山东省新高考2023届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份山东省新高考2023届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．为做好“甲型流感”传染防控工作,某校坚持每日测温报告,以下是高三一班,二班各10名同学的体温记录(从低到高):
高三一班:36.1,36.2,m,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0(单位:),
高三二班:36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,n,37.1(单位:)
若这两组数据的第25百分位数,第90百分位数都分别对应相等,则为( )
A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3
4．函数的图像如图所示,图中阴影部分的面积为,则( )
A.B.C.D.
5．第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开,为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量.某市计划开展“学两会,争当新时代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士,并从中随机选取4人组成代表队参赛.在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下,则党员甲被选中的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知等腰直角三角形ABC中,,M,N分别是边AB,BC的中点,若,其中s,t为实数,则( )
A.B.1C.2D.
7．如图,直三棱柱中,,,,点M是BC的中点,点P是线段上一动点,点Q在平面上移动,则P,Q两点之间距离的最小值为( )
A.B.C.D.1
8．已知,,,其中为自然对数的底数,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设随机变量的分布列如下:
则下列说法正确的是( )
A.当为等差数列时,
B.数列的通项公式可能为
C.当数列满足时,
D.当数列满足时,
10．已知圆锥顶点为S,高为1,底面圆的直径AB长为.若C为底面圆周上不同于A,B的任意一点,则下列说法中正确的是( )
A.圆锥SO的侧面积为
B.面积的最大值为
C.圆锥SO的外接球的表面积为
D.若,E为线段AC上的动点,则的最小值为
11．已知AB,CD是经过抛物线焦点F的互相垂直的两条弦,若AB的倾斜角为锐角,C,A两点在x轴上方,则下列结论中一定成立的是( )
A.最小值为32
B.设为抛物线上任意一点,则的最小值为
C.若直线的斜率为,则
D.
12．已知函数,其中e是自然对数的底数,记,,则( )
A.有唯一零点
B.方程有两个不相等的根
C.当有且只有3个零点时,
D.时,有4个零点
三、填空题
13．已知的展开式中含有常数项,则n的一个可能取值是______.
14．已知点,设动直线和动直线交于点P,则的取值范围是______.
15．过双曲线的左,右焦点作两条相互平行的弦AB,CD,其中A,B在双曲线的左支上,A,C在x轴上方,则的最小值为______,当AB的倾斜角为时,四边形的面积为______.
16．已知函数的定义域D为,在上单调递减,且对任意的,,都有,若对任意的,不等式恒成立,则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17．已知多面体ABCDEF中,四边形CDEF是边长为4的正方形,四边形ABCD是直角梯形,,,.
（1）求证:平面平面BCE;
（2）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.
18．为加快推动旅游业复苏,进一步增强居民旅游消费意愿,山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免,全省国有A级旅游景区免首道门票,鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠.本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区,据统计,活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%.某市旅游局从游客中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人)了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度,并按年龄(50周岁及以下和50周岁以上)分类统计得到如下不完整的列联表:
（1）根据统计数据完成以上列联表,并根据小概率值的独立性检验,能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联?
（2）现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况,设其中至少去过两个及以上景区的人数为,若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率.
①求的分布列和数学期望;
②求.
参考公式及数据:,其中.
19．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且.
（1）求的大小;
（2）若的平分线交AB于点D,且,求的取值范围.
20．在如图所示的平面四边形ABCD中,的面积是面积的两倍,又数列满足,当时,,记.
（1）求数列的通项公式;
（2）求证:.
21．已知曲线,直线与曲线E交于y轴右侧不同的两点A,B.
（1）求m的取值范围;
（2）已知点P的坐标为,试问:的内心是否恒在一条定直线上?若是,请求出该直线方程;若不是,请说明理由.
22．已知函数.
（1）若,试判断的单调性,并证明你的结论;
（2）设,求证:.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,又,
所以,得到,
所以,故,故A错误,B正确;
而,,故CD错误.
故选:B.
2．答案：D
解析：由题意可得:,
所以.
故选:D.
3．答案：C
解析：由,可得第25百分位数分别为m和,则;
由,可得第90百分位数分别为和,
则,解得;
故.
