苏科版八年级下册11.1 反比例函数优秀当堂达标检测题

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1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；
2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.
知识点01：反比例函数的概念
【高频考点精讲】
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
【易错点剖析】
在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
知识点02：反比例函数解析式的确定
【高频考点精讲】
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
知识点03：反比例函数的图象和性质
【高频考点精讲】
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
【易错点剖析】
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
知识点04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
重点考向01：反比例函数的图象
重点考向02：反比例函数图象的对称性
重点考向03：反比例函数的性质
重点考向04：反比例函数系数k的几何意义
重点考向05：反比例函数图象上点的坐标特征
重点考向06：待定系数法求反比例函数解析式
重点考向07：反比例函数与一次函数的交点问题
重点考向08：根据实际问题列反比例函数关系式
重点考向09：反比例函数的应用
重点考向01：反比例函数的图象
【典例精讲】（2023秋•中山市校级期末）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣k（x﹣1）与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】由函数y＝k（x﹣1）知直线必过点（1，0），即可排除B、C，然后根据函数的图象和系数的关系判断即可．
【规范解答】解：由函数y＝﹣k（x﹣1）知直线必过点（1，0），故B、C不合题意；
A、由函数y＝﹣k（x﹣1）的图象可知k＞0，由函数的图象可知k＞0，故A符合题意；
D、由函数y＝﹣k（x﹣1）的图象可知k＞0，由函数的图象可知k＜0，故D不合题意；
故选：A．
【考点评析】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数和反比例函数的图象的性质，掌握一次函数和反比例函数的图象的性质是解题的关键．
【变式训练1-1】（2023•秦淮区二模）若一个数a大于它的倒数，结合和y＝x的图象（如图），可知a的取值范围是 ﹣1＜a＜0或a＞1 ．
【思路点拨】求得函数和y＝x的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得a的取值范围．
【规范解答】解：令＝x，解得x＝±1，
∴函数和y＝x的图象的交点的横坐标为﹣1和1，
由图象可知当﹣1＜x＜0或x＞1时，一次函数y＝x的图象在反比例函数y＝的上方，
∴根据图象可知a的取值范围是﹣1＜a＜0或a＞1．
故答案为：﹣1＜a＜0或a＞1．
【考点评析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
【变式训练1-2】（2023秋•济阳区期末）如图①，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．
（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为（﹣1，0）；点B的坐标为（﹣1，1）．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；
（2）求直线BC，曲线CD的函数表达式；
（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．若矩形MNQP的面积是，则PM＝ ．
【思路点拨】（1）由题意即可如图；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）设点P坐标为（m，m+），得到点Q坐标为（，m+），根据矩形MNQP的面积为，得MN•PM＝，进而求解．
【规范解答】解：（1）由题意，如图如下：
（2）由题意可得B（﹣1，1），C（1，4），D（4，1）．
设直线BC：y＝mx+n．
则有，
解得，
∴直线BC：y＝x+，
设曲线CD：y＝，则k＝xy，
把C（1，4）代入得k＝1×4＝4，
则反比例函数的表达式为：y＝；
（3）如图，设点M的横坐标为m，则点P坐标为（m，m+），
∴MP＝m+，
∵四边形MNQP是矩形，
∴QN＝MP＝m+，
∴点Q坐标为（，m+），
∴MN＝﹣m，
∵矩形MNQP的面积为，
∴MN•PM＝，
∴（﹣m）（m+）＝，
解得m＝，
∴PM＝m+＝．
故答案为：．
【考点评析】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、矩形的性质、图形的面积等，有一定的综合性，难度不大．
【变式训练1-3】（2023春•长治期末）探究函数图象与性质
勇毅班同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是勤奋小组同学记录的探究过程，请你补充完整．
（1）函数的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）列出y与x的对应值，请直接写出a、b的值：a＝ ﹣2 ，b＝ ；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各对对应值，并画出图象；
（4）请写出函数的一条性质．
【思路点拨】（1）由分式的意义即可得出结论；
（2）令y＝，解方程求出x得值即为a；把x＝3代入求出y即可；
（3）用描点法画出函数图象；
（4）根据函数的图象得出性质（答案不唯一）．
【规范解答】解：（1）∵y＝，
∴要使函数解析式有意义，必需分母不为0，
∴自变量x的取值范围是x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）当y＝时，则＝，
解得x＝﹣2，
即a＝﹣2；
当x＝3时y＝＝，
即b＝
故答案为：﹣2，；
（3）如图所示：
．
