PA+PC1最短，请画出点P所在的位置，并写出点P的坐标.
19.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE.
(2)求证：AB=BC+AD.
20.(本小题7分)
当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)由图2，可得等式：______.
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=32，求a2+b2+c2的值.
21.(本小题9分)
某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
22.(本小题11分)
(1)如图①，等腰直角△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC，点A、B分别在坐标轴上，若点C的横坐标为2，直接写出点B的坐标______；(提示：过C作CD⊥y轴于点D，利用全等三角形求出OB即可)
(2)如图②，若点A的坐标为(−6,0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF，等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值．若变化，求PB的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，故选项正确；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：C.
轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称，依此即可求解．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2.【答案】D
【解析】解：0.000156=1.56×10−4，
故选：D.
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
则(n−2)⋅180∘=360∘×6，
解得：n=14，
即这个多边形的边数是14.
故选：C.
已知多边形的外角和为360∘，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可．
本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.x2+2x+3=x(x+2)+3，右边不是乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B.(x+1)(x−1)=x2−1，是整式乘法，不是因式分解，故不符合题意；
C.x2+1≠(x+1)(x−1)，故不符合题意；
D.x2+4x+4=(x+2)2，是因式分解，故符合题意．
故选：D.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解；结合题中所给的等式，运用上述的定义即可判断．
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠E=∠C=45∘，
∵∠D=35∘，
∴∠EBD=180∘−∠D−∠E=100∘，
∵∠ABD=40∘，
∴∠ABE=∠DBE−∠ABD=60∘，
故选：A.
根据题意求出∠EBD=100∘，利用角之间的关系计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB=EC=10，
∵∠B=30∘，∠EDB=90∘，
∴DE=12EB=5，
故选：C.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EC=10，根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分式的基本性质，属于基础题.
依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
【解答】
解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得2(3x)3(3x)−2(3y)=6x9x−6y=3(2x)3(3x−2y)=2x3x−2y，
可见新分式与原分式相等．
故选：B.
8.【答案】D
【解析】【分析】
图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为a2−b2;图乙中阴影部分为长方形，长和宽分别为(a+b)和(a−b)，阴影部分的面积为(a+b)(a−b)，根据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到答案．
【解答】
解：因为图甲中阴影部分的面积=a2−b2，图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a−b)，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
所以a2−b2=(a+b)(a−b).
故选：D.
9.【答案】B
【解析】解：顺流时间为：48x+4；逆流时间为：48x−4.
所列方程为：48x+4+48x−4=9.
故选：B.
本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．连接DC，证△ACD≌△BCD得出①∠DAC=∠DBC；再证△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30∘；其它两个条件运用假设成立推出答案即可．
【解答】证明：连接DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60，
∵DB=DA，DC=DC，
在△ACD和△BCD中，
BC=ACDB=DADC=DC
∴△ACD≌△BCD(SSS)，
∴∠DAC=∠DBC，∠BCD=∠ACD=12∠ACB=30∘，
∵BE=AB，
∴BE=BC，
∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，
在△BED和△BCD中，
BE=BC∠DBE=∠DBCBD=BD
∴△BED≌△BCD(SAS)，
∴∠BED=∠BCD=30∘.
由此得出①③正确．
∵EC//AD，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，
∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，
∵BE=BA，
∴BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=60∘+∠1，
在△BCE中三角和为180∘，
∴2∠1+2(60∘+∠1)=180∘
∴∠1=15∘，
∴∠CBE=30∘，此时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确，
故本题中②错误．
BE边上的高为12BC=1，
∴S△EBC=1，结论④是正确的．
故正确的选项有三个．
故选：C.
11.【答案】2xy(2x+3)(2x−3)
【解析】解：原式=2xy(4x2−9)
=2xy(2x+3)(2x−3).
故答案为：2xy(2x+3)(2x−3).
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】23
【解析】解：∵x2−5x+1=0，
∴两边同时除以x得：x−5+1x=0，
∴x+1x=5，
两边平方得：x2+1x2+2=25，
则x2+1x2=23.
故答案是：23.
把x2−5x+1=0两边同时除以x得：x+1x=5，然后两边平方即可求解．
本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
13.【答案】72
【解析】解：根据旋转的性质可得：AC=A′C，∠ACA′=90∘，∠B=∠A′B′C，
∴∠CAA′=∠CA′A=45∘，
∵∠1=27∘，
∴∠CA′B′=∠CA′A−∠1=45∘−27∘=18∘，
∴∠A′B′C=90∘−18∘=72∘，
∴∠B=72∘.
故答案为：72.
由将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△A′B′C′，再连接AA′，可得△ACA′是等腰直角三角形，又由∠1=27∘，即可求得∠CA′B′，继而求得答案．
此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形性质．三角形的外角的性质，此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】60
【解析】解：∵如果xn=y，那么我们规定(x,y]=n,
∴由(4,12]=a，可得4a=12，
(4,5]=b，可得4b=5，
(4,y]=c，可得4c=y，
∵a+b=c，
∴4a+b=4c，
∵4c=y，4a⋅4b=4a+b=12×5=60，
∴y=60，
故答案为：60.
根据题目的定义转换以后计算即可．
本题考查同底数幂的乘法逆用，解题的关键是根据新定义转换成乘方运算．
15.【答案】(nn+1)2+1=2nn+1+(1n+1)2
【解析】解：n=1时：14+1=22+14，左边=(11+1)2+1，右边=1×21+1+(11+1)2.
n=2时：49+1=43+19，左边=(22+1)2+1，右边=2×22+1+(12+1)2.
n=3时：916+1=64+116，左边=(33+1)2+1，右边=3×23+1+(13+1)2.
