2023-2024学年山东省泰安市泰山区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省泰安市泰山区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图形中，是中心对称图形的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
2.要使分式2x−32x+3有意义，则x的取值应满足( )
A. x=32B. x=−32C. x≠32D. x≠−32
3.分解因式：64−x2正确的是( )
A. (8−x)2B. (8−x)(8+x)C. (x−8)(x+8)D. (32+x)(32−x)
4.一组数据6，7，9，6，10，11，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A. 6和8B. 6和9C. 7和9D. 7和10
5.如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=4，▱ABCD的周长是26，则DM等于( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.化简x2x−1+11−x的结果是( )
A. x+1B. 1x+1C. x−1D. xx−1
7.如果平行四边形一边长为10cm，那么它的两条对角线的长度可以是( )
A. 6cm、8cmB. 6cm、10cmC. 8cm、12cmD. 20cm、30cm
8.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. OA=OC，OB=OD
B. OA=OC，AB//CD
C. AB=CD，OA=OC
D. ∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠BCD
9.阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.
求证：DE//BC，且DE=12BC.
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，…
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形.
乙：如图3，连接DC，AF.先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形.
下列判断正确的是( )
A. 甲思路正确，乙思路错误B. 甲思路错误，乙思路正确
C. 甲、乙两人思路都正确D. 甲、乙两人思路都错误
10.如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有( )
A. 3种
B. 6种
C. 8种
D. 12种
11.若关于x的分式方程xx−2−4=m2−x的解为负数，则m的取值范围( )
A. m<−8B. m<8，且m≠−2
C. m>−8，且m≠2D. m>8
12.如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60∘，AB=12BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30∘；②S▱ABCD=AB⋅AC；③OB=AB；④OE=14BC；⑤∠AEO=60∘.其中成立的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.因式分解：a3−6a2b+9ab2=______.
14.如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是5，则另一组数据x1+5，x2+5，…，xn+5的方差是______.
15.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______.
16.若关于x的分式方程1x−2+ax−22−x=1有增根，则a的值是______.
17.中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗，某商场在中秋节来临之际购进A、B两种汾阳月饼共1500个，已知购进A种月饼和B种月饼的费用分别为2000元和3000元，且A种月饼的单价比B种月饼单价多1元，求A、B两种月饼的单价各是多少？设A种月饼单价为x元，根据题意，列方程是______.
18.如图，在△ABC中，∠CAB=62∘，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′//AB，则旋转角的度数为______.
19.如图，等边三角形ABC的边长为2 3，点O是△ABC的重心，∠FOG=120∘，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②AD=BE；③S△ODE=S△BDE；④四边形ODBE的面积始终等于 3，其中正确结论的序号是______.
20.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC=30∘，下列结论：①EF⊥AC；②EF=BD；③四边形ADFE为平行四边形；④AB=4AG.其中正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
计算：
(1)计算：a+3a⋅6a2+6a+9+2a−6a2−9；
(2)先化简，再求值：(x−1+2−2xx+1)÷x2−xx+1，其中x=−3.
22.(本小题10分)
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示.
根据图中信息，解答下列问题：
(1)求甲、乙两人射击的成绩的平均数，并写出乙的中位数；
(2)分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
23.(本小题6分)
解方程：5x2+x−2x2−x=0.
24.(本小题8分)
已知：如图，点O为▱ABCD对角线BD的中点，过点O的直线与AB，CD分别相交于点E，F.
求证：
(1)AE=CF；
(2)S四边形AEOD=S四边形CFOB.
25.(本小题10分)
如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合.
问：
(1)旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
(2)如果AB=10，AC=7，求中线AD长的取值范围.
26.(本小题10分)
2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的学生到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为学生们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用600元购进A款和用480元购进B款的文化衫的数量相同.
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的学生一共有280人，学校计划用不多于12700元购买文化衫，则A款文化衫最多买多少件？
27.(本小题14分)
在▱ABCD中，点E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线于点F.
