2023-2024学年山东省日照市岚山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省日照市岚山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的( )
A. 全等性B. 对称性C. 稳定性D. 美观性
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为( )
A. 11B. 12C. 13D. 11或13
4.若分式x−12−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2B. x≠0C. x≠1且x≠2D. x≠2
5.下列计算正确的是( )
A. a3+a3=a6B. a3⋅a3=a9C. a6÷a2=a4D. (a3)2=a5
6.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DP，EP是连接弹簧和伞骨的支架，且DP=EP，已知弹簧P在向上滑动的过程中，总有△ADP≌△AEP，其判定依据是( )
A. SSSB. SSAC. ASAD. AAS
7.如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. a2+2ab+b2=(a+b)2
C. a2−2ab+b2=(a−b)2D. (a+b)2−4ab=(a−b)2
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36∘，以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点D，再分别以C，D为圆心，以大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F，连接DF.以下结论不正确的是( )
A. AD=CF
B. BC=AF
C. ∠ABE=36∘
D. ∠CFD=108∘
9.对于分式P=xy，我们把分式P′=1−y1+x叫做P的伴随分式.若分式P1=a−1a，分式P2是P1的伴随分式，分式P3是P2的伴随分式，分式P4是P3的伴随分式，…以此类推，则分式P2024等于( )
A. 1−aaB. a−1aC. 1−a2−aD. a−12−a
10.如图，点D是△ABC边BC上一点，将△ABD沿AD折叠，使点B落在AC上的点B′处，连接BB′，B′D∠ABC的平分线交AD于点E，若B′D//BE，那么下列结论中：①AD平分∠BAC；②AD是BB′的垂直平分线，③B′D=B′C；④∠ABC=3∠C.其中正确的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步.已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为______.
12.一个多边形的每个内角都等于120∘，则这个多边形的边数是______.
13.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+2)(x−3)，则a+b的值为______.
14.如图，△ABC中，∠B=30∘，∠C=50∘，点D为边BC上一点，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落到点B′处，恰有B′D//AC，则∠ADB的度数为______.
15.已知关于x的分式方程2x−3+x+a3−x=2的解为正数，则a的取值范围是______.
16.如图，△ABC的面积是12，AB=8，∠CAB的平分线交BC于点D，M，N分别是线段AD，AC上的动点，则CM+MN的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)(4y−1)(5−y)；
(2)a−2b2⋅(a2b−2)−3.
18.(本小题10分)
先化简，再求值：
(1)(2a+3b)2−(2a+b)(2a−b)，其中a=12，b=−1；
(2)(x2−1x2−2x+1−12x−2)÷3x−1，其中x=12.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF.
求证：(1)△BDE≌△CDF；
(2)AD是△ABC的角平分线.
20.(本小题9分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(5,1)，C(3,5).
(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，请你在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，并分别写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标；
(2)点C2(a+b,a−b)与点C关于x轴对称，则a=______，b=______；
(3)求△ABC的面积.
21.(本小题9分)
数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片ABC，点M，N分别是边AC，BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC，点C的对应点为点D.
(1)若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠1与∠ACB的数量关系是______；
(2)若如图2所示，点D在△ABC内部，∠ACB=40∘，求∠1+∠2的度数；
(3)若如图3所示，点D在△ABC外部，直接写出∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系.
22.(本小题8分)
对于任意实数a，b，我们规定：G(a,b)=a2+b2，H(a,b)=ab，例如：G(1,2)=12+22=5，H(2,−3)=2×(−3)=−6.
(1)填空：
①G(−4,−6)=______；
②若H(−5,x)=10，则x=______；
(2)若x+y=6，且G(x,2y)+H(3,−y2)=20，求xy与(x−y)2的值；
23.(本小题10分)
春节期间，晓东计划和家人自驾来阿掖山游玩，晓东家汽车是某型号油电混合动力汽车，有用油和用电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用.经过计算，该汽车从晓东家行驶到阿掖山，全程用油驱动需60元油费，全程用电驱动需12元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0.6元.
