2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高一（下）开学数学试卷(含解析）

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这是一份2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高一（下）开学数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|−1A. {−1,2,3}B. {1,2,3}C. {−1,1,2}D. {−1,1,2,3}
2.与−2022°终边相同的最小正角是( )
A. 138°B. 132°C. 58°D. 42°
3.命题“∃x0∈(0,π4)，sinx0A. ∀x∉(0,π4)，sinx≥csxB. ∀x∈(0,π4)，sinxC. ∃x0∉(0,π4)，sinx0≥csx0D. ∀x∈(0,π4)，sinx≥csx
4.方程lg3x+2x−8=0的解所在的区间是( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)
5.函数f(x)=(2x−2−x)sin2x的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)(单位：mg/L)随着时间t(单位：h)的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1(单位：h−1)，刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为(参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)( )
A. 5.32hB. 6.23hC. 6.93hD. 7.52h
7.若函数f(x)=2x+2,x≤1lg2(x−1),x>1，在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为( )
A. [0,17]B. (−∞,17]C. [1,17]D. [1,+∞)
8.已知函数f(x)=lg2x2⋅lg2x8，若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，则1x1+9x2的最小值为( )
A. 34B. 32C. 2D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )
A. y=tan(x+π3)B. y=sin(2x−π2)C. y=sin|2x|D. y=|sinx|
10.对∀x∈R，a≤2+sinx成立的充分不必要条件可以是( )
A. a=0B. a≤1C. a=1D. a=3
11.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的所有的无字证明为( )
A. a+b2≥ ab(a>0,b>0)B. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
C. ab≥21a+1b(a>0,b>0)D. a2+b22≥a+b2(a≥0,b>0)
12.已知y=f(x)奇函数，f(x)=f(2−x)恒成立，且当0≤x≤1时，f(x)=x，设g(x)=f(x)+f(x+1)，则( )
A. g(2022)=1
B. 函数y=g(x)为周期函数
C. 函数y=g(x)在区间(2021,2022)上单调递减
D. 函数y=g(x)的图像既有对称轴又有对称中心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(3, 3),则f(9)= ．
14.已知函数f(x)=2x+1,x<1x2+ax,x≥1，若f(f(0))=3a，则实数a等于
15.如果方程x2+(m−1)x+m2−2=0的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是______．
16.已知定义在R上的奇函数，满足f(2−x)+f(x)=0，当x∈(0,1]时，f(x)=−lg2x，若函数F(x)=f(x)−sinπx，在区间[−1,m]上有2018个零点，则m的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−2(1)当m=3时，求(∁RA)∩B；
(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)计算：2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8；
(2)已知tanαtanα−1=−1，计算cs(π−α)cs(π2+α)sin(α−3π2)+cs(5π2−α)sin(α−π)sin(2π−α)cs(3π2−α)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg4(2x+3−x2).
(1)求f(x)的定义域及单调区间；
(2)求f(x)的最大值，并求出取得最大值时x的值；
(3)设函数g(x)=lg4[(a+2)x+4]，若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0,3)上恒成立，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是20年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的15，已知到今年为止，森林剩余面积为2 25a．
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)该森林今后最多还能砍伐多少年？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π，图象的一个对称中心为(5π12,0)，若先把函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)设函数φ(x)=g(x)−2cs2x+1，试判断φ(x)在(0,2π)内的零点个数．
22.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)满足：对于任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−12恒成立，且当x>0时，f(x)>12．
(Ⅰ)判定函数f(x)的单调性，并加以证明；
(Ⅱ)设g(x)=|lnx|,0e，若函数F(x)=f(g(x))+f(−k)−1有三个零点从小到大分别为a，b，c，求a⋅b2+a2⋅b+a⋅b⋅g(c)的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x|−1则∁RA={x|x>1或x≤−1}，
∵B={−1,1,2,3}，
∴(∁RA)∩B={−1,2,3}．
故选：A．
根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、交集的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：与−2022°终边相同的角为α=−2022°+k⋅360°，k∈Z，
由题意−2022°+k⋅360°>0，解得k>5.61，k∈Z，
所以k的最小值为6，此时α=−2022°+6×360°=138°，
故与−2020°终边相同的最小正角是138°．
故选：A．
利用终边相同的角的定义得到α=−2022°+k⋅360°，k∈Z，然后令−2022°+k⋅360°>0，求出k的值，代入求出此时的α即可．
本题考查了终边相同的角的应用，解题的关键是掌握终边相同角的表示，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以：∃x0∈(0,π4)，sinx0故选：D．
4.【答案】C
【解析】解：设f(x)=lg3x+2x−8，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是连续函数f(x)的零点．
因为f(3)=lg33+2×3−8<0，f(4)=lg34+2×4−8=lg34>0，
故x0∈(3,4)，
故选：C．
连续f(x)=lg3x+2x−8，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是f(x)的零点，由f(3)f(4)<0，可得结论．
本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=(2x−2−x)sin2x是偶函数，所以C、D不正确；
当x=3π4时，f(x)=(23π4−2−3π4)⋅(−1)<0，
排除选项A，
故选：B．
利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊值判断即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值，是判断函数的图象的常用方法，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得，c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，
设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L时需要是时间为t1，
由c(t1)=2000e−0.1t1≥1000，得e−0.1t1≥12，
故−0.1t≥−ln2，∴t≤ln20.1≈6.93h.
∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h．
故选：C．
利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，求解指数不等式得答案．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查指数不等式的解法，是基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，是基本知识的考查．
利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可．
【解答】
解：函数f(x)=2x+2,x≤1lg2(x−1),x>1，
x∈(−∞,1]时，函数是增函数；
x∈(1,+∞)函数是增函数，
因为f(1)=4，f(17)=4，所以a的取值范围为：[1,17]．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
根据二次函数的性质及对数的运算可得x1⋅x2=16，利用基本不等式即可求得答案．
本题考查对数函数的性质，二次函数性质，转化思想，基本不等式的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为f(x)=lg2x2⋅lg2x8=(lg2x−1)(lg2x−3)=(lg2x)2−4lg2x+3，
又因为f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，
所以(lg2x1)2−4lg2x1+3=(lg2x2)2−4lg2x2+3，
lg2x1−lg2x2(lg2x1+lg2x2)−4lg2x1−lg2x2=0
即lg2x1−lg2x2lg2x1+lg2x2−4=0
因为x1≠x2,所以lg2x1−lg2x2≠0
所以lg2x1+lg2x2=4，即x1⋅x2=16，
所以1x1+9x2≥2 9x1x2=2×34=32，当仅当1x1=9x2，即x1=43，x2=12时取“=”，
故选：B．
9.【答案】BD
【解析】解：y=tan(x+π3)的最小正周期为π，不是偶函数，故不满足条件．
y=sin(2x−π2)=−cs2x的最小正周期为π，且它为偶函数，故满足条件．
根据y=sin|2x|为偶函数，不是周期函数，故排除C．
根据y=|sinx|的最小正周期为π，且它为偶函数，满足条件．
故选：BD．
逐一检验各个选项中各个函数的周期性和奇偶性，从而得出结论．
本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
求出对∀x∈R，a≤2+sinx成立的a的范围，结合选项得答案．
【解答】
解：对∀x∈R，2+sinx≥1，
而对∀x∈R，a≤2+sinx成立，则a≤1．
∴对∀x∈R，a≤2+sinx成立的充分不必要条件可以是a=0，a=1．
故选：AC．
11.【答案】AC
【解析】解：∵AC=a，BC=b，∠ADB=π2，
根据图形，在Rt△ADB中，由射影定理得CD2=AC⋅CB，所以CD2=ab，
由OD≥CD，且OD=AB2=a+b2，得：a+b2≥ ab(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取等号，即A正确；
在Rt△OCD中，同理得CD2=DE⋅OD，所以DE=CD2OD=aba+b2，
又CD≥DE，所以 ab≥2aba+b=21a+1b(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取等号，即C正确；
故选：AC．
分别在Rt△ADB和Rt△OCD中，利用射影定理和OD≥CD、CD≥DE判定选项A、C正确．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在实际问题中的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：因为f(x)=f(2−x)，所以f(−x)=f(2+x)，又f(x)为奇函数，
故f(−x)=−f(x)=−f(2−x)=f(x−2)=f(2+x)，
利用f(x−2)=f(x+2)，可得f(x)=f(x+4)，故f(x)的周期为4；
因为f(x)周期为4，则g(x)的周期为4，又f(x)是奇函数，
所以g(2022)=g(505×4+2)=g(2)=f(2)+f(3)=f(2)+f(−1)=−f(1)=−1，A错误，B正确；
当0≤x≤1时，f(x)=x，因为f(x)为奇函数，故−1≤x<0时，f(x)=x，
因为f(x)=f(2−x)恒成立，令0≤2−x≤1，此时f(2−x)=2−x，则2≥x≥1，f(x)=f(2−x)=2−x，
故0≤x≤2时，f(x)=x,amp;0≤x≤12−x,amp;1令−2≤x<−1，即1<−x≤2，则f(−x)=2+x=−f(x)，即f(x)=−x−2；
令−1≤x<0，即0<−x≤1，则f(−x)=−x=−f(x)，即f(x)=x；
令2所以f(x)=−x−2,−2≤x<−1x,−1≤x≤12−x,1根据周期性y=g(x)在x∈(2021,2022)上的图像与在x∈(1,2)相同，
所以，当1≤x<2，即2≤x+1<3时，g(x)=f(x)+f(x+1)=2−x+2−(x+1)=3−2x，
故g(x)在x∈(1,2)上单调递减，C正确；
由f(x)是周期为4的奇函数，则f(x+2)=−f(x)=f(x−2)且f(x−1)=−f(x+1)，
