2023-2024学年山东省淄博市临淄区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省淄博市临淄区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如图是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. ①勾股树B. ②分形树C. ③谢尔宾斯三角形D. ④雪花
2.下列各组代数式中，没有公因式的是( )
A. ax+y和x+yB. 2x和4y
C. a−b和b−aD. −x2+xy和y−x
3.下列分式中，最简分式是( )
A. xy4x2B. a2+b2a+bC. 2−x4−x2D. 3−xx2−6x+9
4.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE=4cm，AB=6cm，则AD的长度是( )
A. 4cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 10cm
5.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为1cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. ( 2−1)cm
D. (2 2−1)cm
6.如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是( )
A. 变小
B. 不变
C. 变大
D. 先变小再变大
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC=6，BD=8，过点A作AE⊥BC于点E，则AE长为( )
A. 125B. 245C. 485D. 718
8.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是( )
A. 若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B. 若AC=BD，则四边形ABCD是矩形
C. 若AC⊥BD，AC=BD，则四边形ABCD是正方形
D. 若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形
9.四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值.第一四分位数，又称”较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字，第二四分位数就是中位数.如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数.九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：165、182、136、112、145、171、155、93.这组数据中第一四分位数是( )
A. 102.5B. 168C. 124D. 150
10.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一动点，过点P作AC的垂线，分别交边AD，BC于点E，F，连接CE，AF，有下列结论：①四边形AFCE的面积是定值；②AE+CF的值不变；③CE+AF的值不变；④AE2+CF2=AF2+CE2，则下列结论一定成立的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.要使分式x−22x+6有意义，x的取值范围是______.
12.如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1=______ ∘.
13.某公司决定招聘一名职员，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表：
这三项成绩按照如图所示的比例确定综合成绩，则该应聘者最后的得分为______分.
14.如图，在方格棋盘上有三枚棋子，位置分别为(4,4)，(8,4)，(5,6)，请你再放下一枚棋子，使这四枚棋子组成一个平行四边形，这枚棋子的坐标可以是______.
15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为(0,4)，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=6 2，则点C的坐标为______.
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)因式分解：a2−8a+15；
(2)因式分解：x2(x−3)+4(3−x)；
(3)计算：(−2y3x)−2⋅6xy÷(−3x2y)3.
17.(本小题10分)
(1)解分式方程：6x−2=xx+3−1；
(2)先化简，再求值：(1+2a+1)÷a2+6a+9a+1，从−3，−1，2中选择合适的a的值代入求值.
18.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF=60∘，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE=DF.
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF.
(1)若∠BAC=40∘.则∠BAF的度数为______；
(2)若AC=8，BC=6，求AF的长．
20.(本小题12分)
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(1)请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线______于第三边，并且______；
(2)证明：三角形中位线定理．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：______.
证明：
21.(本小题12分)
如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45∘.把△ADN绕点A顺时针旋转90∘得到△ABE，此时E，B，M共线.
(1)求证：△AEM≌△ANM.
(2)若正方形ABCD的边长为6，DN=2，求BM的长.
22.(本小题13分)
国庆70华诞期间，各超市购物市民络绎不绝，呈现浓浓节日气氛．“百姓超市”用320元购进一批葡萄，上市后很快脱销，该超市又用680元购进第二批葡萄，所购数量是第一批购进数量的2倍，但进价每市斤多了0.2元．
(1)该超市第一批购进这种葡萄多少市斤？
(2)如果这两次购进的葡萄售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每市斤葡萄的售价应该至少定为多少元？
23.(本小题13分)
如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60∘，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N.
(1)求证：AF=EF；
(2)求MN+NG的最小值；
(3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：①既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
②③是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】解：A、两个没有公因式，正确；
B、显然有系数的最大公约数是2，故错误；
C、只需把b−a=−(a−b)，两个即有公因式为a−b，故错误；
D、−x2+xy=x(y−x)，显然有公因式y−x，故错误．
故选：A.