(1)在图1中，当CE=CF时，求证：AF是∠BAD的平分线；
(2)根据(1)的条件和结论，
①如图2，若∠ABC=90∘，点G是EF的中点，请求出∠BDG的度数；
②如图3，若∠ABC=120∘，且FG//CE，FG=CE，连接DB、DG，请直接写出∠BDG的度数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，第二、三、四个是中心对称图形．
故选：B.
根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形，如果一个图形绕某一点旋转180∘后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2.【答案】D
【解析】解：由题意可知：2x+3≠0，
∴x≠−32，
故选：D.
根据分式有意义的条件为分母不为零即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：原式=(8−x)(8+x)，
故选：B.
利用平方差公式因式分解即可．
本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：从小到大排列此数据为：6，6，7，9，10，11，数据6出现的次数最多，所以众数为6，中位数为7+92=8.
故选：A.
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了众数和中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5.【答案】C
【解析】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，AD=CD，
∴∠ABM=∠BMC，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC=4，
∵▱ABCD的周长是26，
∴AB+CD+AD+CD=26，
∴BC+CD=13，
∴CD=9，
则DM=CD−MC=9−4=5，
故选：C.
根据BM是∠ABC的平分线和AB//CD，求出BC=MC=4，根据▱ABCD的周长是26，求出CD=9，即可得到DM的长．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】
解：原式=x2x−1−1x−1=x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1.
故选A.
7.【答案】D
【解析】解：∵平行四边形一边长为10cm，对角线互相平分，
当的两条对角线的长度是6cm、8cm时，3+4<10，故A选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是6cm、10cm时，3+5<10，故B选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是8cm、12cm时，4+6=10，故C选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是20cm、30cm时，10+15>10，故D选项符合题意；
∴它的两条对角线的长度不可以是6cm、8cm，6cm、10cm，8cm、12cm，
∴它的两条对角线的长度可以是20cm、30cm，
故选：D.
根据平行四边形的对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，三角形两边之和大于第三边，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵OA=OC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB=CD，OA=OC，
∴四边形ABCD不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形；
D、∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形．
故选：C.
根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：甲：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AB//CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE//BC，BC=DF，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，故甲的思路正确；
乙：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD//CF，AD=CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE//BC，BC=DF，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，故乙的思路正确；
故选：C.
甲：证△ADE≌△CFE(SAS)，得AD=CF，∠A=∠ECF，则AB//CF，再证四边形DBCF是平行四边形，得DE//BC，BC=DF，即可解决问题；
乙：证四边形ADCF是平行四边形，得AD//CF，AD=CF，再证四边形DBCF是平行四边形，得DE//BC，BC=DF，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形中位线定理的证明等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由网格可知：a= 2，b=d= 5，c=2 5，
则能组成三角形的只有：a，b，d
可以分别通过平移ab，ad，bd得到三角形，平移其中任意两条线段方法各有两种，
即能组成三角形的不同平移方法有6种．
故选：B.
利用网格结合三角形三边关系得出只有通过平移ab，ad，bd可得到三角形，进而得出答案．
此题主要考查了利用平移设计图案以及勾股定理和三角形三边关系，得出各边长是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：将关于x的分式方程xx−2−4=m2−x的两边都乘以x−2，得
x−4(x−2)=−m，
解得x=m+83，
由于分式方程的解为负数，即m+83<0，
解得m<−8，
又因为分式方程有增根x=2，
所以当x=2时，即m+83=2，
所以m=−2，
综上所述，m的取值范围为m<−8.
故选：A.
根据分式方程的解法求出关于x的分式方程的解，使分式方程的解为负数，确定m的取值范围，再根据分式方程的增根，再确定m的取值范围即可．
本题考查分式方程的解，解分式方程，理解分式方程解的定义，掌握分式方程的解法以及增根的定义是正确解答的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=EB，
∵∠ABE=∠ADC=60∘，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE，
∵AB=12BC，
∴BE=12BC，
∴BE=CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=2∠ECA=60∘，
∴∠ECA=30∘，
∴∠CAD=∠ECA=30∘，
故①正确；
∵∠EAC=∠ECA=30∘，∠BAE=60∘，
∴∠BAC=∠EAC+∠BAE=30∘+60∘=90∘，
∴AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB>AB，
∴OB≠AB，
故③错误；
∵∠CAD=30∘，∠AEB=60∘，AD//BC，
∴∠EAC=∠ACE=30∘，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
∴OE=12AB=14BC，
故④正确；
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60∘，
∴∠AEC=120∘，
∵CE=AE，OA=OC，
∴∠AEO=∠CEO=12∠AEC=60∘，
故⑤正确．
故选：D.