所以g(1−x)=f(1−x)+f(2−x)=−f(x−1)−f(x−2)=f(x)+f(x+1)=g(x)，故g(x)关于x=12对称，
g(x)+g(3−x)=f(x)+f(x+1)+f(3−x)+f(4−x)=f(x)+f(x+1)−f(1+x)−f(x)=0，所以g(x)关于(32,0)对称，D正确．
故选：BCD．
由g(x)与f(x)的关系式及f(x)的周期性、奇偶性，即可求g(2022)和判断g(x)的周期，进而判断A和B；利用奇函数性质求f(x)在−2≤x≤2上的解析式，结合g(x)的周期性及g(x)=f(x)+f(x+1)求(2021,2022)上的解析式判断C，利用对称性判断g(1−x)=g(x)、g(x)+g(3−x)=0是否成立判断D．
本题考查抽象函数及其性质，涉及函数的奇偶性、单调性和周期性，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义，函数值及解析式，属于基础题．
利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．
【解答】
解：设幂函数f(x)=xα(α为常数)，
∵幂函数y=f(x)的图象过点(3, 3)，∴ 3=3α，解得α=12．
∴f(x)= x．
∴f(9)= 9=3．
故答案为3．
14.【答案】4
【解析】【分析】
由分段函数求得f(0)，再由分段函数解a的方程，可得a的值．
本题考查分段函数的运用：求参数值，考查方程思想和运算能力．
【解答】解：因为f(x)=2x+1,x<1x2+ax,x≥1，
则f(f(0))=f(20+1)=f(2)=4+2a=3a，
解得a=4，
15.【答案】(0,1)
【解析】解：方程x2+(m−1)x+m2−2=0对应的二次函数，f(x)=x2+(m−1)x+m2−2开口向上，
方程x2+(m−1)x+m2−2=0的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，只需
f(1)<0，且f(−1)<0，1+(m−1)+m2−2< 01−(m−1)+m2−2< 0解得m∈(0,1)
故答案为：(0,1)
方程对应的二次函数开口向上，方程x2+(m−1)x+m2−2=0的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，只需f(1)<0，且f(−1)<0可求得m的范围．
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，是基础题．
16.【答案】20152,1008
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法，属中档题．
由函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法分别作函数y=f(x)与y=sinπx的图象，再观察其交点即可得解，
【解答】
解：由f(−x)+f(x)=0，f(2−x)+f(x)=0，联立可得：f(2−x)=f(−x)，即函数图象关于点(1,0)对称，周期为2，
y=sinπx的周期为2，关于点(k,0)k∈Z对称，
由图象知：y=f(x)与y=sinπx在[2m−1,2m+1)，m∈Z上有4个交点，
且在[−1,1)上x1=−1，x2=−12，x3=0，x4=12，
函数F(x)=f(x)−sinπx，在区间[−1,m]上有2018个零点，
可得：20152⩽m<1008，
故答案为：20152,1008．
17.【答案】解：(1)∵集合A={x|−2∴∁RA={x|x≤−2或x≥5}，
m=3时，B={x|4≤x≤5}，
∴(∁RA)∩B={5}；
(2)若A∪B=A，则B⊆A，
当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2，成立；
当B≠⌀时，m+1≤2m−1m+1>−22m−1<5，
解得2≤m<3，
综上实数m的取值范围为(−∞,3)．
【解析】本题考查集合的运算，考查补集、并集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)求出∁RA={x|x≤−2或x≥5}，m=3时，B={x|4≤x≤5}，由此能求出(∁RA)∩B；
(2)由A∪B=A，得B⊆A，当B=⌀时，m+1>2m−1，当B≠⌀时，m+1≤2m−1m+1>−22m−1<5，由此能求出实数m的取值范围．
18.【答案】解：(1)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8=lg4×3lg10×0.6×2=lg12lg12=1；
(2)因为tanαtanα−1=−1，可得tanα=sinαcsα=12，
所以cs(π−α)cs(π2+α)sin(α−3π2)+cs(5π2−α)sin(α−π)sin(2π−α)cs(3π2−α)=(−csα)(−sinα)csα+sinα(−sinα)(−sinα)(−sinα)=sinαcs2α+sinα−sin3α=cs2α+1−sin2α=2cs2α+sin2α−sin2α=−2+tan2αtan2α=−2+1414=−9．
【解析】(1)利用对数的运算性质即可求解．
(2)利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可化简求解．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)令2x+3−x2>0，
解得：x∈(−1,3)，
即f(x)的定义域为(−1,3)，
令t=2x+3−x2，
则y=lg4t，
∵y=lg4t为增函数，
