安徽省淮南市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（Word版附解析）

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1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合B，然后利用交集概念运算即可.
【详解】因为，
又，所以.
故选：C.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式化简直接得出答案.
【详解】．
故选：B．
3. 已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指数幂的运算求解.
【详解】解：因为点，都在的图象上，
所以，则，
故选：D
4. 若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式性质判断AD，举反例判断BC.
【详解】因为实数a，b满足，所以，所以，故选项A错误；
当时，满足，但是，不满足，
故选项B错误；
当时，满足，但是，不满足，
故选项C错误；
，即，故选项D正确.
故选：D
5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数图象的对称性求出对称轴，逐个检验即可求解.
【详解】由题意得，
令，得，
取，得曲线的一条对称轴的方程为.
故选：B.
6. 数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的值域为
【答案】C
【解析】
【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得.
【详解】由高斯函数的定义知，都是整数，即都是有理数，所以，A正确；
若为有理数，则也是有理数，；若为无理数，则也是无理数，，B正确；
取，则，C错误；
的值域是，所以的值域为，D正确．
故选：C
7. 若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意方程有两个不同的解，利用韦达定理得，则转化为求的范围即可.
详解】，作出函数图象如图：

因为函数与函数的图像有两个不同的交点，所以或，
且方程即有两个不同的解.
故，所以，
因为或，所以或，
所以.
故选：B
8. 若，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用之间的关系和题给条件即可求得分别求得的值，进而得到的值.
【详解】因为，
设（），
则，所以，，
即，所以或（舍）
所以，
．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 的充要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正切函数知识及同角三角函数关系，结合充要条件的概念分析判断即可.
【详解】对于A,因为，所以，故是的充要条件；
对于B,当时，，则，
当时，，则无意义，
所以是的必要不充分条件；
对于C,因为，所以，即，故是的充要条件；
对于D，由可得，取，可得，
但无意义，所以是的充分不必要条件.
故选：.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 是奇函数
C. 是偶函数
D. 对任意的，
【答案】CD
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可.
【详解】A：由，所以该函数的定义域为，因此本选项结论不正确；
B：因为，
所以有，因此是偶函数，所以本选项不正确；
C：由上可以确定本选项正确；
D：，
当时，，而，于是有，
当时，，而，于是有，
综上所述：对任意的，，因此本选项正确，
故选：CD
11. 若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A. 解集为或
B. 的解集为
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案.
【详解】AB选项，因为，故，
由题意得的解集为，
的解集为或，A正确，B错误；
C选项，的两个根为，的根为，
故，，，
由于，，故，所以，C错误；
D选项，因为，，
故，两边平方得，D正确.
故选：AD
12. 函数在上有3个零点，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 在取得2次最大值
C. 的单调递增区间的长度（区间右端点减去左端点得到的值）的取值范围是
D. 已知，若存在t，，使得在上值域为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】化简，当时，由题意得，求解即可判断A；在上取得2次最大值，可判断B；的单调递增区间的长度为，可判断C；由题意，可判断D．
【详解】，
当时，，所以，A正确；
由A选项分析可知当时，有，
所以当或时，在上取得2次最大值，B正确；
由A选项可知，所以周期，所以，
所以的单调递增区间的长度范围为，C错误；
若存在，使得在上的值域为，则，D正确．
故选：ABD．
【点睛】易错点睛：本题易错的地方在于C选项中对区间长度的定义没有理解正确，从而错选C选项导致错误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若幂函数在区间上单调递减，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出值，再根据在上单调递减求值即可.
【详解】因为为幂函数，所以；解得或，
又因为在上递减，所以，故.
故答案为：
14. 将函数图象上所有点的横坐标变化到原来的倍，纵坐标保持不变，得到的图象，则______.
【答案】9
【解析】
【分析】设图象上点，变换后得到，代入中，从而得到方程，求出答案.
【详解】设函数图象上点，横坐标变化到原来的倍得到，
又在，故，
又，即，即，故.
故答案为：9
15. 正五角星是一个有趣的图形，如图，顺次连接正五角星各顶点，可得到一个正五边形，正五角星各边又围成一个小的正五边形，则大五边形与小五边形的边长之比为___________．（参考数据）