（4）由图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）．
【考点评析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象确定性质是解题关键．
重点考向02：反比例函数图象的对称性
【典例精讲】（2021秋•新田县期末）边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．2B．4C．8D．6
【思路点拨】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半．
【规范解答】解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．
∵正方形的对称中心是坐标原点O，
∴四图小正方形全等，每图小正方形的面积＝×4×4＝4，
∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，
∴阴影部分的面积＝4×2＝8．
故选：C．
【考点评析】本题考查的是关于x轴对称的反比例函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答．
【变式训练2-1】．（2015秋•长清区期中）如果函数y＝4x与y＝的图象的一个交点坐标为（，2），那么另一个交点的坐标为 （﹣，﹣2） ．
【思路点拨】反比例函数和一次函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【规范解答】解：∵两函数图象关于原点对称，
∴两函数图象交点关于原点对称，
∴（，2）的对称点为（﹣，﹣2）．
故答案为（﹣，﹣2）．
【考点评析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．
【变式训练2-2】（2022秋•桂阳县校级月考）边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积之和是 8 ．
【思路点拨】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴及正方形各边所围成的图形对应全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半．
【规范解答】解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于原点成中心对称．
∵正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，
∴四个小正方形全等，
反比例函数的图象与两坐标轴及正方形各边所围成的图形对应全等，
∴阴影部分的面积＝S▱ABCD＝×16＝8．
故答案为：8．
【考点评析】本题考查的是关于x轴对称的反比例函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答．
【变式训练2-3】（2022秋•天河区校级期末）如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另一个交点坐标是 （﹣2，1） ．
【思路点拨】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【规范解答】解：由图象可知：直线y＝k1x经过原点与双曲线y＝相交于两点，
又由于双曲线y＝与直线y＝mx均关于原点对称．
则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（2，﹣1），
则另一个交点的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【考点评析】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
重点考向03：反比例函数的性质
【典例精讲】（2023秋•滨城区期末）已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交
D．图象必经过点
【思路点拨】根据反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征判断即可．
【规范解答】解：∵y＝﹣，k＝﹣6＜0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A、B不符合题意；
当x＝时，则y＝﹣4，
∴函数图象经过点（，﹣4），图象不可能与坐标轴相交，故选项D不符合题意，选项C符合题意；
故选：C．
【考点评析】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
【变式训练3-1】（2023秋•遵义期末）初中阶段学习函数的方法：通过“列表、描点、连线”的方法画函数图象，根据图象研究性质，用性质解决问题．现用该方法研究函数，已列表如下，解答下列问题．
（1）根据表中数据求中b，c的值，并在图中画出函数在直线x＝1右侧的大致图象；
（2）根据函数图象，直接写出y＜1时自变量x的取值范围；
（3）设方程＝|x﹣1|﹣2的根为x1，x2，⋯，xn，写出x1+x2+⋯+xn的值并简要说明理由．
【思路点拨】（1）当x＝0时，y＝﹣，即﹣＝，解得c＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣，即﹣＝，解得b＝﹣2，画出图象即可；
（2）函数y＝＝，函数图象的对称轴为直线x＝1，当y＝1时，＝1，即（x﹣1）2＝5，解得x＝1，根据图像可知，y＜1时自变量x的取值范围是1﹣＜x＜﹣1或3；
（3）函数y＝|x﹣1|﹣2的图象关于直线x＝1对称，所以方程＝|x﹣1|﹣2的根也关于直线x＝1对称，有图像可知总共有4个根，关于x＝1对称的两根设为x1、x2，假设x1在左，x2在右，则有1﹣x1＝x2﹣1，即x1+x2＝2，所以对称的两根和为2，看作根的个数，所以方程＝|x﹣1|﹣2的根的和为4．
【规范解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣，即﹣＝，解得c＝﹣3，
当x＝1时，y＝﹣，即﹣＝，解得b＝﹣2，
∴中b，c的值分别是﹣2，﹣3；
函数y＝在直线x＝1右侧的大致图象如下图：
（2）函数y＝＝，函数图象的对称轴为直线x＝1，
当y＝1时，＝1，即（x﹣1）2＝5，解得x＝1，
根据图像可知，y＜1时自变量x的取值范围是1﹣＜x＜﹣1或3；
（3）∵函数y＝|x﹣1|﹣2的图象关于直线x＝1对称，
∴方程＝|x﹣1|﹣2的根也关于直线x＝1对称，
有图像可知总共有4个根，关于x＝1对称的两根设为x1、x2，假设x1在左，x2在右，