由平行四边形ABCD中，∠ADC=60∘，易得△ABE是等边三角形，又由AB=12BC，证得①∠CAD=30∘；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD=AB⋅AC；根据AB=12BC，OB=12BD，且BD>BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OE=14BC；由等边三角形的性质得到∠AEC=120∘，根据等腰三角形的性质可得∠AEO=12∠AEC=60∘.
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
13.【答案】a(a−3b)2
【解析】解：原式=a(a2−6ab+9b2)
=a(a−3b)2.
故答案为：a(a−3b)2.
原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵数据x1，x2，…，xn的方差是5，
∴x1+5，x2+5，…，xn+5的方差不变，还是5；
故答案为：5.
因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了5，所以波动不会变，方差不变．
此题考查了方差，当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变．
15.【答案】六
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为(n−2)⋅180∘，多边形的外角和为360∘，
∴(n−2)⋅180∘=360∘×2，
解得n=6.
∴此多边形的边数为六．
故答案为：六．
多边形的外角和是360∘，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360=720度．n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．
16.【答案】1.5
【解析】解：去分母，得：1−(ax−2)=x−2，
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程，可得：1−(2a−2)=2−2，
解得：a=1.5.
故答案为：1.5.
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−2=0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17.【答案】2000x+3000x−1=1500
【解析】解：根据题意，得2000x+3000x−1=1500.
故答案为：2000x+3000x−1=1500.
设A种月饼单价为x元，根据“购进A、B两种汾阳月饼共1500个”列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18.【答案】56∘
【解析】解：∵CC′//AB，
∴∠ACC′=∠CAB=62∘
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=62∘，
∴∠CAC′=180∘−∠ACC′−∠AC′C=180∘−2×62∘=56∘，
∴旋转角为56∘.
故答案为56∘.
先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=62∘，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=62∘，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
19.【答案】①②④
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵点O是△ABC的重心，
∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30∘，
∴∠BOC=120∘，即∠BOE+∠COE=120∘，
∵∠DOE=120∘，即∠BOE+∠BOD=120∘，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中，
∠BOD=∠COEBO=CO∠OBD=∠OCE，
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴BD=CE，OD=OE，
∵AB=BC，
即AD+BD=BE+CE，
∴AD=BE，
故①、②符合题意；
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC=13S△ABC=13×2 3×3×12= 3，
故④符合题意；
作OH⊥DE，如图，
则DH=EH，
∵∠DOE=120∘，
∴∠ODE=∠OEH=30∘，
∴OH=12OE，
∴HE= OE2−OH2= 32OE，
∴DE=2HE= 3OE，
∴S△ODE=12×12OE⋅ 3OE= 34OE2，
即SODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE，
故③不符合题意；
故答案为：①②④．
连接OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30∘，再证明∠BOD=∠COE，可得△BOD≌△COE(ASA)，即可对①②进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=S△OBC=13S△ABC= 3，则可对④进行判断；作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S△ODE= 34OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对③进行判断；
