四川省眉山市仁寿第一中学南校区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角关系求解即可.
【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，
所以直线的斜率为，
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.
故选：C
2. 若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列举出所有基本事件，再找出甲不排在第一位的基本事件，由古典概型求解即可.
【详解】甲、乙、丙三人排队的可能顺序有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种情况，
其中甲不排在第一位的有4种情况，则甲不排在第一位的概率为.
故选：D.
3. 在等差数列中，，则的值是（ ）
A. 36B. 48C. 72D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：A
4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆心距跟半径的和差关系，判断圆与圆的位置关系.
【详解】圆心距 ，
所以两圆外切.
故选：D
5. 若点是抛物线上一点，且点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，则的中点到轴距离等于（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离建立等量关系，求出点横坐标，再求出的中点横坐标，则的中点到轴距离可求.
【详解】解：抛物线的准线方程为，，
由抛物线的定义，得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
则，解得.
所以的中点的横坐标为，所以的中点到轴距离等于.
故选：B.
6. 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图像,当直线过点时,求出值;当直线与曲线相切时.求出,即可得出的取值范围.
【详解】画出如下图像：
当直线过点时,,此时直线与
曲线有两个公共点;
直线与曲线相切时,,
因此当时，直线与
曲线有两个公共点.
故选B
【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.
7. 设等差数列的前n项和为，满足，，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. D. 满足的最大自然数n的值为23
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的前项和公式可得，结合即可得出结果.
【详解】设等差数列的公差为
由，
可得，
整理可得，由
所，即，故A错误；
根据，则数列递减数列，，即，
则前项或前项的和最大，故B错误；C正确；
所以，即，解得，
满足的最大自然数n的值为22，故D错误；
故选：C
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性，属于基础题.
8. 已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】首先得到双曲线的渐近线方程，再令，即可得到、坐标，再根据面积公式求出，最后由离心率公式计算可得；
【详解】解：双曲线的渐近线为，令，可得，
不妨令，，
所以，所以，，
即，所以，
所以；
故选：D
二、多选题（本题共4道小题，每小题4分，共20分）
9. 对于直线.以下说法正确的有（ ）
A. 的充要条件是
B. 当时，
C. 直线一定经过点
D. 点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【解析】
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于AB，根据对数函数和余弦函数的求导公式判断即可，对于C，根据指数函数的求导公式即可，D选项根据幂函数的求导公式即可.
【详解】对A，若，则，正确
对B，若，则，错误；
对C，，则，错误；
对D，若，则，正确.
故选：AD.
11. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A. 若，是互斥事件，，，则
B. 若，是对立事件，则
C. 若，是独立事件，，，则
D. 若，，且，则，是独立事件
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可
【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误；
对于B：若，是对立事件，则，故B正确；
对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确；
对于D：若，，则且，则，是独立事件，故，也是独立事件，故D正确；
故选：BCD
12. 在棱长为的正方体中，则（ ）
A 平面
B. 直线平面所成角为45°
C. 三棱锥的体积是正方体体积的
D. 点到平面的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量解决角度距离问题.
【详解】正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，.
，，，，，
得，，由平面，，∴平面，A选项正确；
，，设平面的一个法向量，
则有，令，得，，则，
，所以直线平面所成角不是45°，B选项错误；
为边长为的等边三角形，，
点到平面的距离，
三棱锥的体积，而棱长为的正方体的体积为，
所以三棱锥的体积是正方体体积的，C选项正确；
，，设平面的一个法向量，
则有，令，得，，则，
，点到平面的距离为，故D选项错误.
故选：AC
三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等比数列中，，，则________
【答案】16
【解析】
【分析】将等比数列的通项公式代入，中，可得，再求的值。
【详解】，，，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，求解时注意广义通项公式的应用.
