2023-2024学年山东省淄博市沂源县八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省淄博市沂源县八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过n边形的其中一个顶点有5条对角线，则n为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.下列分式的变形正确的是( )
A. mn=mcncB. m+3n+3=mnC. 3mmn=3nD. mn=m2n2(m≠n)
3.已知一组数据为−1，0，4，x，6，15，且这组数据的平均数是5，那么数据的中位数为( )
A. 4B. 5C. 5.5D. 6
4.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF//BC，GH//AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则平行四边形AEPH的面积是( )
A. 1B. 2C. 4D. 6
5.若关于x的多项式x2−px−6含有因式x−2，则实数p的值为( )
A. −5B. 5C. −1D. 1
6.永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示.如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为( )
A. 80∘B. 100∘C. 120∘D. 135∘
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为( )
A. (0,1)
B. (0,−1)
C. (1,−1)
D. (1,0)
8.若关于x的分式方程xx−3=1+mx−29−x2无解，则m的值为( )
A. −3或−163B. −163或−23C. −3或−163或−23D. −3或−23
9.如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，则△BDC与△ACE通过下列变换：
①绕点C旋转后重合；
②沿AB的中垂线翻折后重合；
③沿ED方向平移△CEA后与△BDC重合；
④绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合；
⑤先沿ED方向平移△CEA，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则△BDC与△ACE重合.
其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH.则下列结论中不正确的是( )
A. GF=EHB. 四边形EGFH是平行四边形
C. EG=FHD. EH⊥BD
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.因式分解：2x2−10x+12=______.
12.如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为__________cm2.
13.为了了解我市七年级学生的体能状况，从某校七年级甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如表.如果每分钟跳绳次数≥105次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是：甲的优秀率______乙的优秀率.(填“>”“<”或“=”)
14.如果1a+1b=32，ab=2，那么a−b的值为______.
15.一次函数y=2x+b的图象经过点M(1,3)，且与x轴，y轴分别交于A，B两点.将该直线绕点A顺时针旋转45∘至直线l，则直线l的函数表达式______.
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度在平面直角坐标系中，三角形A1B1C1是三角形ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1(1,1)，B1(4,2)，C1(3,4).请画出三角形ABC，并写出点A的坐标.
17.(本小题10分)
如图，△ABC和△A′B′C′关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A′B′C′.
18.(本小题10分)
先化简，再求值：3x+1+x2−2xx2−4x+4÷x2+xx−2，其中x=3.
19.(本小题10分)
巴西世界杯正在激战中，周六晚上小明打算和朋友乘出租车去某大型酒吧观看世界杯，有两条路线可供选择：路线一的全程25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均速度比走路线一时的平均速度能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达.求小明走路线一时的平均速度.
20.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30∘，求∠FPE的度数.
21.(本小题12分)
如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，证明：BG=2GE，CG=2GF.
22.(本小题13分)
已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD//BC，AE=CF.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的长．
23.(本小题13分)
如图，E是平行四边形ABCD内一点，ED⊥CD，EB⊥BC，∠AED=135∘.
(1)求证：∠ADE=∠ABE；
(2)求证：△BCE是为等腰直角三角形；
(3)判断AB、DE、AE的数量关系并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵一个n边形过一个顶点有5条对角线，
∴n−3=5，
解得n=8.
故选：D.
根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数为(n−3)，求出边数即可得解．
本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵c=0时，mn=mcnc不成立，
∴选项A不符合题意；
∵m+3n+3≠m+3−3n+3−3，m+3−3n+3−3=mn，
∴m+3n+3≠mn，
∴选项B不符合题意；
∵3mmn=3mmmnm=3n，
∴选项C符合题意；
∵mn≠m×mn×n=m2n2，
∴选项D不符合题意．
故选：C.
根据分式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
3.【答案】B
【解析】解：平均数为(−1+0+4+x+6+15)÷6=5，
∴x=6，
将数据从小到大排列：−1，0，4，6，6，15，
∴中位数为4+62=5.
故选：B.
根据平均数的公式求出x，再根据中位数定义即可得出答案．
本题主要考查了平均数公式及中位数的定义，比较简单．
4.【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，EF//BC，GH//AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD−S△PEB−S△PHD=S△CDB−S△BGP−S△DFP，
即S平行四边形AEPH=S平行四边形PFCG.
∵S△BPG=1，
∴S平行四边形BEPG=2S△BPG=2，
∵CG=2BG，
∴S平行四边形PFCG=2S平行四边形BEPG=2×2=4，
∴S平行四边形AEPH=S平行四边形PFCG=4.
故选：C.
先证四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，可得S△PEB=S△BGP，S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，再利用面积的和差可得出S平行四边形AEPH=S平行四边形PFCG，由已知条件求出S平行四边形PFCG即可．
此题主要考查平行四边形的判定与性质，证明S平行四边形AEPH=S平行四边形PFCG是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意设x2−px−6=(x−2)(x−a)=x2−(a+2)x+2a，
∴−p=−a−2，2a=−6，
解得：a=−3，p=−1.