则有1﹣x1＝x2﹣1，即x1+x2＝2，
∴对称的两根和为2，看作根的个数，
∴方程＝|x﹣1|﹣2的根的和为4．
【考点评析】本题考查了反比例函数的探究型问题，数形结合是解答本题的关键．
【变式训练3-2】（2023春•沙坪坝区校级月考）数学爱好者小鸣同学对函数知识十分感兴趣，根据学习函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行探究，已知该函数的图象经过点（﹣1，3），（5，1）两点．请解决以下问题：
（1）填空：a＝ ﹣3 ，b＝ ；
（2）将表中的空格补充完整，并在平面直角坐标系中描出表格中各点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有： ② ．
①当x≤﹣1时，y随x的增大而减小；
②当x＝﹣1时，此时函数有最大值，最大值为3；
③当1＜y＜3时，自变量x的取值范围为﹣3＜x＜5；
④直线y＝m与此函数有两个交点，则0≤m＜3．
【思路点拨】（1）将（﹣1，3）代入可得a的值，将（5，1）代入可得b的值；
（2）将x的值代入对应的解析式，求出y值，再描点连线即可画出函数图象；
（3）根据（2）中所画图象逐项判断即可．
【规范解答】解：（1）将（﹣1，3）代入，可得，解得a＝﹣3；
将（5，1）代入，可得，解得；
故答案为：﹣3，；
（2）由（1）知，
当x＝﹣3时，，
当x＝﹣2时，，
补全后的表格如下：
函数图象如下：
故答案为：1，；
（3）由图可知，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
故①错误；
当x＝﹣1时，此时函数有最大值，最大值为3，
故②正确；
当1＜y＜3且x≠﹣1时，自变量x的取值范围为﹣3＜x＜5，
故③错误；
直线y＝m与此函数有两个交点时，则0＜m＜3，
故④错误；
综上可知，正确的有②，
故答案为：②．
【考点评析】本题考查分段函数，一次函数、反比例函数、描点法画函数图象等知识点，画出函数图象，利用图象解决问题是解题的关键．
【变式训练3-3】（2023秋•岑溪市期末）已知反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＜1 ．
【思路点拨】由反比例函数的性质，可得1﹣k＞0，解得即可．
【规范解答】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1﹣k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【考点评析】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
重点考向04：反比例函数系数k的几何意义
【典例精讲】（2023秋•开平市期末）如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．6
【思路点拨】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【规范解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴，
∴S△POB＝2﹣1＝1．
故选：C．
【考点评析】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
【变式训练4-1】（2023•惠东县校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 4 ．
【思路点拨】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．
【规范解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，
解得：k＝4，
因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形ODPC的面积等于4，
故答案为：4
【考点评析】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．
【变式训练4-2】（2016春•长春校级期末）如图，点A（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上的一点，点P是x轴负半轴上的一动点，AC⊥y轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AP交y轴于点B．
（1）△PAC的面积是 4 ；
（2）当a＝2，点P的坐标为（﹣2，0）时，求△ACB的面积．
【思路点拨】（1）由点A（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上，得到ab＝8，根据反比例函数系数k的几何意义，就看得到△PAC的面积＝AD•AC＝ab＝4；
（2）先求出直线AP的解析式为y＝x+2，得到B（0，2），即可求出S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．
【规范解答】解：（1）∵点A（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上，
∴ab＝8，
∵AC⊥y轴于C点，AD⊥x轴于D点，
∴AC＝a，AD＝b，
∴△PAC的面积＝AD•AC＝ab＝4；
故答案为：4；
（2）∵a＝2，
∴b＝4，
∴AC＝2，AD＝4，A（2，4），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AP的解析式为y＝x+2，
∴B（0，2），
∴S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．
【考点评析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确理解k的几何意义是解题的关键．
【变式训练4-3】．（2023•湘潭模拟）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y＝的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
【思路点拨】（1）直接将D点坐标代入函数解析式得出答案；
（2）首先求出E点坐标，进而得出△BDE的面积，进而得出答案．
【规范解答】解：（1）把D（1，4）代入y＝得，k＝1×4＝4；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴D（1，4）是BC中点，
