博白县中学2023-2024学年高二上学期月考（一）数学试卷(含答案)

这是一份博白县中学2023-2024学年高二上学期月考（一）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．过点且斜率为的直线l的方程是( )
A.B.C.D.
2．直线与直线平行，则a的值为( )
A.B.C.D.或
3．已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则m的值为( )
A.B.C.5D.3
4．已知圆，过点作圆C的切线m，则m的方程为( )
A.B.
C.或D.或
5．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是( )
A.B.
C.D.
6．圆上到直线距离为的点有( )
A.2个B.3个C.4个D.无数个
7．已知点，，若直线与线段有公共点，则k的取值范围是( )
A.B.C.或D.
8．若椭圆上一点P到左焦点的距离为6，是右焦点，则的面积是( )
A.B.8C.D.16
二、多项选择题
9．如图，在正方体中，E､F､G分别为、、的中点，则( )
A.B.与所成角为C.D.平面
10．已知点和点，P是直线上的一点，则的可能取值是( )
A.B.C.D.
11．已知，为椭圆()的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值可以是( )
A.B.C.D.
12．直线与圆相交于M、N两点，若，则k的取值可以是( )
A.B.C.0D.1
三、填空题
13．直线，，若，则__________.
14．若点在圆上运动，则的取值范围___________.
15．如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，轴，，则椭圆的离心率为________.
16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD且，，则PB与平面PCD所成角的正弦值为________.
四、解答题
17．已知直线：.
（1）若直线在x轴上的截距为2，求实数a的值；
（2）若直线与直线：平行，求两平行线之间的距离.
18．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点.
（1）求满足条件的椭圆方程；
（2）求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率.
19．如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点.
（1）证明：平面PAB；
（2）求直线CE与平面PAB间的距离.
20．已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C相交于M、N两点，且，求直线l的方程.
21．如图，已知四棱锥，底面为长方形，平面，E，F分别是，的中点.
（1）求证：；
（2）若，，求二面角的余弦值.
22．已知椭圆的离心率为，直线恒过椭圆E的右焦点F.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有直线的斜率和直线的斜率满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：过点且斜率为的直线l的方程是，
即.
故选：C.
2．答案：C
解析：依题意，直线与直线平行或重合时，，
解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线与直线平行，
所以a的值为.
故选：C.
3．答案：D
解析：因为焦点在y轴，故，而焦距是2，故即，
故选：D.
4．答案：C
解析：将圆化为标准方程，
则圆心，，
当切线l的斜率不存在时，切线l的方程为，
当切线l的斜率存在时，设切线l的方程为，
即，由题意知，.解得.
此时切线l的方程为.
综上，切线l的方程为或.
故选：C.
5．答案：D
解析：设，则由中点坐标公式可得，将代入中得，
故选：D.
6．答案：B
解析：因为化为标准方程为，
所以圆心，圆的半径，
又因为圆心C到直线的距离为，
所以，
所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，
所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.
故选：B.
7．答案：C
解析：直线l：经过定点，，.
又直线l：与线段相交，所以或，
故选：C.
8．答案：C
解析：由椭圆定义可得，，，，
而，
由余弦定理可得：，
，
.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x､y､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则、、、、、、、、、、.
对于A选项，，，，所以，故A选项正确；
对于B选项，，，
，
所以，向量与向量的夹角是，与所成角为，故B选项正确；
对于C选项，，，则，故C选项错误；
对于D选项，设平面的法向量为，，，
由，可得，取，可得，
又，
，，平面，平面，故D选项正确
故选：ABD.
10．答案：ABC
解析：点和点，P是直线上的一点，
过点A作直线的对称点，设，
可得，，
解得，，即，
连接，可得，
当且仅当，P，B三点共线时，取得最小值为，
结合选项可知的可能取值是，，.
故选：ABC.
11．答案：ABC
解析：由椭圆的定义可知：
，，则，
，
，即，
，又，.
故选：ABC.
12．答案：ABC
解析：由圆可得圆心为，半径为，
故圆心到直线的距离为，
因为，所以，
即，，
整理得，，
结合选项可得k的取值可以是，，0.
故选：ABC.
13．答案：或0.5
解析：直线，，，
，解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：令，则与圆有公共点，
可得，即，
所以的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：或
解析：因为P是椭圆上一点，且轴，则P点的坐标为，
法一：设椭圆方程为，则，，，
可得，
因为，则直线OP的斜率为，可得其方程为，
可得，整理得，
所以椭圆的离心率；
法二：设椭圆方程为，，，，
因为，则，
可得，即，整理得，
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
16．答案：或
解析：因为平面ABCD，，平面ABCD，
所以，，
因为，
所以PA，AB，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
设平面PCD的法向量为，
则，
令，则，，
故，
设PB与平面PCD所成角的大小为，
则.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，在直线：中，
令，可得，
直线在x轴上的截距为，
解得：.
（2）由题意及（1）得，在直线：中，
直线与直线：平行，
，
直线的方程可化为，
两平行线之间的距离为：.
18．答案：（1）
（2）顶点坐标，；长轴长4，短轴长；离心率
解析：（1）由已知焦点在x轴上，设椭圆方程为，
，，焦点坐标为，，
，
，，
椭圆方程为.
（2）顶点坐标，；长轴长4，短轴长；离心率.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）记的中点为O，连接，，
因为，，所以底面ABCD为直角梯形，
又底面ABCD的面积为，，
所以，得，所以，
所以且，所以为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面，
因为O，E分别为AD，PD的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面PAB.
.
（2）因为是以AD为斜边的等腰直角三角形，，
所以，，
由（1）可知，，，所以，
又因为平面平面ABCD，所以，故，，两两垂直，
以，，所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设为平面的法向量，
则，令得，
所以点C到平面的距离为，
由（1）知，平面PAB，所以直线CE与平面PAB间的距离即为.
20．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设圆C的圆心为，由得，
所以，所以，则，，
所以圆C的标准方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为，代入得，，，
满足.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
即，
依题意可知，到直线l的距离，
即，解得，
直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程为或.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为平面，平面，
所以，
由底面为长方形，可得，
又，且平面，平面；
所以平面，
又平面，故，
因为E，F分别是，的中点，
所以，故.
（2）由（1）可知，、、两两垂直，
以点A为坐标原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
又E，F分别是，的中点，
所以，；
因此，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，所以，则，
不妨令，则，
又平面，即平面；
所以为平面的一个法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）存在，P点的坐标为
解析：（1）设椭圆E的焦距为，则椭圆E的右焦点为.
因为直线l恒过定点，
所以，
又因为，，
所以，，
所以椭圆E的方程为.
（2）将椭圆与直线联立方程组，
消去x，可得，
设，，
由韦达定理得，，
设点满足题意，
则，所以，
所以，
所以，
因为当m变化时，总有直线的斜率和直线的斜率满足，
所以当时，上式恒成立，
所以在x轴上存在定点满足题设条件.