本题考查了三角形的重心，旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．
20.【答案】①②③④
【解析】解：如图，
连接CF，
∵∠ACB=90∘，点F是AB的中点，
∴CF=AF，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴EF⊥AC，
故①正确；
∵△ABD是等边三角形，△ACE是等边三角形，
∴AD=BD，DAB=60∘，∠CAE=60∘，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90∘，
∵点F是AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴∠DFA=∠BAE=90∘，
∴DF//AE，
∵∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，
∴∠ABC=∠ADC=60∘，
∴AD//BC，
由①知：AC⊥EF，BC⊥AC，
∴EF//BC，
∴AD//EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
故③正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AD=EF，
∵AD=BD，
∴EF=BD，故②正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AF=2AG，
∵AD=AB，AB=2AF，
∴AB=4AG，
故④正确；
故答案为：①②③④．
连接CF，根据直角三角形的性质得到CF=AF，根据等边三角形的性质得到AE=CE，求得EF⊥AC，故①正确；根据等边三角形的性质得到AD=BD，DAB=60∘，∠CAE=60∘，求得DF⊥AB，根据平行线的判定定理得到DF//AE，推出AD//BC，得到EF//BC，根据平行四边形的判定定理得到四边形ADFE是平行四边形，故③正确；根据平行四边形的性质得到AD=EF，等量代换得到EF=BD，故②正确；根据平行四边形的性质得到AF=2AG，等量代换得到AB=4AG，故④正确．
本题考查了等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
21.【答案】解：(1)a+3a⋅6a2+6a+9+2a−6a2−9
=a+3a⋅6(a+3)2+2(a−3)(a−3)(a+3)
=6a(a+3)+2a+3
=6+2aa(a+3)
=2(a+3)a(a+3)
=2a；
(2)(x−1+2−2xx+1)÷x2−xx+1
=x2−1+2−2xx+1⋅x+1x(x−1)
=(x−1)2x+1⋅x+1x(x−1)
=x−1x，
当x=−3时，
原式=3−13
=23.
【解析】(1)把能因式分解的进行分解，再约分，最后进行加法运算即可；
(2)利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】解：(1)甲的平均数=6+10+8+9+8+7+8+10+7+710=8，
乙的平均数=7+10+7+7+9+8+7+9+9+710=8，
乙的成绩为：7，7，7，7，7，8，9，9，9，10，
∴乙的中位数为：7+82=7.5，
∴甲、乙平均数均为8，乙的中位数为7.5；
(2)则甲的方差s2=110×[(6−8)2+2×(10−8)2+3×(8−8)2+(9−8)2+3×(7−8)2]=1.6，
乙的方差s2=110×[5×(7−8)2+(8−8)2+3×(9−8)2+(10−8)2]=1.2，
∵1.6>1.2，
∴乙的射击成绩更稳定．
∴乙运动员的射击成绩更稳定．
【解析】(1)根据平均数和中位数的定义解答即可；
(2)计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．
此题主要考查了方差和平均数和中位数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
23.【答案】解：原方程去分母得：5(x−1)−2(x+1)=0，
整理得：5x−5−2x−2=0，
解得：x=73，
检验：将x=73代入x(x+1)(x−1)得73×103×43≠0，
故原方程的解为x=73.
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵点O为对角线BD的中点，
∴OB=OD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠EBO=∠FDO，
在△EBO和△FDO中，
∠EBO=∠FDOOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△EBO≌△FDO(ASA)，
∴BE=DF，
∴AB−BE=CD−DF，
即AE=CF；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△CBD=12S平行四边形ABCD，
由(1)得：△EBO≌△FDO，
∴S△EBO=S△FDO，
∴S△ABD−S△EBO=S△CBD−S△FDO，
即S四边形AEOD=S四边形CFOB.