(1)求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费；
(2)若驾驶该汽车从晓东家行驶至阿掖山，游玩后再返回家，需要燃油和用电两种驱动方式，往返全程用电和用油的总费用不超过78元，则最多用油行驶多少千米？
24.(本小题12分)
已知，如图1，在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于点O，点D、E分别在边AB，BC上，且∠DOE=60∘，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系.
(1)方法探索：
小敏的思路是：如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF.先证明△BOE≌△______，从而OE=______；继而证明△DOE≌△______，从而DE=______；因此可判断 AD、DE、BE三者之间的数量关系是______；
(2)拓展运用：
如图2，点D在边AB上，点E在CB的延长线上，其它条件不变，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性．
故选：C.
三角形具有稳定性，由此即可得到答案．
本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性．
2.【答案】D
【解析】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
3.【答案】D
【解析】解：设第三边长x，
∴5−2∴3∵△ABC的第三边长是偶数，
∴x=4或6，
∴此三角形的周长为2+5+4=11或2+5+6=13.
故选：D.
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长x，得到3本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：2−x≠0，
解得：x≠2，
故选：D.
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故本选项错误；
B、a3⋅a3=a6，故本选项错误；
C、a6÷a2=a4，故本选项正确；
D、(a3)2=a6，故本选项错误；
故选C.
根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方分别求出，再进行判断即可．
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的应用，主要考查学生的计算能力．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=AE，
在△ADP和△AEP中，
AD=AEAP=APDP=EP.
∴△ADP≌△AEP(SSS)，
故选：A.
根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADP≌△AEP.
此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：甲图中阴影部分的面积为：a2−2ab+b2，图乙中阴影部分的面积为：(a−b)2，
所以a2−2ab+b2=(a−b)2，
故选：C.
分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答．
本题考查了完全平方公式，分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由作图可知，BD=BC，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE.
∵BF=BF，
∴△BDF≌△BCF(SAS)，
∴DF=CF，∠BDF=∠BCF.
∵AB=AC，∠BAC=36∘，
∴∠ABC=∠ACB=72∘，
∴∠BDF=72∘，
∴∠AFD=∠BDF−∠BAC=36∘，
∴∠BAC=∠AFD，
∴AD=DF，
∴AD=CF，
故A选项正确，不符合题意；
∵∠ABE=∠CBE=12∠ABC=36∘，
∴∠BAC=∠ABE，
∴AF=BF，
∵∠BFC=180∘−∠ACB−∠CBE=72∘，
∴∠BFC=∠ACB，
∴BF=BC，
∴BC=AF，
故B选项正确，不符合题意，C选项正确，不符合题意；
∵∠CFD=180∘−∠AFD，∠AFD=36∘，
∴∠CFD=144∘，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D.
由作图可知，BD=BC，BE为∠ABC的平分线．证明△BDF≌△BCF，可得DF=CF，∠BDF=∠BCF，结合等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=72∘，则∠BDF=72∘，进而可得∠BAC=∠AFD=36∘，则AD=DF，即AD=CF，可判断A选项正确；根据等腰三角形的判定与性质可得AF=BF，BF=BC，则BC=AF，可判断B选项正确；根据∠ABE=∠CBE=12∠ABC=36∘，可判断C选项正确；由∠CFD=180∘−∠AFD=144∘，可判断D选项不正确．
本题考查作图-基本作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵P1=a−1a，
∴P2=1−a1+a−1=1−aa，
∴P3=1−a1+1+a=1−a2−a，
∴P4=1−(2−a)1+1−a=a−12−a，
∴P5=1−(2−a)1+(a−1)=a−1a，
∴P5=P1，P6=P2，，
∴4个一循环，
∵2024÷4=506，
∴P2024=P4=a−12−a，
故选：D.