找公因式即要找系数的最大公约数，二要找相同字母或相同因式的最低次幂．
本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．
3.【答案】B
【解析】解：A、xy4x2=y4x，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
B、a2+b2a+b是最简分式，故此选项符合题意；
C、2−x4−x2=2−x(2−x)(2+x)=1x+2，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
D、3−xx2−6x+9=−x−3(x−3)2=−1x−3，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
故选：B.
利用最简分式定义进行分析即可．
此题主要考查了最简分式，关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4.【答案】D
【解析】解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD//BC，CD=AB=6，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠EDC，
∴CE=CD=6，
∴BC=BE+CE=4+6=10，
∴AD=BC=10，
故选：D.
由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD.
此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的定义，关键是由平行四边形的性质及角平分线的定义得等腰三角形通过等量代换求出AD.
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1cm的正方形，
∴BD= 12+12= 2(cm)，
由平移的性质可知BB′=1cm，
∴B′D=( 2−1)cm.
故选：C.
根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB′，计算即可．
本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，根据平移的概念求出BB′是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠AOB=90∘，M为AB的中点，
∴OM=12AB.
同理OM=12CD.
∵AB=CD.
∴OM的长度不变．
故选：B.
不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．(即直角三角形的外心位于斜边的中点).
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=12AC=3，BO=12BD=4，AO⊥BO，
∴BC= CO2+BO2= 9+16=5，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=BC×AE，
∴AE=245，
故选：B.
利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长．
此题考查菱形的性质，关键是根据面积法得到AE的长．
8.【答案】D
【解析】解：A、若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选项A不符合题意；
B、若AC=BD，则四边形不一定ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、若AC⊥BD，AC=BD，则四边形ABCD不一定是正方形，故选项C不符合题意；
D、∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D.
根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为：
93、112、136、145、155、165、171、182，
则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即112+1362=124.
故选：C.
根据第一四分位数的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即为所求．
本题考查了中位数，理解第一四分位数的定义是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点C作CG//EF，交AD的延长线于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴CF=EG，
∴S△ACF=S△CEG，
∴S△ACF+S△ACE=S△CEG+S△ACE，即S四边形AFCE=S△ACG，
∴四边形AFCE的面积是定值，故①正确；
∵AE+CF=AE+EG=AG，
∴AE+CF的值不变，故②正确；
∵AE2+CF2=AP2+PE2+CP2+PF2，AF2+CE2=AP2+PF2+PE2+CP2，
∴AE2+CF2=AF2+CE2，故④正确；
∴CE+AF的值不变不成立，故③错误，
故选：C.
过点C作CG//EF，交AD的延长线于点G，可得四边形EFCG是平行四边形，CF=EG，推出S△ACF=S△CEG，即可判断结论①；由AE+CF=AE+EG=AG，可判断结论②；利用勾股定理即可判断结论④；根据选择题有唯一选项即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，三角形面积，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，证明四边形EFCG是平行四边形是解题的关键．
11.【答案】x≠−3
【解析】解：∵分式x−22x+6有意义，
∴2x+6≠0，
解得：x≠−3.
故答案为：x≠−3.
分母不等于0，即可作答．
本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】48
【解析】解：∵正三角形的每个内角是：
180∘÷3=60∘，
正五边形的每个内角是：
(5−2)×180∘÷5
=3×180∘÷5
=540∘÷5
=108∘，
∴∠1=108∘−60∘=48∘，
故答案为：48∘
首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正五边形的每个内角的度数是多少，进而求出∠1的度数即可．
此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)n边形的内角和=(n−2)⋅180(n≥3)且n为整数).(2)多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360∘.
13.【答案】79.5
【解析】解：该应聘者最后的得分为70×35%+80×40%+92×25%=79.5(分)，
故答案为：79.5.
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14.【答案】(1,6)或(9,6)或(7,2)
【解析】解：因为以三点组成的三角形可作出三个平行四边形，所以分三种情况，设A(4,4)，B(8,4)，C(5,6)，另一点为D：
当以AB为平行四边形的对角线时，则D(7,2)；
当以BC为平行四边形的对角线时，则D(9,6)；
当以AC为平行四边形的对角线时，则D(1,6)；
∴这枚棋子的坐标为(1,6)或(9,6)或(7,2).