x∈(−1,1]时，t=2x+3−x2为增函数；
x∈[1,3)时，t=2x+3−x2为减函数；
故f(x)的单调增区间为(−1,1]；f(x)的单调减区间为[1,3)
(2)由(1)知当x=1时，t=2x+3−x2取最大值4，
此时函数f(x)取最大值1；
(3)若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0,3)上恒成立，
则2x+3−x2≤(a+2)x+4在x∈(0,3)上恒成立，
即x2+ax+1≥0在x∈(0,3)上恒成立，
即a≥−(x+1x)在x∈(0,3)上恒成立，
当x∈(0,3)时，由对勾函数的性质知：x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号)，则−(x+1x)≤−2，
故a的取值范围为[−2,+∞)．
【解析】本题考查的知识点是函数恒成立问题，复合函数的单调性，函数的定义域，函数的最值，难度中档．
(1)令2x+3−x2>0，可得函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的原则，可得函数f(x)的单调区间；
(2)由(1)中函数的单调性，可得当x=1时，函数f(x)取最大值1；
(3)若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0,3)上恒成立，即a≥−(x+1x)在x∈(0,3)上恒成立，解得实数a的取值范围．
20.【答案】解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1−x)20=12a即(1−x)20=12解得：x=1−(12)120，
(2)设从今年开始，最多可以砍n年，依题意得2 25a(1−x)n≥15a，
即(1−x)n≥12 2，可得(12)n20≥(12)32，
∴n20≤32，解得n≤30，
∴今后最多还能砍30年．
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0(2)设从今年开始，最多可以砍n年，依题意得2 25a(1−x)n≥15a，解不等式可求．
本题主要考查了利用函数及不等式的性质求解实际问题，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．
21.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为2πω=π，∴ω=2，f(x)=sin(2x+φ)．
∵它的图象的一个对称中心为(5π12,0)，
∴2×5π12+φ=kπ，k∈Z，∴φ=π6，f(x)=sin(2x+π6).
若先把函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度，可得y=sin(2x+π2)=cs2x的图象；
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到函数y=g(x)=csx的图象．
(2)根据函数φ(x)=g(x)−2cs2x+1=csx−2cs2x+1=0，
求得csx=1或csx=−12．
再根据x∈(0,2π)，∴x=2π3或x=4π3，
故φ(x)在(0,2π)内的零点个数为2．
【解析】(1)由题意，利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
(2)由题意，化简φ(x)的解析式，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)证明：设x10，则f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)=f(x2−x1)−12，
∵x2−x1>0，当x>0时，f(x)>12．
∴f(x2−x1)>12，即f(x2−x1)−12>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在R上为增函数；
(Ⅱ)由F(x)=f(g(x))+f(−k)−1=0得f(g(x))+f(−k)−12=12，
又∵f(0+0)=f(0)+f(0)−12，∴f(0)=12，即f(g(x))+f(−k)−12=f(0)，
∴f(g(x)−k)=f(0)，由(1)知f(x)在R上单调递增，
∴g(x)=k
所以题意等价于y=g(x)与y=k的图象有三个不同的交点(如下图)，则0且a=e−k，b=ek，c=ek，
∴a⋅b2+a2⋅b+a⋅b⋅g(c)=ab(a+b+k)=ek+e−k+k，
令h(x)=ex+e−x+x，(0设0=(ex2−ex1)(ex1+x2−1)ex1+x2++(x2−x1)，
∵0∴ex2−ex1>0，ex1+x2>1，x2−x1>0，
∴h(x2)>h(x1)，
即h(x)在0∴h(0)综上：a⋅b2+a2⋅b+a⋅b⋅g(c)的取值范围是(2,e+e−1+1)

【解析】(Ⅰ)根据函数的单调性的定义，结合抽象函数的关系公式机进行证明即可；
(Ⅱ)根据抽象函数关系，由F(x)=0进行转化得到f(g(x)−k)=f(0)，即g(x)=k，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合抽象函数的关系，利用函数单调性的定义去证明是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高一（下）开学数学试卷(含解析）

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