根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让2024÷4，根据结果即可确定．
本题考查了分式的定义，规律问题，理解伴随分式的求法，找出规律是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由折叠得∠BAD=∠B′AD，点B′与点B关于直线AD对称，
∴AD平分∠BAC，AD是BB′的垂直平分线，
故①正确，②正确；
∵B′D//BE，
∴∠ADB′=∠BED，∠CDB′=∠CBE，
∵∠ADB′=∠ADB，
∴∠BED=∠ADB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE=∠B′AD+∠CBE，∠ADB=∠B′AD+∠C，
∴∠B′AD+∠CBE=∠B′AD+∠C，
∴∠CBE=∠C，
∴∠CDB′=∠C，
∴B′D=B′C，
故③正确；
∵∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∠CBE=∠C，
∴∠C=12∠ABC，
∴∠ABC=2∠C≠3∠C，
故④错误，
故选：B.
由折叠得∠BAD=∠B′AD，点B′与点B关于直线AD对称，则AD平分∠BAC，AD是BB′的垂直平分线，可判断①正确，②正确；由B′D//BE，得∠ADB′=∠BED，∠CDB′=∠CBE，所以∠BED=∠ADB，而∠ABE=∠CBE，所以∠BED=∠B′AD+∠CBE，∠ADB=∠B′AD+∠C，即可证明∠CBE=∠C，则∠CDB′=∠C，所以B′D=B′C，可判断③正确；由∠ABE=∠CBE=∠C=12∠ABC，得∠ABC=2∠C，可判断④错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的“三线合一”、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识，证明AD垂直平分BB′是解题的关键．
11.【答案】2.8×10−8
【解析】解：0.000000028=2.8×10−8.
故答案为：2.8×10−8.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于120∘，
∴多边形的每一个外角都等于180∘−120∘=60∘，
∴边数n=360∘÷60∘=6.
故答案为：6.
先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360∘，再用360∘除以外角的度数，即可得到边数．
此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．
13.【答案】−7
【解析】解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+2)(x−3)，
∴x2+ax+b=(x+2)(x−3)=x2−x−6，
故a=−1，b=−6，
则a+b=−7.
故答案为：−7.
首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．
此题主要考查了多项式乘法，正确利用将原式展开是解题关键．
14.【答案】115∘
【解析】解：∵∠B=30∘，∠C=50∘，
∴∠BAC=100∘，
由折叠的性质得，∠B′=∠B=30∘，∠B′AD=∠BAD，∠ADB′=∠ADB，
∵DB′//AC，
∴∠CAB′=∠B′=30∘，
∴∠DAB′=35∘，
∴∠ADB=∠ADB′=∠ADC=180∘−∠DAB′−∠B′=115∘，
故答案为：115∘.
根据三角形的内角和得到∠BAC=110∘，由折叠的性质得到∠B′=∠B=30∘，∠B′AD=∠CAD，∠ADC=∠ADE，根据平行线的性质得到∠CAB′=∠B′=30∘，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】a<8且a≠−1
【解析】解：去分母得：2−x−a=2x−6，
解得：x=8−a3，
由分式方程的解为正数，得到8−a3>0且8−a3≠3，
解得：a<8且a≠−1.
故答案为：a<8且a≠−1.
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数求出a的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴点N关于AD的对称点N′在AB上，
∴MN=MN′，
CM+MN=CM+MN′，
当C、M、N′在同一直线上且CN′⊥AB时，CM+MN′最短，
作CE⊥AB于点E，
则CM+MN的最小值为CE的长，
∵AB=8，S△ABC=12，
∴12×8⋅CE=12，
解得CE=3，
即CM+MN的最小值是3.
故答案为：3.
根据AD是∠BAC的平分线，得点N关于AD的对称点N′在AB上，所以MN=MN′，则CM+MN=CM+MN′，当C、M、N′在同一直线上且CN′⊥AB时，CM+MN′最短，再AB=8，S△ABC=12，推出CE的长，从而得解．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点M的位置是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=20y−4y2−5+y
=−4y2+21y−5；
(2)原式=a−2b2⋅(a−6b6)
=a−8b8
=b8a8.