设A(4,4)，B(8,4)，C(5,6)，若以AB为平行四边形的对角线，则D(7,2)；若以BC为平行四边形的对角线，则D(9,6)；若以AC为平行四边形的对角线，则D(1,6).
本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，题目围绕AB，BC，AC三条线段都有可能作为平行四边形的对角线，分类讨论，得出三种可能的结果．
15.【答案】(12,8)
【解析】【解答】
解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连接EM，如图所示：
∴∠MFO=∠CEO=∠AOB=90∘，AO//MF//CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90∘，AM=CM，
∴OF=EF，
又∠OBA+∠OAB=90∘，∠CBE+∠OBA=90∘，
∴∠OAB=∠EBC，
∴MF是梯形AOEC的中位线，
∴MF=12(AO+EC)，
∵MF⊥OE，
∴MO=ME.
∵在△AOB和△BEC中，∠AOB=∠CEO∠OAB=∠EBCAB=BC，
∴△AOB≌△BEC(AAS)，
∴OB=CE，AO=BE.
∴MF=12(BE+OB)，
又∵OF=FE，
∴△MOE是直角三角形，∵MO=ME，
∴△MOE是等腰直角三角形，
∴OE= (6 2)2+(6 2)2=12，
∵A(0,4)，
∴OA=4，
∴BE=4，
∴OB=CE=OE−BE=8.
∴C(12,8).
故答案为：(12,8).
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，梯形中位线定理，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识；解答时求证△OME是等腰直角三角形是解题关键．
过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，根据正方形的性质可以得出F是OE的中点，就可以得出MF是梯形AOEC的中位线，证明△AOB≌△BEC得出OB=CE，AO=BE，就可以求得△OME是等腰直角三角形，由勾股定理就可以求出OE的值，从而得出C点的纵坐标．
16.【答案】解：(1)原式=(a−3)(a−5)；
(2)原式=x2(x−3)−4(x−3)
=(x−3)(x2−4)
=(x−3)(x−2)(x+2)；
(3)原式=(−3x2y)2⋅6xy⋅(−y3x2)3
=9x24y2⋅6xy⋅(−y327x6)
=−12x3.
【解析】(1)利用十字相乘法进行因式分解；
(2)先提取公因式再运用平方差公式进行因式分解；
(3)利用幂的运算法则进行运算．
本题主要考查因式分解的方法及幂的运算，解决本题的关键是熟记知识点并灵活运用．
17.【答案】解：(1)6x−2=xx+3−1，
两边同时乘以(x−2)(x+3)得：6(x+3)=x(x−2)−(x+3)(x−2)，
解得：x=−43，
检验：当x=−43时，(x−2)(x+3)≠0，
∴x=−43是原方程的根；
(2)(1+2a+1)÷a2+6a+9a+1
=a+3a+1÷(a+3)2a+1
=a+3a+1⋅a+1(a+3)2
=1a+3，
由分式有意义的条件可知，a不能取−1，−3，故a=2，
原式=12+3=15.
【解析】(1)先去分母，求出x的值，进行检验即可；
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适dex的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及解分式方程，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD=2∠BCF，
∵∠BCF=60∘，
∴∠BCD=120∘，
∴∠ABC=180∘−120∘=60∘；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABE=∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDFAB=CD∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE=DF.
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
(1)根据平行四边形的性质得到AB//CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD=180∘，根据角平分线的定义得到∠BCD=2∠BCF，于是得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABE=∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠DCF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
19.【答案】65∘
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠BAC=40∘，
∴∠ABC=50∘，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF=∠ABC=50∘，AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA=12(180∘−50∘)=65∘，
故答案为：65∘；
(2)∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB−BE=10−6=4，
∴AF= AE2+EF2=4 5.
(1)根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50∘，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50∘，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)平行；等于第三边的一半；
(2)DE=12BC，DE//BC证明：
如图，延长DE到F，使DE=EF，连接CF，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CEF中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF，∠ADE=∠F，
∴AB//CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴BD//CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF//BC，DF=BC，
∴DE//BC且DE=12BC.