……，
按照以上规律，
∴第n个等式为：(nn+1)2+1=2nn+1+(1n+1)2.
故答案为：(nn+1)2+1=2nn+1+(1n+1)2.
观察第1个等式的，发现左边=(11+1)2+1，右边=1×21+1+(11+1)2.而第2个等式，发现左边=(22+1)2+1，右边=2×22+1+(12+1)2.故按照此规律即可写出第n个等式．
本题考查了数字的变化知识，观察等式得到规律是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=x2−4y2−2x5y3÷x4y2+x2+2xy+y2
=x2−4y2−2xy+x2+2xy+y2
=2x2−3y2；
(2)原式=(a−2)2a−1÷3−(a+1)(a−1)a−1
=(a−2)2a−1÷3−a2+1a−1
=(a−2)2a−1÷(2+a)(2−a)a−1
=(2−a)2a−1⋅a−1(2+a)(2−a)
=2−a2+a；
(3)去分母得：(x−2)2−16=x2−4+4(x+2)，
整理得：x2−4x+4−16=x2−4+4x+8，
移项、合并同类项得：8x=−16，
解得：x=−2，
检验：把x=−2代入得：(x+2)(x−2)=0，
所以x=−2是增根，分式方程无解．
【解析】(1)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，平方差公式，完全平方公式，以及单项式除单项式法则计算，合并同类项即可得到结果；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
(3)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
17.【答案】解：原式=x−2+1x−2⋅(x−2)2x−1
=x−2，
∵x−2≠0且x−1≠0，
∴x可以取3，
当x=3时，原式=3−2=1.
【解析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式=x−2，然后根据分式有意义的条件可以把x=3代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18.【答案】(−5,−2)
【解析】解：(1)如图，四边形A1B1C1D1为所作，点B1坐标为(−5,−2)；
故答案为(−5,−2)；
(2)如图，点P为所作，P点坐标为(0,0).
(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1、D1的坐标，然后描点即可；
(2)画出C点关于y轴的轴对称C′，连接AC′，交y轴于点P，即可确定P点位置．
本题主要考查了作图--轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
19.【答案】证明：(1)∵AD//BC，
∴∠D=∠FCE，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△AED与△FEC中，
∠D=∠FCEDE=CE∠AED=∠FEC，
∴△AED≌△FEC(ASA)；
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴EA=EF，AD=FC，
∵BE⊥AE，
∴AB=BF，
∵BF=BC+CF=BC+AD，
∴AB=BC+AD.
【解析】(1)则AD//BC得∠D=∠FCE，而DE=CE，∠AED=∠FEC，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△AED≌△FEC；
(2)由全等三角形的性质得EA=EF，AD=FC，而BE⊥AE，由线段的垂直平分线的性质得AB=FB=BC+AD.
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、证明△AED≌△FEC是解题的关键．
20.【答案】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【解析】解：(1)从整体看：大正方形的边长为：a+b+c，
∴大正方形的面积=(a+b+c)2；
从组成看：大正方形的面积=a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
(2)由(1)得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2ab−2ac−2bc=(a+b+c)2−2(ab+bc+ac).
∵a+b+c=12，ab+bc+ac=32，
∴a2+b2+c2=122−2×32=144−64=80.
(1)从整体看：大正方形的面积等于边长的平方；从组成看，大正方形的面积由6块组成：a2，b2，c2，ab，ac，bc，ab，ac，bc，让它们相加即可得到大正方形的面积，进而可得到相应的等式；
(2)把(1)得到的等式进行整理，可得a2+b2+c2=(a+b+c)2−2ab−2ac−2bc=(a+b+c)2−2(ab+bc+ac)，把相关数值代入计算即可．
本题考查因式分解及乘法公式的应用．根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是(x+30)元，
根据题意得：360x=480x+30，
解得：x=90，
经检验，x=90是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=90+30=120.
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
(2)设篮球卖了y个，则足球卖了(13y+10)个，
根据题意得：(150−120)y+(110−90)(13y+10)>1300，
解得：y>30，
又∵y，13y+10均为正整数，
∴y的最小值为33.
答：篮球最少要卖33个．
【解析】(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是(x+30)元，利用数量=总价÷单价，结合用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入(x+30)中，即可求出篮球的单价；
(2)设篮球卖了y个，则足球卖了(13y+10)个，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，结合总利润超过1300元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再结合y，13y+10均为正整数，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】(0,2)
【解析】解：(1)如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO=90∘，∠ABO+∠BAO=90∘，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
∠BOA=∠BDC=90∘∠CBD=∠BAOAB=BC，
∴△ABO≌△BCD(AAS)，
∴CD=BO=2，
∴B点坐标(0,2)；
故答案为：(0,2)；
(2)PB的长度不发生改变，
理由：如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA=90∘，∠OBA+∠EBG=90∘，
∴∠BAO=∠EBG，
在△BAO和△EBG中，∠AOB=∠BGE=90∘∠BAO=∠EBGAB=BE
∴△BAO≌△EBG(AAS)，
∴BG=AO，EG=OB，
∵OB=BF，
∴BF=EG，
在△EGP和△FBP中，∠EPG=∠FPB∠EGP=∠FBP=90∘EG=BF，
∴△EGP≌△FBP(AAS)，
∴PB=PG，
∴PB=12BG=12AO=3
即：PB的长度不发生改变，是定值为3.
(1)作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
(2)作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=12AO，即可解题．
此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．