【解析】(1)运用多项式乘多项式运算法则解答即可；
(2)先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式解答即可．
本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，多项式乘多项式，负整数指数幂，单项式乘以单项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)(2a+3b)2−(2a+b)(2a−b)
=4a2+12ab+9b2−4a2+b2
=12ab+10b2，
当a=12，b=−1时，原式=12×12×(−1)+10×(−1)2=4；
(2)(x2−1x2−2x+1−12x−2)÷3x−1
=[(x+1)(x−1)(x−1)2−12(x−1)]⋅x−13
=[x+1x−1−12(x−1)]⋅x−13
=2x+2−12(x−1)⋅x−13
=2x+16，
当x=12时，原式=2×12+16=13.
【解析】(1)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可；
(2)先将括号内的式子变形，然后通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再化简，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵D是BC的中点
∴BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC=90∘
在Rt△BDE和Rt△CDF中
BD=CD
BE=CF.
∴△BDE≌△CDF.
(2)∵△BDE≌△CDF
∴DE=DF
∵DE⊥AB，DF⊥AC
点D在∠BAC的平分线上
即AD是△ABC的角平分线．
【解析】(1)由∠BED=∠CFD=90∘，BE=CF，BD=CD得△BED≌△CFD.
(2)根据△BED≌△CFD可得DE=DF，即点D在∠BAC的平分线上，据此得证．
本题考查了三角形(一般、直角)全等的判定及性质；题目中由全等提供条件再证全等是一种常用的办法，要注意掌握并运用．
20.【答案】−14
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
A1(−1,4)，B1(−5,1)，C1(−3,5)；
(2)∵点C2(a+b,a−b)与点C关于x轴对称，
∴a+b=3a−b=−5，
解得a=−1b=4
故答案为：−1，4；
(3)△ABC的面积=4×4−12×1×2−12×2×4−12×3×4=8.
(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可，根据所作图形可得答案；
(2)根据关于x轴对称的点的坐标特征列方程即可得到结论；
(3)根据割补法即可求出△ABC的面积．
本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
21.【答案】∠1=2∠ACB
【解析】解：(1)因为点D恰好在BC上，
所以C，D，N三点在一条直线上．
所以∠1=∠MDN+∠ACB.
由折叠可知，
MD=MC，
所以∠MDN=∠ACB，
所以∠1=2∠ACB.
故答案为：∠1=2∠ACB.
(2)连接C，D，
由折叠可知，
MD=MC，
所以∠MDC=∠ACD.
又因为∠1=∠MDC+∠ACD，
所以∠1=2∠ACD.
同理可得，
∠2=2∠BCD，
又因为∠ACD+∠BCD=∠ACB，
所以∠1+∠2=2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB.
因为∠ACB=40∘，
所以∠1+∠2=2×40∘=80∘.
(3)∠2−∠1=2∠ACB.
连接C，D，
由折叠可知，
MD=MC，
所以∠MDC=∠MCD.
又因为∠1=∠MDC+∠MCD，
所以∠1=2∠MCD.
同理可得，
∠2=2∠NCD.
又因为∠NCD−∠MCD=∠ACB，
所以∠2−∠1=2(∠NCD−∠MCD)=2∠ACB.
故∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系为：∠2−∠1=2∠ACB.
(1)根据折叠，利用三角形的外角定理即可解决问题．
(2)连接C，D，利用三角形的外角定理即可解决问题．
(3)连接C，D，方法与(2)相同．
本题考查轴对称的性质，熟知轴对称的性质及三角形的外角定理是解题的关键．
22.【答案】52−2
【解析】解：(1)①G(−4,−6)=(−4)2+(−6)2=16+36=52，
故答案为：52；
②若H(−5,x)=10，
则−5x=10，
解得x=−2，
故答案为：−2；
(2)∵G(x,2y)+H(3,−y2)=20，
∴x2+(2y)2+(−3y2)=20，
∴x2+y2=20，
∴(x+y)2−2xy=20，
∵x+y=6，
∴36−2xy=20，
∴xy=8，
∴(x−y)2=x2−2xy+y2=20−2×8=4.
