专题13 三角形及全等三角形（共35题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（北京专用）

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1．（2023·北京东城·统考二模）如图，在中，于点，于点和交于点，则下列结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故A、B正确；
由三角形外角的性质可知，故D正确；
题干中并未给出，所以无法得出；故C错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质，熟练掌握垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键．
二、填空题
2．（2022·北京·统考中考真题）如图，在中，平分若则 ．
【答案】1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
3．（2020·北京·统考中考真题）在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）
【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD）
【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．
【详解】解：
要使
则可以添加：∠BAD=∠CAD，
此时利用边角边判定：
或可以添加：
此时利用边边边判定：
故答案为：∠BAD=∠CAD或（）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
4．（2020·北京·统考中考真题）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】=
【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，
由网格图可得个平方单位，
，
故有=．
故答案为：“＝”
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
5．（2019·北京·中考真题）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2.（结果保留一位小数）
【答案】1.9
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为1.9．
【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
6．（2023·北京海淀·清华附中校考一模）如图所示的网格是正方形网格，△ABC是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】锐角
【分析】根据三边的长可作判断．
【详解】解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＞BC2，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为锐角．
【点睛】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a、b、c，①当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；②当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；③当a2+b2＝c2时，△ABC为直角三角形．
7．（2023·北京东城·统考一模）如图，已知，用直尺测量中边上的高约为 （结果保留一位小数）．
【答案】
【分析】直接用刻度尺进行测量即可得到答案．
【详解】解：经过测量可知中边上的高约为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求三角形的高，正确理解三角形高的定义是解题的关键．
8．（2023·北京东城·统考一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则的外角的度数等于 °．
【答案】135
【分析】通过证明可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法以及全等三角形对应角相等，对应边相等．
9．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为
【答案】19cm/19厘米
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，结合△ABD的周长从而得到结论．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD= AB+BD+CD =13cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=13+6=19cm，
故答案为：19cm．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（2023·北京海淀·校考二模）如图，点在直线外，点、、、均在直线上，如果，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】∠A＝∠ B/∠B＝∠A
【分析】根据证明的全等的方法，添加适当的条件即可．
【详解】解：条件是∠A＝∠ B
理由是：∵∠A＝∠ B
∴PA＝PB
在和中，

∴（SAS）
故答案为：∠A＝∠ B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
11．（2023·北京丰台·统考一模）如图，中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D，若点D到的距离为1，则 ．
【答案】
【分析】作，根据角平分线的性质得到，证明，可得，从而可得答案．
【详解】解：过点D作于E，如图所示，
∵点D到的距离为1，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．
12．（2023·北京昌平·统考二模）如图，在中，平分若，则 ．

【答案】1
【分析】作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】如图所示，作交于点F，

∵平分，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
13．（2023·北京平谷·统考一模）如图，在中，，，平分，若，则 ．
【答案】2
【分析】根据题意可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了含的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握同高的三角形，面积比等于底的比．
14．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，若，，则的周长是 ．
【答案】
【分析】根据垂直平分线的性质求出，求出的周长即可．
【详解】解：是的垂直平分线，分别交，于点，
，
，
的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段的垂直平分线性质，根据垂直平分线的性质求出是解答本题的关键．
15．（2023·北京门头沟·二模）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为 ．
【答案】1
【分析】过点E作于点F，根据，的面积为2，即可得，计算得，根据为的角平分线，即可得．
【详解】解：如图所示，过点E作于点F，

∵，的面积为2，
∴，
，
∵为的角平分线，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了角平分线，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．
16．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在中，，平分交于点．若，，则的面积为 ．

【答案】
【分析】如图所示，过点D作于E，先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的性质和定义得到，则，即可得到，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
17．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】或或或（答案不唯一）．
【分析】根据，或添加条件即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
则有边角两个条件，要添加一个条件分三种情况，
（1）根据“”，则可添加：，
（2）根据“”，则可添加：或，
（3）根据“”，则可添加：，
故答案为：或或或（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法．
18．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则 °（点，，是网格线交点）．
【答案】
【分析】取格点Q，连接，根据网格特点，，根据三角形的外角性质得到即可求解．
【详解】解：取格点Q，连接，根据网格特点，，且A、P、Q共线，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质，找到格点Q得到是解答的关键．
19．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）如图，已知等腰三角形，，若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰于点E，则 °．

【答案】30
【分析】在中可求得，在中可求得，可求出．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
20．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考一模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】AB=DE（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理结合图形即可得出结果．
【详解】解：添加条件为AB=DE，
在△ABC与△DEF中，
△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为AB=DE（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
21．（2023·北京海淀·校联考模拟预测）如图，在中，平分，垂足为，，，，则的长是 ．
【答案】
【分析】过D作交于点F，根据角平分线性质得到，求出面积即可得到面积，利用面积公式即可得到答案；
【详解】解：过D作交于点F，
∵平分，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查角平分线性质，解题的关键是作出辅助线得到面积从而得到面积．
22．（2023·北京·校联考一模）.如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC 于点 D，E，再分别以点 D、E 为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若 BG＝1，AC＝4，则△ACG 的面积是 .
【答案】2
【分析】先作GH⊥AC于H，由题意可得BG=GH，再根据面积公式即可得出答案.
【详解】作GH⊥AC于H
根据题意可得AG是∠BAC的角平分线
∴BG=GH=1
∴
故答案为2.
【点睛】本题考查的是角平分线，需要熟练掌握角平分线的做法.
23．（2023·北京·校考模拟预测）如图，，平分交于，若，，则 ．
【答案】6
【分析】延长交于点F，利用可得，，然后在、中，利用勾股定理表示出，得到关于x的一元二次方程，求解后得结论．
【详解】解：如图，延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
24．（2023·北京·校考模拟预测）如图，点P在的平分线上，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ．（只写一个即可，不添加辅助线）
【答案】OA=OB（答案不唯一）
【分析】在△AOP与△BOP中，已有∠POA=∠POB，OP=OP，一边一角对应相等，则再加OA=OB即可由SAS证全三角形全等，答案不唯一，再加一角对应相等也可，如∠OPA=∠OPB或∠OAP=∠OBP．
【详解】解：加OA=OB，
∵OP是的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP与△BOP中，
，
∴（SAS），
故答案为：OA=OB．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定三角形全等的定理有：SSS，SAS，ASA，AAS，熟练掌握这些判定定理是解题的关键．
25．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则 (填“＞”，“＜”或“＝”)．