∴BC＝2CD＝2，
∴B点坐标为：（2，4），
∵k＝4，
∴y＝，
把x＝2代入y＝得y＝＝2，
∴E（2，2），
∴BE＝2，
∴S△EBD＝×2×1＝1，
∴S＝2×4﹣1＝7，
∴五边形OAEDC的面积为：7．
【考点评析】此题主要考查了矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确得出E点坐标是解题关键．
重点考向05：反比例函数图象上点的坐标特征
【典例精讲】（2024•新华区校级开学）已知点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1≤y2
【思路点拨】根据在同一象限内，y随x的增大而减小可判断出y1、y2的大小关系．
【规范解答】解：k＞0，
∴图象的分支在第一、三象限，
在同一象限内，y随x的增大而减小，﹣3＜﹣1＜0，
∴y1＜y2．
故选：A．
【考点评析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：k＞0，图象的分支在第一、三象限，在第三象限的函数值总小于在第一象限的函数值；在同一象限内，y随x的增大而减小．
【变式训练5-1】（2024•碑林区校级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于原点O，已知点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，若BD＝2AC，则k＝ ﹣1 ．
【思路点拨】过点B作BE⊥x轴，过点A作AF⊥x轴，证明△BEO～△AFO，推导出＝，再利用面积比结合k的几何意义，计算出k的值．
【规范解答】解：过点B作BE⊥x轴，过点A作AF⊥x轴，如图：
∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于原点O，
∴OB⊥OA，∠AOB＝90°，
∵∠AOF+∠FAO＝90°，∠AOF+∠BOE＝90°，
∴∠FAO＝∠BOE，
∴△BEO～△AFO，
又∵BD＝2AC，
∴＝，
∴＝，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴|xy|＝4，
∴S△BOE＝|xy|＝2，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴|xy|＝|k|，
∴S△AOF＝|k|，
∴＝＝，
∴|k|＝1，
∴k＝1（舍）或k＝﹣1，
故答案为：k＝﹣1．
【考点评析】本题考查的是反比例函数的图形和性质，重点是要掌握反比例函数k的几何意义，同时需要熟练运用相似三角形面积与相似比之间的关系．
【变式训练5-2】（2023秋•潜山市期末）如图，平面直角坐标系中有一Rt△ABC，∠ACB＝90°，点A坐标为（﹣1，0），∠CAO＝45°，边BC与y轴交于点D，且BD＝2CD，反比例函数y＝（x＞0）与y＝的图象分别经过点C和点B，则k＝ ﹣36 ．
【思路点拨】过点C作y轴的垂线，根据∠CAO＝45°，可得出等腰直角三角形，进而求出点C的坐标，再过点B作y轴的垂线，利用相似三角形求出点B的坐标即可．
【规范解答】解：过点C作y轴的垂线，垂足为M，过点B作y轴的垂线，垂足为N，记AC与y轴的交点为E，
令点C坐标为（m，），
则CM＝m．
因为∠CAO＝45°，
所以∠MCE＝45°，
则ME＝CM＝m．
又因为△AOE是等腰直角三角形，且AO＝1，
所以EO＝AO＝1，
所以MO＝m+1，
则m+1＝，
解得m1＝2，m2＝﹣3（舍去）．
则，
所以点C的坐标为（2，3）．
因为∠ACB＝90°，
所以∠DCM＝90°﹣45°＝45°，
则△CDM为等腰直角三角形，
所以DM＝CM＝2．
因为∠BND＝∠CMD＝90°，∠NDB＝∠MDC，
所以△DNB∽△DMC，
所以，
又因为BD＝2CD，
所以BN＝4，DN＝4，
所以NO＝4+5＝9，
则点B的坐标为（﹣4，9）．
又因为点B在y＝的图象上，
所以k＝﹣4×9＝﹣36．
故答案为：﹣36．
【考点评析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【变式训练5-3】（2023秋•枣庄期末）在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（2，4）．将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．
（1）求直线AB的表达式，并直接写出点C的坐标；
（2）将线段AC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点分别为A'，C'，若A'，C'都在函数的图象上，求m和k的值．
【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，利用全等三角形的性质证明AE＝DB＝4，CE＝AD＝2，即可求得点C的坐标．
（2）表示出相应的平移后相应的A'，C'坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【规范解答】解：（1）如图，BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E．
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
代入A（4，0），B（2，4）得，
解得，
∴直线AB为y＝﹣2x+8，
∵A（4，0），B（2，4），
∴OA＝4，OD＝2，BD＝4，
∴AD＝OA﹣OD＝2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE＝DB＝4，CE＝AD＝2，
∴OE＝OA+AE＝4+4＝8，
∴C（8，2）；
（2）∵点A（4，0），C（8，2），
将线段AC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点分别为A'，C'，
∴A′（4，﹣m），C（8，2﹣m），
∵A'，C'都在函数的图象上，
∴k＝4×（﹣m）＝8×（2﹣m），
∴m＝4，
∴k＝4×（﹣4）＝﹣16．
故m的值为4，k的值为﹣16．
【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，反比例函数图象上点的坐标特征；求出点C的坐标是解题的关键．
重点考向06：待定系数法求反比例函数解析式
【典例精讲】（2023•祥云县模拟）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则反比例函数的解析式是 y＝﹣ ．