14 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______
【答案】
【解析】
【分析】由向量在向量上的投影向量为,，计算即可求出答案．
【详解】向量，，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为
,,0,,0,，
故答案为：．
15. 直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据圆心到直线距离与弦长一半的平方和等于半径的平方，求出圆心到直线距离，再根据点到直线的距离公式即可得出结果。
【详解】解：由题知，圆的圆心为，半径为1，
因为，所以圆心到直线的距离，
因为直线，所以，
解得，
故答案为：
16. 已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出的边长，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出离心率.
【详解】如图，

因为，所以可设，
又，所以，
由椭圆定义，，即，
又，即B点为短轴端点，
所以在中，
，
又在中，，
解得或（舍去）.
故答案为：
四、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分， 第6题12分，共70分）
17. 已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80．为助力疫情防控，现采用按比例分配分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动．
（1）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；
（2）设抽出的6名教师志愿者分别记为，，，，，，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作．
①写出本次实验的样本空间；
②设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件发生的概率．
【答案】（1）分别抽取3人，2人，1人；（2）①见解析；②.
【解析】
【分析】（1）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为，进而计算可得相应的人数；
（2）①列举随机抽取2名教师志愿者的所有结果共15种；
②随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为，，，，，，，，共4种，由概率公式可得．
【详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为
由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，
因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人；
（2）①从抽出的 6名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15种．
②由①，不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是，，，来自乙学校的是，，来自丙学校的是，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为，，，，，，，，共4种．
所以，事件发生的概率．
18. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程；
（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.
【小问1详解】
解：圆心到直线的距离为，
所以，圆的半径为，
因此，圆的方程为.
【小问2详解】
解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由题意可得，解得，此时，切线的方程为.
综上所述，所求切线的方程为或.
19. 在数列{an}中，．
（1）求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想．
（2）令，为数列的前n项和，求．
【答案】（1），，，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）代入计算即可得到，按照数学归纳法的步骤证明即可；
（2），再利用错位相减法即可.
【小问1详解】
∵，
∴
因此可猜想: ；
当时，，等式成立，
假设时，等式成立，即，
则当时，，
即当时，等式也成立，
综上所述，对任意自然数，.
【小问2详解】
，
①
②
由①-②得：
20. 已知椭圆C：离心率为，左顶点坐标为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．
【答案】（1）
（2）为定值，定值为-2
【解析】
【分析】（1）由题意，先求得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系，可得的值，即可得答案.
（2）当直线l斜率存在时，设直线l：，与椭圆联立，根据韦达定理，可得的表达式，根据斜率公式，求得的表达式，化简整理，即可得答案；当直线l的斜率不存在时，直线l：，所以，化简计算，可得为定值，即可得答案.
【小问1详解】
由题意得
又，所以
所以，
所以椭圆C：．
【小问2详解】
当直线l斜率存在时，设直线l：，（其中），，，
联立，消y可得，
则，解得或，
，
所以
（定值）
当直线l的斜率不存在时，直线l：，则M，N关于x轴对称，所以，
所以，
综上可得（定值）
21. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，其中，点在棱上，点为中点.
（1）记平面平面，判断直线和直线的位置关系，并证明；
（2）若二面角的大小为是靠近的三等分点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1），证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证得平行，然后利用线面平行的性质定理证得结论；（2）利用面面垂直的性质定理证得平面，从而求得二面角的平面角，利用等体积法求得点到平面的距离，过作于点，求得的长，然后利用线面角概念求得结果.
【小问1详解】
，证明如下：
因为平面平面，
所以平面.
因为平面平面，平面平面.
所以.
【小问2详解】
在梯形中，由条件可得，
平面平面，平面平面平面，
所以平面，所以二面角的平面角为，
所以，因为平面，所以，由，
得点到平面的距离，
过作于点，则，所以，
于是且，所以四边形是平行四边形.于是
又，所以，
所以与平面所成角正弦值为.
22. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）设出，由焦半径得到方程，求出，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程，表达出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
依题意，设．
由抛物线的定义得，解得：，
因为在抛物线上，
所以，所以，解得：．
故抛物线的方程为．
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．
设直线的方程为，，．
联立，整理得：，
则，从而．
因为是弦的中点，所以，
同理可得．
则
，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为8．