【答案】＜
【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解．
【详解】解：由题意，
，
，
∴；
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
三、解答题
26．（2021·北京·统考中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在中，______________，是的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向．
【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；
（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）证明：在中，，是的中点，
（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向；
故答案为，等腰三角形的三线合一．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．
27．（2023·北京海淀·统考一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：如图，延长到点D，使得，连接，先证明，得到，进而证明是等边三角形，得到，由此即可证明；
方法二：如图，在线段上取一点D，使得，连接，先求出，进而证明是等边三角形，得到，，进一步证明，得到，即可证明．
【详解】证明：方法一：如图，延长到点D，使得，连接，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即；
方法二：如图，在线段上取一点D，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
28．（2023·北京石景山·统考一模）在证明“等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线有以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：根据“”证明即可得出结论；
方法二：根据“”证明即可得出结论．
【详解】方法一：
平分，
.
，，
，
.
方法二：
D为中点，
.
，，
.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
29．（2023·北京朝阳·统考二模）如图，在中，，点D，E在边上，且．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】先证明，再利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
30．（2023·北京房山·统考一模）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明．
【答案】证明见解析
【分析】三种方法证明，利用全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：方法一：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，；
方法二：∵点为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，；
方法三：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
31．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考二模）下面是证明定理“等腰三角形两底角相等”的三种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：取中点D，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论；
方法二：过A作垂线段，交于D．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论；
方法三：作的角平分线，交于点D．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】解：方法一，
证明：如图，取中点D，连接．则，
∵，，
∴，
∴；
方法二：
证明：如图，过A作垂线段，交于D．
∵，，
∴，
∴；
方法三：
证明：如图，作的角平分线，交于点D．
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
32．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：如图，延长至点，使，连接．先证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，即可求证；方法二：过点作交于．先证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，即可求证．
【详解】证明方法一：如图，延长至点，使，连接．
点为的中点，
，
，，
，
，，
，即，
点为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，且．
方法二：过点作交于．
，，
点为的中点，
，
，
，，
点为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，且．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
33．（2023·北京平谷·统考二模）下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：，，即可得出结论；
方法二：过点C作，由平行线的性质得，，再由，即可得出结论．
【详解】证明：方法一：中，，
∵，
∴；
方法二：过点C作，如图，

∵
∴，，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理或平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理或平行线的性质是解题的关键．
34．（2023·北京·校联考一模）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．
已知在中，，，求证：．
法一：如图1，在上取一点D，使得，连接．
法二：如图2，延长到D，使得，连接．
你选择方法 ．
证明：
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】法一：在上取一点D，使得，连接，推出是等边三角形，再利用等角对等边证明，据此即可证明；
法二：延长到D，使得，连接，推出垂直平分，证明是等边三角形，据此即可证明．
【详解】法一：在上取一点D，使得，连接．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
．
法二：延长到D，使得，连接．
∵，
∴垂直平分．
，
，
是等边三角形
，
即．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
35．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CDON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；
③画射线OQ；
④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；
⑤画射线CD．
射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=________．
∵OC=CD，
∴∠MOD=________．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CDON（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据作图方法要求，依次完成即可；
（2）根据角平分线、等腰三角形的性质及平行线的判定即可证明结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：

（2）证明： ∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=∠NOD．
∵OC=CD，
∴∠MOD=∠CDO．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CD∥ON（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了基本作图及平行线的判定，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质及平行线的判定是解题的关键．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，．
求证：．
方法一
证明：如图，延长到点D，使得，连接．
方法二
证明：如图，在线段上取一点D，使得，连接．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．
已知：如图，在中，，求证：．
法一
证明：如图，做的平分线交于点D．
法二
证明：如图，取的中点D，连接．
等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）．
方法一：
已知：如图，中，，平分．
求证：，．
方法二：
已知：如图，中，，点为中点．
求证：，．
方法三：
已知：如图，中，，．
求证：，
试证明等腰三角形两底角相等．
已知：中，．
求证：．
方法一：
证明：如图，取中点D，连接．
方法二：
证明：如图，过A作垂线段，交于D．
方法三：
证明：如图，作的角平分线，交于点D．
已知：如图，中，、分别是、的中点．
求证：，且．
方法一
证明：如图，延长至点，使，连接．
方法二
证明：如图，过点作交于．
三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，，点是延长线上一点．
求证：．

方法一：利用三角形的内角和定理的方法

证明：
二：构造平行线进行证明行证明

证明：