【解析】(1)证△EBO≌△FDO(ASA)，得BE=DF，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得S△ABD=S△CBD=12S平行四边形ABCD，再由全等三角形的性质得S△EBO=S△FDO，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AD是中线，
∴CD=BD，
∵将△ACD旋转后与△EBD重合，
∴旋转中心是点D，旋转了180度；
(2)由旋转的性质得：BE=AC=7，DE=AD，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB−BE即10−7∴3即3<2AD<17
∴32∴中线AD长的取值范围为32【解析】(1)由AD是中线和将△ACD旋转后与△EBD重合，即可得出结果；
(2)由旋转的性质得BE=AC=7，DE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出答案．
本题考查了旋转的性质、三角形的三边关系等知识，熟练掌握旋转对应边相等与三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，
由题意得：600x+10=480x，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10=40+10=50，
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
(2)设购买m件A款文化衫，则购买(280−m)件B款文化衫，
由题意得：50m+40(280−m)≤12700，
解得：m≤150，
∴m的最大值为150，
答：最多可购买150件A种文化衫．
【解析】(1)设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，根据“用600元购进A款和用480元购进B款的文化衫的数量相同”，列出分式方程，解之经检验后，可得出每件B款文化衫的价格，再将其代入(x+10)中，即可求出每件A款文化衫的价格；
(2)设购买m件A款文化衫，则购买(280−m)件B款文化衫，根据“学校计划用不多于12700元购买文化衫”，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27.【答案】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，
∵CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∴∠BAF=∠DAF，
∴AF是∠BAD的平分线．
(2)解：①如图2，连接BG，CG，
∵AB//DC，∠ABC=90∘，
∴∠ECF=∠ABC=90∘，
∵CE=CF，点G是EF的中点，
∴CG=FG=EG=12EF，CG⊥EF，∠BCG=∠FCG=12∠ECF=45∘，∠F=∠CEF=45∘，
∴∠CGF=90∘，∠BCG=∠F，
∵∠BEA=∠DAF=∠BAF，
∴EB=AB=CD，
∴EB+CE=CD+CF，
∴BC=DF，
在△BCG和△DFG中，
BC=DF∠BCG=∠FCG=FG，
∴△BCG≌△DFG(SAS)，
∴BG=DG，∠BGC=∠DGF，
∴∠BGD=∠BGC−∠DGC=∠DGF−∠DGC=∠CGF=90∘，
∴∠BDG=∠DBG=45∘，
∴∠BDG的度数是45∘.
②∠BDG的度数是60∘，
理由：如图3，延长AB、FG交于点H，连接DH，
∵FG//CE//AD，AB//DC，
∴四边形AHFD和四边形BHFC都是平行四边形，
∴HB=CF=CE，
∵FG=CE，
∴HB=FG，
∵∠HFA=∠DAF=∠BAF，
∴AH=FH，
∴四边形AHFD是菱形，
∴AD=AH=FD=FH，
∵∠ABC=120∘，
∴∠DFH=∠DAH=180∘−∠ABC=180∘−120∘=60∘，
∴△ADH和△FDH都是等边三角形，
∴DH=DF，∠DHB=∠DFG=∠FDH=60∘，
在△DHB和△DFG中，
DH=DF∠DHB=∠DFGHB=FG，
∴△DHB≌△DFG(SAS)，
∴∠BDH=∠GDF，
∴∠BDG=∠BDH+∠GDH=∠GDF+∠GDH=∠FDH=60∘，
∴∠BDG的度数是60∘.
【解析】(1)由平行四边形的性质得AB//DC，AD//BC，则∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，由CE=CF，得∠F=∠CEF，则∠BAF=∠DAF，所以AF是∠BAD的平分线；
(2)①连接BG，CG，由AB//DC，得∠ECF=∠ABC=90∘，因为CE=CF，点G是EF的中点，所以CG=FG=EG，CG⊥EF，∠BCG=∠FCG=∠F=∠CEF=45∘，则∠CGF=90∘，由∠BEA=∠DAF=∠BAF，EB=AB=CD，即可推导出BC=DF，进而证明△BCG≌△DFG，得BG=DG，∠BGC=∠DGF，则∠BGD=∠CGF=90∘，所以∠BDG=45∘；
②延长AB、FG交于点H，连接DH，可证明四边形AHFD和四边形BHFC都是平行四边形，所以HB=CF=CE，而FG=CE，则HB=FG，由∠HFA=∠DAF=∠BAF，得AH=FH，则四边形AHFD是菱形，由∠ABC=120∘，得∠DFH=∠DAH=60∘，则△ADH和△FDH都是等边三角形，所以DH=DF，∠DHB=∠DFG=∠FDH=60∘，再证明△DHB≌△DFG，得∠BDH=∠GDF，则∠BDG=∠FDH=60∘.
此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．