故答案为：平行；等于第三边的一半；DE=12BC，DE//BC.
【解析】解：(1)定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
(2)已知：△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
求证：DE=12BC，DE//BC，
证明：如图，延长DE到F，使DE=EF，连接CF，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CEF中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF，∠ADE=∠F，
∴AB//CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴BD//CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF//BC，DF=BC，
∴DE//BC且DE=12BC.
故答案为：平行；等于第三边的一半；DE=12BC，DE//BC.
作出图形，然后写出已知、求证，延长DE到F，使DE=EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠ADE，再求出BD=CF，根据内错角相等，两直线平行判断出AB//CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DF//BC，DF=BC.
本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．
21.【答案】(1)证明：由旋转的性质得：AE=AN，∠BAE=∠DAN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90∘，即∠BAN+∠DAN=90∘，
∴∠BAN+∠BAE=90∘，即∠EAN=90∘，
∵∠MAN=45∘，
∴∠MAE=∠EAN−∠MAN=90∘−45∘=45∘，
在△AEM和△ANM中，
AE=AN∠MAE=∠MAN=45∘AM=AM，
∴△AEM≌△ANM(SAS)；
(2)解：由旋转的性质可得BE=DN=2，
由(1)得△AEM≌△ANM，
∴EM=MN，
设BM=x，则MN=EM=x+2，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴BC=CD=6，∠C=90∘，
∴CM=BC−BM=6−x，CN=CD−DN=4
在Rt△CMN中，由勾股定理得CM2+CN2=MN2，
∴42+(6−x)2=(x+2)2
解得x=3，
∴BM=3.

【解析】(1)先根据旋转的性质可得AE=AN，∠BAE=∠DAN，再根据正方形的性质、角的和差可得∠MAE=45∘，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
(2)由旋转的性质可得BE=DN=2，由全等三角形的性质得到EM=MN，设BM=x，则MN=EM=x+2，由正方形的性质得到BC=CD=6，∠C=90∘，则CM=6−x，CN=4，在Rt△CMN中，由勾股定理建立方程42+(6−x)2=(x+2)2，解方程即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
22.【答案】解：(1)设该超市第一批购进这种葡萄x市斤，则第二批购进这种葡萄2x市斤，
依题意，得：6802x−320x=0.2，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
答：该超市第一批购进这种葡萄100市斤．
(2)设每市斤葡萄的售价应该定为y元，
依题意，得：(100+100×2)y−320−680≥(320+680)×20%，
解得：y≥4.
答：每市斤葡萄的售价应该至少定为4元．
【解析】(1)设该超市第一批购进这种葡萄x市斤，则第二批购进这种葡萄2x市斤，根据单价=总价÷数量结合第二批的进价比第一批的进价每市斤多了0.2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设每市斤葡萄的售价应该定为y元，根据利润=销售收入-进货成本结合全部售完后总利润不低于20%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)连接CF，
∵FG垂直平分CE，
∴CF=EF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，
∴CF=AF，
∴AF=EF；
(2)连接AC，
∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN=12AF，NG=12CF，即MN+NG=12(AF+CF)，
当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
AF+CF最小，即此时MN+NG最小，
∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60∘，
∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，
即MN+NG的最小值为12；
(3)不变，理由是：
延长EF，交DC于H，
∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，
∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，
∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：
∠AFD=∠CFD=12∠AFC，
∵AF=CF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，
∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，
∴∠ABF=∠CEF，
∵∠ABC=60∘，
∴∠ABF=∠CEF=30∘，为定值．
【解析】本题考查了菱形的性质，最短路径，等边三角形的判定和性质，中位线定理，题中线段较多，需要理清线段之间的关系．
(1)连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF和CF=AF即可得证；
(2)连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；
(3)延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF=CF=EF，得到∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，从而推断出∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，从而可求出∠ABF=∠CEF=30∘，即可证明．测试项目
创新能力
专业知识
语言表达
测试成绩(分)
70
80
92