故选:C.
4．答案：A
解析：如图所示,区域①和区域③面积相等,故阴影部分的面积即为矩形的面积,可得,
设函数的最小正周期为T,则,
由题意可得:,解得,
故,可得,
即,
可知的图象过点,即,
,则,
,解得.
故选:A.
5．答案：C
解析：记“随机选取4人”为事件,“代表队中既有党员又有民主党派人士”为事件A,“党员甲被选中”为事件B,
则可得,
则,
故在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下,则党员甲被选中的概率为.
故选:C.
6．答案：D
解析：由题意可得:,
若,则,
可得,故.
故选:D.
7．答案：A
解析：连接交于点O,连接OM,
O,M分别为,的中点,则,
且平面,平面,
平面,
则点P到平面的距离相等,设为d,则P,Q两点之间距离的最小值为d,
即点到平面的距离为d,
的中点O在上,则点C到平面的距离为,
由题意可得为,,
由,则,解得,
故P,Q两点之间距离的最小值为.
故选:A.
8．答案：B
解析：,
令,,
令,则,
当时,,所以在上单调递增,
又,所以,
又,所以在上恒成立,
所以,即,即,
令,,
所以,
因为,所以,所以在上单调递减,
所以,即在恒成立,
所以,
令,,
所以,
因为,所以,
故在上单调递减,
所以,即在恒成立,
当时,,
故,即,
综上,
故选:B
9．答案：AC
解析：由题意可得:,且,
对A:当为等差数列时,则,
可得,故,A正确;
对B:若,满足,
则,
故数列的通项公式不可能为,B错误;
对C:当数列满足时,满足,,2,…,2022,
则,
可得,C正确;
对D:当数列满足时,则,
可得,D错误;
故选:AC.
10．答案：BCD
解析：对A:由题意可知:,
故圆锥SO的侧面积为,A错误;
对B:面积,
在中,,故钝角,
由题意可得:,
故当时,面积的最大值为,B正确;
对C:由选项B可得:,为钝角,可得,
由题意可得:圆锥的外接球半径即为的外接圆半径,设其半径为R,
则,即;
故圆锥SO的外接球的表面积为,C正确;
对D:将平面ABC与平面SAC展开为一个平面,如图所示,
当S,E,B三点共线时,取到最小值,
此时,,
在,,则为锐角,
则,
在,则,
由余弦定理可得,
则,故的最小值为,D正确.
故选:BCD.
11．答案：ACD
解析：设直线AB的倾斜角为.,则,即,同理可得.
,根据定义得:,焦点坐标;
选项A:(当且仅当时等号成立)
,
因为,所以故A正确;
选项B:令,转换成抛物线上的点到焦点的距离,故B错误;
选项C:
若直线CD的斜率为,则直线CD的倾斜角为,直线AB的倾斜角为
所以,故C正确;
选项D:
因为AB的斜率为k,,所以,
设,,AB的方程为,
由可得,,
,
与无关,
同理,故即
故D正确;
故选:ACD.
12．答案：ABD
解析：因为,
所以,
所以时,,时,
所以的图像如下图,
选项A,因为,令,由,得到,
由图像知,存在唯一的,使得,所以,
由的图像知,存在唯一,使,
即只有唯一零点,所以选项A正确;
选项B,令,如图,易知与有两个交点,所以方程有两个不相等的根,所以选项B正确;
选项C,因为,令,由,
得到,
当有且只有3个零点时,由的图像知,
方程有两等根,且,或两不等根,,,,或,(舍弃,不满足韦达定理),
所以或即或,所以或,
当时,,满足条件,所以选项C错误;
选项D,当时,由,得到或,由的图像知,当时,有2个解,当时,有2个解,所以选项D正确.
故选:ABD.
13．答案：4,8,12,16(任选一个为答案)
解析：根据二项式定理展开可得,
因为展开式中含有常数项,所以,
由此可得当n为4的倍数时,即可满足题意,又因,故可取4,8,12,16.
故答案为:4,8,12,16(任选一个为答案)
14．答案：
解析：如图所示,由条件可知两动直线,分别过原点O和,且两直线互相垂直.
