2022-2023学年山东省菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高三（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高三（下）开学数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x≤5}，集合B={x|x(x−2)>0}，则A∩B=( )
A. {2,3,4}B. {3,4,5}C. [2,5)D. (2,5]
2.已知z=1−i2+2i，则z⋅z−=( )
A. 14B. iC. 0D. 1
3.已知向量a=(1,1)，b=(1,−1).若(λa+b)//(a+μb)，则( )
A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−1
4.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(−1,0)单调递增，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)
5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2= 3e1，则a=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 6
6.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为2α，则sinα=( )
A. 1B. 154C. 104D. 64
7.记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知 2sin(θ−π4)cs(π+θ)=cs2θ，且sinθ≠0，则tan(θ+π6)的值为( )
A. 3B. 33C. 2− 3D. 2+ 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据x1，x2，…，x6，且成等差数列，其中x1是最小值，x6是最大值，则下列各选项正确的是( )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
10.拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明，对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算.2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaG”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围棋复杂度的上限约为M=3361，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为N=1080.(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477.)若两数常用对数之差的绝对值不超过1，则称两数“可相互替代”.下列数值与MN的值“可相互替代”的有( )
A. 1091B. 1092C. 1093D. 1094
11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=xf(y)+yf(x)，则( )
A. f(0)=0B. f(−1)=0
C. f(x)是奇函数D. x=0为f(x)的极大值点
12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A. 直径为0.99m的球体B. 所有棱长均为1.4m的四面体
C. 底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D. 底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，则不同的选课方案共有______种(用数字作答)．
14.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1= 2，则该棱台的表面积为______．
15.已知函数f(x)=csωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是______．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⋅F1B=0，BF2=35BA，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥A−BCD的体积．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=a(ex+a)−x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32．
20.(本小题12分)
设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99−T99=99，求d．
21.(本小题12分)
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3)．
(Ⅰ)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；
(Ⅱ)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2 2，求△PAQ的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
解一元二次不等式求集合B，利用集合交运算求A∩B．
【解答】
解：由题设A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x>2或xs22，所以选项C错误；
对于D，因为x6>x5，x2>x1，所以x6−x1>x5−x2，选项D正确．
故选：BD．
根据平均数，中位数，标准差和极差的概念，对选项中的命题逐一判定即可．
本题考查了平均数，中位数，标准差和极差的概念与运算问题，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：lgMN=lgM−lgN=lg3361−lg1080
=361lg3−80=361×0.477−80
=92.197，
所以lgMN+1=93.197,lgMN−1=91.197，
所以“可相互替代”的数的范围是[1091.197,1093.197].
故选：BC．
先利用对数运算求得lgMN，进而得到lgMN+1,lgMN−1，则“可相互替代”的数的范围即可求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为f(xy)=xf(y)+yf(x)，
对于选项A：令x=y=0，
此时f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故选项A正确；
对于选项B：令x=y=1，
此时f(1)=f(1)+f(1)，
所以f(1)=0，
令x=y=−1，
此时f(1)=−f(−1)−f(−1)=−2f(−1)=0，
所以f(−1)=0，故选项B正确；
对于选项C：因为函数f(x)的定义域为R，
令y=−1，
此时f(−x)=xf(−1)−f(x)=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，故选项C正确；
对于D，不妨令f(x)=0，符合题意，
此时函数f(x)无极值，故选项D错误．
故选：ABC．
由题意，利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项A，B，C，举反例f(x)=0即可排除选项D．
本题考查抽象函数的应用以及函数奇偶性的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1>0.99，选项A正确；
对于B，如图，
正方体内部最大的正四面体D−A1BC1的棱长为 12+12= 2>1.4，选项B正确；
对于C，棱长为1的正方体的体对角线为 3(1.2)2=1.44，选项D正确．
故选：ABD．