【答案】
【解析】
【分析】画出图形，根据题意得到，，再结合二倍角公式求解即可.
【详解】如图
，
为等腰三角形，，
为等腰三角形，，，
所以．
故答案为：
16. 已知函数，若对任意恒有，则的取值集合为________．
【答案】
【解析】
【分析】由绝对值不等式解得对恒成立，再结合二次函数的图象和单调性即可得到答案.
【详解】因为，
所以，
因为，
因为，则，
，
所以，故，所以的取值集合为．
故答案：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得化简集合，结合交集的概念即可得解.
（2）由题意，即问题转化为恒成立，由此即可得解.
【小问1详解】
，
由解得，
所以时，，
所以.
【小问2详解】
若“”是“”的必要条件，则，
由（1）知，
所以对任意，有，
所以问题转化为恒成立，
所以，即的取值范围为.
18. （1）已知，化简：；
（2）已知，，，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答.
（2）利用同角公式求出，利用二倍角的正切求出，再利用差角的正切求解作答.
【详解】（1）因为，则，，，
所以
．
（2）因为，，即有，而，
因此，，，
于是，又，
则，
而，，即有，
所以．
19. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若函数与的最大值相同，最小值相同，单调递增区间相同，求在上的值域.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）先利用两角和正、余弦公式化简函数，然后代入正弦函数单调递减区间求解即可；
（2）先根据函数性质求得，然后根据时，确定，结合余弦函数的性质求解即可.
【小问1详解】
，
令，，解得，，
所以的单调递减区间为；
【小问2详解】
，
由题意知，当时，，
则，所以，
故时，的值域为.
20. 已知（且）是R上的奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若不等式对恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据奇函数性质，再根据，列方程即可求出答案.
(2)首先判断的单调性，根据复合函数内外函数与单调性关系列出不等式计算.
【小问1详解】
∵是R上的奇函数，∴．
由，可得，，
∵，
∴，．
经检验，此时为奇函数，满足题意．
∴
【小问2详解】
∵，
∴在R上单调递增，又为R上的奇函数．
∴由，得，
∴，即恒成立，
当时，不等式不可能对恒成立，故不合题意；
当时，要满足题意，需，解得．
∴实数m的取值范围为．
21. 甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪.
（1）甲小组得出该种蓅菜在1-8月份的价格P（元/kg）与月份t近似满足关系，月交易是Q（单位：吨）与月份t近似满足关系，求月交易额y（万元）与月份t的函数关系式.并估计1-8月份中第几个月的月交易额最大；
（2）乙小组通过追踪得到该种疏菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模拟价格（单位：元）与月价x之间的函数关系：①（，且）；②；③.
①为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数?并说明理由；
②若，，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是，其中表示1月份，表示2月份，…，以此类推），并估计价格在5元/kg以下的月份有几个.
【答案】（1）；4月
（2）①应选③，理由见解析；②，估计有4个月价格在5元/kg以下
【解析】
【分析】（1）求出关于的解析式即可求解；
（2）①根据各函数的性质即可求解；②先求出，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得：，
所以，
当时，根据二次函数的性质得时取最大月交易额为万元，
当时，同理可得时取得最大月交易额为万元，
所以估计月的月交易额最大；
【小问2详解】
①①函数是单调函数，不符合题意，
②二次函数的的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，
不符合题意，
③当时，函数在上的图象时下降的，
在上的图象是上升的，在上的图象是下降的，
满足条件，应选：③；
②因为，，
所以，所以，，
所以，令，
所以，，
由一次函数图象易知时价格在5元/kg以下，
即月、月、月、月价格在5元/kg以下,
所以有个月价格在5元/kg以下.
22. （1）已知，若对任意，都有，求的最小值；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）恒成立，转化为，利用基本不等式求，可得，结合，即可得到的最小值；
（2）不等式可化为，讨论二次项系数，，，再讨论方程的两根的大小关系，即可得到结论.
【详解】（1）因为对任意，都有，
所以只需要，
又因为，
当且仅当即时等号成立，
所以，
又因为，，
所以，
所以，解得或（舍）
当且仅当时等号成立，所以最小值为.
（2）不等式可化为
当时，，方程的两根分别为，且，不等式的解集为；
当时，不等式可化为，不等式的解集为；
当时，，方程的两根分别为，且，不等式的解集为或；
当时，不等式可化为，不等式的解集为；
当时，，方程的两根分别为，且，不等式的解集为或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；