故选：C.
设x2−px−6=(x−2)(x−a)，右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
此题考查了因式分解的意义，弄清题意是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵多边形外角和为360∘，
∴正八边形每个外角为360∘÷8=45∘，
∴正八边形每个内角的度数为180∘−45∘=135∘，
故选：D.
首先利用外角和360∘求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可．
本题考查了多边形的内角和外角的知识，解题的关键是了解多边形的外角和．
7.【答案】C
【解析】【分析】
连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P.
本题考查旋转的性质，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．
【解答】
解：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线的交点是点(1,−1)，
根据旋转变换的性质，点(1,−1)即为旋转中心．
故旋转中心坐标是P(1,−1).
故选C.
8.【答案】C
【解析】解：当(x+3)(x−3)=0时，x1=3或x2=−3，
原分式方程可化为：xx−3=1−mx−2(x+3)(x−3)，
去分母，得x(x+3)=(x+3)(x−3)−(mx−2)，
整理得(3+m)x=−7，
∵分式方程无解，
∴3+m=0，
∴m=−3，
把x1=3或x2=−3，分别代入(3+m)x=−7，
得m=−163或m=−23，
综上所述：m的值为m=−163或m=−23或m=−3，
故选：C.
首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出m的值．
本题考查分式方程的解，掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为0，最简公分母为0，是解决此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠BDC=∠CEA=90∘，
又∠ACB=90∘，
∴∠BCD=∠CAE(同角的余角相等)，
∴在△BDC与△CEA中，∠BDC=∠CEA∠BCD=∠CAEBC=CA，
∴△BDC≌△CEA(AAS).
∴BD=CE，CD=AE.
①绕点C旋转后，CB与AC不重合，即△BDC与△ACE不重合，故错误；
②△BDC与△ACE不关于AB的中垂线对称，则沿AB的中垂线翻折后不重合，故错误；
③沿ED方向平移△CEA后，CB与AC不重合，即△BDC与△ACE不重合，故错误；
④因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故正确；
⑤先沿ED方向平移△CEA，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则△BDC与△ACE重合，故正确；
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B.
根据全等三角形的判定定理AAS得到△BDC≌△CEA，则BD=CE，CD=AE.结合平移与旋转的性质进行判断．
本题考查了几何变换综合题．需要掌握全等三角形的判定与性质，旋转与平移的性质．无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠GBF=∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
BF=DE∠GBF=∠HDEBG=DH，
∴△GBF≌△HDE(SAS)，
∴GF=EH，∠BGF=∠DHE，
∴∠FGH=∠EHG，
∴GF//EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG=FH，故ABC正确，
∵∠EHG不一定等于90∘，
∴EH⊥BD不正确，
故选：D.
证△GBF≌△HDE(SAS)，得GF=EH，∠BGF=∠DHE，则∠FGH=∠EHG，得GF//EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG=FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90∘，故D不正确，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．
11.【答案】2(x−2)(x−3)
【解析】解：2x2−10x+12=2(x2−5x+6)=2(x−2)(x−3)，
故答案为：2(x−2)(x−3).
先提取公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握利用提取公因式法、十字相乘法分解因式是解题的关键．
12.【答案】18
【解析】解：由题意，空白部分是长方形，长为5−2=3(cm)，宽为3−1=2(cm)，
∴阴影部分的面积=5×3×2−2×2×3=18(cm2)，
故答案为：18.
利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题．
本题考查平移的性质，长方形的性质等知识，解题的关键是求出空白部分的长和宽．
13.【答案】<
【解析】解：根据甲乙两班的中位数可以初步判断乙班优秀的人数≥14人，而甲班的优秀人数≤13个，通过比较可以确定甲的优秀率<乙的优秀率．
故填<.
根据中位数的概念，甲班的中位数<105，而乙班的中位数>105，而每分钟跳绳次数≥105次的为优秀，所以乙班的优秀成绩人数多于甲班．
本题考查对中位数概念的理解与应用．
14.【答案】±1
【解析】解：∵1a+1b=32，ab=2，
∴b+aab=32，可得a+b=32ab=3，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=32−4×2=1，
∴a−b=±1，
故答案为：±1.
把1a+1b=32变形可得a+b=3，再由a+b、a−b、ab的关系即可得答案．
本题考查分式的变形及完全平方公式，根据已知求出a+b的值是解题的关键．
15.【答案】y=13x+16
【解析】解：把M(1,3)代入y=2x+b得：
3=2+b，
解得b=1，
∴y=2x+1，
在y=2x+1中，令x=0得y=1，令y=0得x=−12，
∴A(−12,0)，B(0,1)，
过B作BK⊥AB交直线l于K，过K作KT⊥y轴于T，如图：
∵将该直线绕点A顺时针旋转45∘至直线l，
∴∠BAK=45∘，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∴AB=BK，
∵∠ABO=90∘−∠OBK=∠BKT，∠AOB=90∘=∠BTK，
∴△AOB≌△BTK(AAS)，
∴AO=BT=12，BO=TK=1，
∴OT=OB−BT=1−12=12，
∴K(1,12)，
设直线l函数表达式为y=mx+n，将A(−12,0)，K(1,12)代入得：
−12k+b=0k+b=12，
解得k=13b=16，
∴直线l函数表达式为y=13x+16；
故答案为：y=13x+16.