对于A，由正方体的内切球直径大于0.99可判断；对于B，由正方体内部最大的正四面体的棱长大于1.4可判断；对于C，由正方体的体对角线小于1.8可判断；对于D，取E，F，G，H，I，J都为棱中点，则六边形EFGHIJ为正六边形，由正六边形的内切圆直径大于1.2可判断．
本题考查简单几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中点题．
13.【答案】84
【解析】解：当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C82=28种；
当从8门课中选修3门，则不同的选课方案共有C83=56种；
综上所述：不同的选课方案共有28+56=84种．
故答案为：84．
利用组合知识分别求选修2门或3门课的选课方案可得答案．
本题考查组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】5+3 7
【解析】解：如图，过A1作A1M⊥AB，垂足为M，
所以A1M为四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧面的高，
因为AB=2,A1B1=1,AA1= 2，
则AM=12(AB−A1B1)=12,A1M= A1A2−AM2= 2−14= 72，
S梯形A1B1BA=12(AB+A1B1)A1M=3 74，
所以正四棱台的侧面积为4S梯形A1B1BA=3 7，
正四棱台的上底面积为SA1B1C1D1=1，正四棱台的下底面积为SABCD=4，
则该棱台的表面积为5+3 7．
故答案为：5+3 7．
过A1作A1M⊥AB，求出四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧面面积、上下底面积可得答案．
本题考查了正四棱台的表面积计算，属于中档题．
15.【答案】[2,3)
【解析】解：x∈[0,2π]，函数的周期为2πω(ω>0)，csωx−1=0，可得csωx=1，
函数f(x)=csωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，
可得2⋅2πω≤2π0)，则E(0,13,2t3)，
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，
又BC=( 32,32,0),BE=(0,43,2t3)，
所以由n⋅BC=0n⋅BE=0，得 32x+32y=043y+2t3z=0，
令x= 3，则y=−1，z=2t，故n=( 3,−1,2t)，
因为二面角E−BC−D的大小为45°，
所以|cs|=|n⋅OA||n||OA|=2t 4+4t2= 22，
解得t=1，所以OA=1，
又S△OCD=12×1×1× 32= 34，所以S△BCD= 32，
故VA−BCD=13S△BCD⋅OA=13× 32×1= 36．
方法二：
过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连结EG，
由题意可知，EF/​/AO，又AO⊥平面BCD
所以EF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，
所以EF⊥BC，又BC⊥FG，FG∩EF=F，FG、EF⊂平面EFG，
所以BC⊥平面EFG，又EG⊂平面EFG，
所以BC⊥EG，
则∠EGF为二面角E−BC−D的平面角，即∠EGF=45°，
又CD=DO=OB=OC=1，
所以∠BOC=120°，则∠OCB=∠OBC=30°，
故∠BCD=90°，
所以FG//CD，
因为DEAD=DFOD=EFAO=23，
则AO=32EF,OF=13,DF=23，
所以BFBD=GFCD，则GF=1+132=23，
所以EF=GF=23，则AO=32EF=1，
所以VA−BCD=13S△BCD⋅AO=13×12× 3×1×1= 36．
【解析】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．
(1)利用等腰三角形中线就是高，得到AO⊥BD，然后利用面面垂直的性质，得到AO⊥平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明AO⊥CD；
(2)方法一：建立合适的空间直角坐标系，设A(0,0,t)，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．
方法二：过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连结EG，求出∠BCD=90°，AO=32EF=1，然后利用锥体的体积公式求解即可．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=a(ex+a)−x，定义域为R，f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)=aex−10时，令f′(x)=aex−1=0，解得x=−lna，
当x0，则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；
综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增．
证明：(2)由(1)得，f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a) 22，
所以g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕．
【解析】(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
(2)结合(1)中结论，将问题转化为a2−12−lna>0的恒成立问题，构造函数g(a)=a2−12−lna(a>0)，利用导数证得g(a)>0即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．
20.【答案】解：(1)由3a2=3a1+a3，可得3(a1+d)=3a1+a1+2d，
即为d=a1，an=a1+(n−1)d=nd，
则bn=n2+nan=n+1d．
由S3+T3=21，可得d+2d+3d+2d+3d+4d=21，
化为2d2−7d+3=0，又d>1，
解得d=3，
则an=3n，n∈N*；
(2)由{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn=n2+nan，
根据等差数列的通项公式的特点，可设an=tn，d=t>1；
或设an=k(n+1)，d=k>1，
①当an=tn，d=t>1时，bn=n+1t，
则S99−T99=12×99×(t+99t)−12×99×(2t+100t)=99，
化为50t2−t−51=0，又d=t>1，
解得d=t=5150；
②当an=k(n+1)，d=k>1时，bn=nk，
则S99−T99=12×99×(2k+100k)−12×99×(1k+99k)=99，
化为51k−50k=1，
即51k2−k−50=0，又d=k>1，
此时k无解，
综合可得d=5150．
【解析】(1)根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；
(2)根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设an=tn，且d=t>1；或设an=k(n+1)，且d=k>1，再分类讨论，建立方程，即可求解．
本题考查等差数列的性质、等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查方程思想和转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
21.【答案】(Ⅰ)解：由题意，P0=0.4，P1=0.3，P2=0.2，P3=0.1，
故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1；
(Ⅱ)证明：由题意可知，p0+p1+p2+p3=1，则E(X)=p1+2p2+3p3，
所以p0+p1x+p2x2+p3x3=x，变形为p0−(1−p1)x+p2x2+p3x3=0，
所以p0+p2x2+p3x3−(p0+p2+p3)x=0，
即p0(1−x)+p2x(x−1)+p3x(x−1)(x+1)=0，
即(x−1)[p3x2+(p2+p3)x−p0]=0，
令f(x)=p3x2+(p2+p3)x−p0，
则f(x)的对称轴为x=−p2+p32p30，f(x)的正实根x0