青龙满族自治县实验中学2023届高三下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份青龙满族自治县实验中学2023届高三下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，事件A表示“取到的两数之和为偶数”，事件B表示“取到的较大的数为奇数”，则( )
A.B.C.D.
2．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是( )
A.相互独立事件B.不相互独立事件C.互斥事件D.对立事件
3．函数在区间内( )
A.单调递增B.单调递减C.有增有减D.无法判定
4．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取件产品，其中质量在区间内的产品估计有( )
附:若，则，.
A.件B.件C.件D.件
5．某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有( )
A.51种B.45种C.48种D.42种
6．已知的切线斜率等于，则切点坐标是( )
A.或B.或
C.或D.或
7．随机变量X的分布列如下所示.
则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列函数求导正确的是( )
A.已知，则
B.已知，则
C.已知，则
D.已知，则
10．下列结论正确的是( )
A.若A，B互为对立事件，，则
B.若事件A，B，C两两互斥，则事件A与互斥
C.若事件A与B对立，则
D.若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥
11．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则( )
A.A与B互斥B.C与D互斥C.A与D独立D.B与C独立
12．已知函数，下列说法中正确的有( )
A.函数的极大值为，极小值为
B.若函数在上单调递减，则
C.当时，函数的最大值为，最小值为
D.若方程有3个不同的解，则
三、填空题
13．已知函数，则函数在点处的切线方程为______.
14．下列关于回归分析的说法正确的是___________（填上所有正确说法的序号）
①相关系数越小，两个变量的相关程度越弱；
②残差平方和越大的模型，拟合效果越好；
③用相关指数来刻画回归效果时，越小，说明模型的拟合效果越好；
④用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使取最小值时的a、b的值；
⑤在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高.
15．食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，甲､乙两位同学各自随机选择种类，他们所选水果中恰有一种水果相同的概率为___________（结果用最简分数表示）.
16．若函数在上单调递增，则实数k的取值范围是________.
四、解答题
17．一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；
（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为a和b，求的概率.
18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量(单位：t)的影响.该公司对近7年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位：t)具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
（1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程(结果保留到0.001)；
（2）已知这种产品的年利润与x，y的关系为，根据（1）中的结果，估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润z最大.
附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，参考数据：，.
19．某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了名学生，其中有四成学生经常使用手机.名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示.小组约定物理成绩低于分为一般，分以上为良好.根据以上资料完成以下列联表，并且是否有97.5%把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”？
附表及公式：，.
20．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间（）上有零点，求k的值.
21．为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，每人测试文化、经济两个项目，每个项目满分均为60分.从全体测试人员中随机抽取了100人，分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩，得到文化项目测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下：
经济项目测试成绩频率分布直方图
文化项目测试成绩频数分布表
将测试人员的成绩划分为三个等级如下：分数在区间内为一般，分数在区间内为良好，分数在区间内为优秀.
（1）在抽取的100人中，经济项目等级为优秀的测试人员中女生有14人，经济项目等级为一般或良好的测试人员中女生有34人.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关？
（2）用这100人的样本估计总体，假设这两个项目的测试成绩相互独立.
（i）从该市测试人员中随机抽取1人，估计其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率.
（ii）对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价.
附：
.
22．函数，若在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）.
参考答案
1．答案：A
解析：事件“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、、、，
，
事件“取到的较大的数为奇数”所包含的基本事件有、、，
.
故选A.
2．答案：A
解析：由题意可得表示第二次摸到的不是黑球，
即表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，
故每次是否摸到白球互不影响，故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
3．答案：A
解析：在上，，
在上单调递增，
故选：A.
4．答案：A
解析：依题意，产品的质量X（单位：千克）服从正态分布，得，，
，
质量在区间内的产品估计有件.
故选A.
5．答案：A
解析：若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有种情况，
若这两个人选报的另外的学科不同，则共有种情况，
若三个人全部都报名数学竞赛，则共有种情况，
所以不同的参赛方案有：种情况，
故选：A.
6．答案：B
解析：，则，由可得，
因此，，，故所求切点的坐标为或.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题可知，即，
，
，
则，
令，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则的最大值为.
故选：D.
8．答案：A
解析：若，则，即在上递减；
，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
，即为奇函数，
综上，在上递减，且，
的解集为.
故选：A.
9．答案：AD
解析：对于A，已知，则，故正确；
对于B，已知，则，故错误；
对于C，已知，则，故错误；
对于D，已知，则，故正确.
故选：AD.
10．答案：ABC
解析：若A，B互为对立事件，，则A为必然事件，故B为不可能事件，则，故A正确；
若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不能同时发生，则事件A与也不可能同时发生，则事件A与互斥，故B正确；
若事件A与B对立，则，故C正确；
若事件A，B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误.
故选：ABC.
11．答案：BC
解析：对于A，记表示事件“第一枚点数为x，第二枚点数为y”，则事件A包含事件，事件B也包含事件，所以，故A与B不互斥，故A错误；
对于B，事件C包含的基本事件有，，，，共5件，事件D包含的基本事件有，，，共4件，故，即C与D互斥，故B正确；
对于C，总的基本事件有件，事件A的基本事件有件，故，
由选项B知，
而事件包含的基本事件有，共2件，故，
所以，故A与D独立，故C正确；
对于D，事件B的基本事件有件，故，由选项B知，
而事件包含的基本事件有，，共3件，故，
所以，故B与C不独立，故D错误.