所以动点P的轨迹为以OE为直径的圆上,,设圆心为D,则
显然当A,P,D三点共线时取得最值,故,即
故答案为:
15．答案：1,
解析：由双曲线可得,,则,,
设直线,,,
联立方程,消去x得:,
则,,,
由题意可得,解得,
根据对称性可知:,
则
,
,则,可得,
,可得,
故的最小值为1;
连接AC,BD,AD,BC,根据题意可知四边形ABDC为平行四边形,且,
则点到直线的距离,
且,
当AB的倾斜角为时,则,即
可得,
故四边形的面积.
故答案为:1;.
16．答案：或
解析：令,有,得,
令,得,则,
令,,有,得,
又函数定义域为关于原点对称,所以是偶函数,
因为在上单调递减,所以在上单调递增.
不等式可化为,
则有,
因为函数在上单调递增,所以,
又,所以,即,
设,则,
因为,故当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以,所以,所以或.
故答案为:或.
17．答案：（1）证明过程见解析
（2）
解析：（1）因为四边形CDEF是边长为4的正方形,
所以,,
因为四边形ABCD是直角梯形,,
所以,,
因为,AD,平面ADE,
所以平面ADE,
因为平面ADE,
所以,
因为,所以,
因为,所以,
由勾股定理得,,
因为,所以,由勾股定理逆定理得⊥,
因为⊥,,DE,平面CDE,
所以⊥平面CDE,
因为平面CDE,所以,
因为,AD,平面ADF,
所以⊥平面ADF,
因为平面BCE,
所以平面平面BCE;
（2）由（1）知,DA,DC,DE两两垂直,故以D为坐标原点,DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
,,,,
设平面BCF的法向量为,则,
解得,令,则,故,
设直线AF与平面BCF所成角的大小为,
则,
故直线AF与平面BCF所成角的正弦值为.
18．答案：（1）补全的列联表见解析;有关;
（2）①分布列见解析;;
②
解析：（1）由题意,抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人,则年龄在50周岁以上的有40人,补全的列联表如下:
则.
所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.
（2）①由题意可得,游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9,
则,X的所有可能取值为0,1,2,3,
,,,,
所以X的分布列如下:
因为,所以数学期望.
②.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）,由正弦定理可得,
则,
可得,
整理得,
注意到,且,则,,且,
可得或,
解得或(舍去),
故
（2）若的平分线交AB于点D,则,
,则,
即,整理得,
则,
当且仅当,即时,等号成立,
故的取值范围为.
20．答案：（1）
（2）证明见详解
解析：（1）如图所示,过A作,垂足为M,过C作,垂足为N,连接AC,交BD于点E,
由题意可得:,则,
且,则,
可得:,
B,E,D三点共线,则,
可得,则,,
整理得:,,即
故数列是以首项,公差为2的等差数列,
则.
（2）由（1）可得:当时,则;
当时,可得,
则;
综上所述:.
21．答案：（1）
（2）的内心恒在一条定直线上,该直线为
解析：（1）设,,
联立方程,消去y得:,
由题意可得,解得,
故m的取值范围为.
（2）内心恒在一条定直线上,该直线为,
,即点在椭圆上,
若直线过点,则,解得,
即直线不过点,故直线AP,BP的斜率存在,
由（1）可得:,
设直线AP,BP的斜率分别为,,则,,
,
即,则的角平分线为,
故的内心恒在直线上.
22．答案：（1）单调性见详解,证明见详解
（2）证明见详解
解析：（1）若,则,,
构建,则的定义域为,,
令,解得;令,解得;
则在上单调递减,在上单调递增,可得,
即对恒成立,
故在上单调递增.
（2）由题意可得:,
则,即,
可得,
故原题意等价于,
构建,则,
构建,则对恒成立,
可得在上单调递增,故,
即,可得,
,,则,
可得,
当,时,则,当且仅当,即时,等号成立;
即对,,均有,
故当,,即,可得,
故,
则在上单调递增,可得.
故,即证.
1
2
3
…
2022
2023
P
…
不满意
满意
总计
50周岁及以下
55
50周岁以上
15
总计
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
不满意
满意
总计
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100
X
0
1
2
3
P