(1)①根据G(a,b)=a2+b2计算即可；
②根据H(a,b)=ab得出−5x=10，求解即可；
(2)根据题中给出的运算得出x2+(2y)2+(−3y2)=20，化简得x2+y2=20，再根据完全平方公式进行变形得(x+y)2−2xy=20，代入已知条件求出xy的值，再次根据完全平方公式即可求出(x−y)2的值．
本题考查了实数的运算，完全平方公式，新运算，理解题意，运用新运算求解是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费是(x+0.6)元，
根据题意得：60x+0.6=12x，
解得：x=0.15，
经检验，x=0.15是所列方程的解，且符合题意．
答：该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是0.15元；
(2)晓东家到阿掖山的路程为12÷0.15=80(千米).
设用油行驶y千米，则用电行驶(80×2−y)千米，
根据题意得：0.15(80×2−y)+(0.15+0.6)y≤78，
解得：y≤90，
∴y的最大值为90.
答：最多用油行驶90千米．
【解析】(1)设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费是(x+0.6)元，根据晓东家到阿掖山的路程不变，结合“全程用油驱动需60元油费，全程用电驱动需12元电费”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)利用晓东家到阿掖山的路程=全程用电驱动所需电费÷该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费，可求出晓东家到阿掖山的路程，设用油行驶y千米，则用电行驶(80×2−y)千米，根据往返全程用电和用油的总费用不超过78元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】AOFOFDOFDFAD=BE+DE
【解析】解：(1)如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF，
∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OAB=∠OBC=∠OBA=12∠ABC=30∘，
∴OA=OB，
在△AOF和△BOE中，
AF=BE∠OAF=∠OBE=30∘OA=OB，
∴△AOF≌△BOE(SAS)，
∴OF=OE，∠AOF=∠BOE，
∵∠DOE=∠BOD+∠BOE=60∘，
∴∠AOF+∠BOD=60∘，
∵∠AOB=180∘−∠OAB−∠OBA=120∘，
∴∠DOF=120∘−60∘=60∘=∠DOE，
在△DOF和△DOE中，
OF=OE∠DOF=∠DOEOD=OD，
∴△DOF≌△DOE(SAS)，
∴DF=DE，
∴AD=AF+DF=BE+DE，
故答案为：AOF，OF，DOF，DF，AD=BE+DE；
(2)AD=DE−BE，理由如下：
如图2，在BA延长线上截取AN=BE，连接ON，
∵∠OAB=30∘，∠OBC=30∘，
∴∠OAN=150∘，∠OBE=150∘，
在△ANO和△BEO中，
AN=BE∠OAN=∠OBE=150∘OA=OB，
∴△ANO≌△BEO(SAS)，
∴ON=OE，∠AON=∠BOE，
∵∠AOB=∠AOE+∠BOE=180∘−∠OAB−∠OBA=120∘，
∴∠NOE=∠AOE+∠AON=∠AOB=120∘，
∵∠DOE=60∘，
∴∠DON=60∘=∠DOE，
在△DNO和△DEO中，
ON=OE∠DON=∠DOEOD=OD，
∴△DNO≌△DEO(SAS)，
∴DN=DE，
∴AD=DN−AN=DE−BE.
(1)在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF，证明△AOF≌△BOE(SAS)，根据全等三角形的性质得到OF=OE，∠AOF=∠BOE，证明△DOF≌△DOE(SAS)，得到DF=DE，结合图形根据线段的和差即可得解；
(2)在BA延长线上截取AN=BE，连接ON，仿照(1)的方法解答．
本题是三角形综合题，考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．