求出A(−12,0)，B(0,1)，过B作BK⊥AB交直线l于K，过K作KT⊥y轴于T，证明△AOB≌△BTK(AAS)，可得AO=BT=12，BO=TK=1，故K(1,12)，再用待定系数法可得答案．
本题考查一次函数与几何变换，涉及全等三角形判定与性质，待定系数法等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，求出K的坐标．
16.【答案】解：图如下所示，A(−3,1).

【解析】利用平移的性质即可解决问题
本题考查作图-平移变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：如图所示，BB′，CC′的交点即为O，△A′B′C′即为所求．

【解析】根据中心对称的性质解决问题即可．
本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，灵活应用所学知识解决问题．
18.【答案】解：原式=3x+1+xx−2⋅x−2x(x+1)
=3x+1+xx+1
=x+3x+1，
当x=3时，原式=3+33+1=32.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【答案】解：设小明走路线一的平均速度是x千米/小时，则小明走路线二的平均速度是x(1+80%)千米/小时，由题意，得
25x=30(1+80%)x+1060，
解得：x=50
经检验，x=50是原方程的解．
故小明走路线一的平均速度是50千米/小时．
答：小明走路线一的平均速度是50千米/小时．
【解析】设小明走路线一的平均速度是x千米/小时，则小明走路线二的平均速度是x(1+80%)千米/小时，根据走路线二比走路线一少用10分钟建立方程求出其解就可以了．
本题考查了列分式方程解关于行程问题的运用题运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件找到等量关系建立方程是关键，解分式方程要验根是不可少的步骤．
20.【答案】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=12BC，PE=12AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30∘，
∴∠PEF=∠PFE=30∘，
∴∠FPE=180∘−∠PEF−∠PFE=180∘−30∘−30∘=120∘.
【解析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，进而可得出结论．
本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
21.【答案】证明：∵△ABC的中线BE，CF相交于点G，
∴BC=2EF，EF//BC，
∴△FEG∽△CBG，
∴EFBC=EGBG=FGCG，
∵BC=2EF，
∴BG=2GE，CG=2GF.
【解析】根据三角形中位线性质得出BC=2EF，EF//BC，根据相似三角形的判定得出△FEG∽△CBG，根据相似三角形的性质定理得出比例式，即可得出答案．
本题考查了三角形的中位线性质，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式和求出BC=2EF是解此题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90∘，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
∠DEA=∠BFC=90∘AE=CF∠DAE=∠BCF，
∴△DAE≌△BCF(ASA)，
∴AD=CB，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DH//BG，
∴∠DHA=∠GBA，
∵∠DAH=∠GBA，
∴∠DHA=∠DAH，
∴DA=DH.
在Rt△CFG中，
∵GF=2，CF=4，
∴CG= CF2+GF2= 42+22=2 5，
∴AH=2 5.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DHBG为平行四边形，
∴DH=BG，
∵DA=DH，DA=CB，
∴BG=BC.
在Rt△CFB中，
∵BF=BG−FG=BC−2，CF=4，
∴BC2=BF2+CF2，
∴BC2=(BC−2)2+42，
∴BC=5.
∴AD=BC=5.
【解析】(1)证明△DAE≌△BCF，可得AD=CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
(2)根据勾股定理可得CG，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAE≌△BCF.
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，
∵∠CDE=∠CBE=90∘，
∴∠ADE=∠ABE；
(2)证明：延长DE交AB于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，AD=BC，
∵ED⊥CD，
∴DF⊥AB，
∵∠AED=135∘，
∴∠AEF=45∘，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=EF，
在△ADF与△BEF中，
∠ADF=∠EBF∠AFD=∠BFEAF=EF，
∴△ADF≌△BEF(AAS)，
∴AD=BE，
∴AD=BC，
∴BE=BC，
∵∠CBE=90∘，
∴△EBC是等腰直角三角形；
(2)AB=DE+ 2AE，理由如下：
由(2)可证△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=EF，AE= 2EF，
∵∠ADC=∠ABC，∠CDE=∠CBE=90∘，
∴∠ADE=∠ABE，
在△ADF与△BEF中，
∠ADF=∠EBF∠AFD=∠BFEAF=EF，
∴△ADF≌△BEF(AAS)，
∴DF=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AF+DF=AF+DE+EF=DE+2EF=DE+ 2AE.
【解析】(1)由平行四边形的性质可得∠ADC=∠ABC，即可求解；
(2)由“AAS”可证△ADF≌△BEF，可得AD=BE=BC，即可求解；
(3)由“AAS”可证△ADF≌△BEF，可得DF=BF，由等腰三角形的性质和线段的和差关系可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．班级
人数
中位数
平均数
甲班
27
104
97
乙班
27
106
96