故选：BC.
12．答案：ABD
解析：的定义域为R，，
令，得或2，
所以在，单调递增，在上单调递减，故B正确，
，，故A正确，
方程有3个不同的解，则，D正确，
，，当时，函数的最大值为，最小值为，故C不正确，
故选：ABD.
13．答案：
解析：由题得，，，，
故切线方程为:，即.
故答案为：.
14．答案：④⑤
解析：对于①，对于相关系数，越接近于0，两个变量的相关程度越弱，①错；
对于②，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，②错；
对于③，用相关指数来刻画回归效果时，越大，说明模型的拟合效果越好，③错；
对于④，用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使取最小值时的a、b的值，④对；
对于⑤，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，⑤对.
故答案为：④⑤.
15．答案：
解析：设“甲､乙两位各自随机选择种类，他们所选水果中恰有一种水果相同”为事件A.
甲､乙两位各自随机选择种类，共有种选择方法；
他们所选水果中恰有一种水果相同，共有种，
故.
故答案为：.
16．答案：
解析：由，
则，
由函数在上单调递增，
则在恒成立，
设，
①当时，，为增函数，
要使，则只需，求得，
②由，
当时，，即函数为减函数，即，
要使，则只需，即，
当时，有，即函数为增函数，
要使，则只需，即，
当时，有当时，，当时，，
即函数在为减函数，在为增函数，即，要使，则只需，
即，
综上可得实数k的取值范围是，
故答案为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，
取出球的编号之和为6的有，，共2种取法，
故所求概率.
（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，
两次取的球的编号之和大于5的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共26种取法，
故所求概率.
18．答案：（1）
（2）(万元)
解析：（1）由题意，
，
，，
所以.
（2）由（1）知，
可知，当时，年利润最大，
所以估算该公司.应该投入3.992万元宣传费，才能使得年利润最大.
19．答案：表格见解析，有
解析：
，
有的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”.
20．答案：（1）
（2）0或3
解析：（1）因为，故可得，
则，，
切线方程为，整理得.
故曲线在处的切线方程为.
（2）令，解得，
容易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，
在区间上，存在，使得，
故在区间上有一个零点；
在区间上，因为，
故在区间上有一个零点；
综上所述，满足题意的区间为，，
故k的可取值为0或3.
21．答案：（1）见解析
（2）（i）0.32（ii）见解析
解析：（1）由频率分布直方图，得经济项目等级为优秀人数为.其中女生数为14人，男生数为26人.经济项目等级为一般或良好的60名测试人员中，女生数为34人，男生数为26人.作出列联表：
.
由于，故有以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关.
（2）（i）记“文化项目等级为优秀”为事件，“文化项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为一般”为事件.则，，，.
从该市测试人员中随机抽取1人，其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率为
.
（ii）①记“文化项目等级为一般”为事件，“经济项目等级为优秀”为事件，则，.
从该市测试人员中随机抽取1人，其“项目经济等级高于文化项目等级”的概率为
.
因为，所以该市文化项目学习成绩更好.
②文化项目测试成绩良好率估计值为0.9，经济项目测试成绩良好率估计值为0.8，，所以该市文化项目学习成绩更好.
③文化项目测试成绩平均数的估计值为
.
经济项目测试成绩平均数的估计值为
.
因为，所以该市文化项目学习成绩更好.
④由频数分布表知，文化项目测试成绩低于40分的频率为，测试成绩低于50分的频率为.
故该市文化项目测试成绩中位数的估计值为.
由直方图知，经济项目测试成绩低于40分的频率为，测试成绩低于50分的频率为，故该市文化项目测试成绩中位数的估计值为.
因为，所以该市文化项目学习成绩更好.
⑤该市文化项目测试成绩众数的估计值为45（分）.
经济项目测试成绩众数的估计值为55（分）.
因为，所以该市对经济项目学习研究的更深入.
⑥文化项目测试成绩优秀率估计值为0.35，经济项目测试成绩优秀率估计值为0.4，，所以该市对经济项目学习研究的更深入.
22．答案：的单调递减区间为，极小值为2
解析：由条件得，曲线在点处的切线与直线垂直，此切线的斜率为0，即，有，得，，由得，由得.
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值.
故的单调递减区间为，极小值为2.
X
1
2
3
P
a
a
x(万元)
1
2
3
4
5
6
7
y(单位：t)
2.8
5.3
6.8
9.2
10.9
13.2
14.8
物理成绩一般
物理成绩良好
合计
不使用手机
经常使用手机
合计
分数区间
频数
2
3
5
15
40
35
优秀
一般或良好
合计
男生数
女生数
合计
0.150
0.050
0.010
k
2.072
3.841
6.635
物理成绩一般
物理成绩良好
合计
不使用手机
6
经常使用手机
6
合计
优秀
一般或良好
合计
男生数
26
26
52
女生数
14
34
48
合计
40
60
100