【思路点拨】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值即可．
【规范解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝3，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6,
∴．
故答案为：y＝﹣
【考点评析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积|k|，且保持不变．
【变式训练6-1】（2023秋•舒城县期末）已知y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x+3成反比例，当x＝0 时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝2；求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【思路点拨】根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1﹣y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式．
【规范解答】解：根据题意设y1＝kx，y2＝，即y＝y1﹣y2＝kx﹣，
将x＝0时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝2分别代入得：，
解得：k＝1，b＝6，
则y＝x﹣，x≠﹣3．
【考点评析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式训练6-2】（2023秋•太平区期末）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
【思路点拨】（1）设反比例函数的解析式为y＝，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON，求出答案即可；
（3）设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），求出EF＝﹣m+7﹣，得出关于m的方程，求出m即可．
【规范解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
将B（6，1）的坐标代入y＝，得k＝6．
∴反比例函数的解析式为y＝．
将A（m，6）的坐标代入y＝，得m＝1．
（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得：
，
解得：，
故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
∴M（0，7），N（7，0），
∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝OM×ON﹣OM×|xA|﹣ON×|yB|
＝×7×7﹣×7×1﹣×7×1
＝．
（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，），
∴EF＝﹣m+7﹣．
∵EF＝AD，
∴﹣m+7﹣＝×6．
解得m1＝2，m2＝3，
经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，
∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．
【考点评析】本题考查了用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，正确得出直线AB的解析式是解题关键．
【变式训练6-3】（2023•常州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）求出C点的坐标，即可求出函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质求出即可；
（3）根据面积求出P点的纵坐标，再代入函数解析式求出横坐标即可．
【规范解答】解：（1）
过C作CE⊥x轴于E，则∠CEB＝90°，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴CO＝2，∠COE＝45°，
∴CE＝OE＝＝2，
即k＝﹣2×（﹣2）＝4，
所以反比例函数的解析式是y＝；
（2）把y＝﹣2代入y＝得：x＝﹣2，
所以当函数值y＞﹣2时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞0；
（3）设P点的纵坐标为a，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴由勾股定理得：OB＝＝4，
∵△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，
∴×4×|a|＝2，
解得：a＝±4，
即P点的纵坐标是4或﹣4，
代入y＝得：x＝1或﹣1，
即P点的坐标是（1，4）或（﹣1，﹣4）．
【考点评析】本题考查了正方形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
重点考向07：反比例函数与一次函数的交点问题
【典例精讲】（2024•大渡口区模拟）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G，若DE•EG＝，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：，解得，得到直线EF解析式y＝﹣+3m+3，令x＝0，y＝3m+3，D（0，3m+3），由勾股定理可得DE＝5m和EG＝5，代入DE•EG＝可计算出m值，继而k值可得．
【规范解答】解：设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），
设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：
，解得，
∴y＝﹣+3m+3，
令x＝0，y＝3m+3，
∴D（0，3m+3），
作EM⊥x轴，垂足为M，则OM＝AE＝4m，EM＝3，
在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，
∴DE＝5m，
在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，
∴EG＝5，
∴DE•EG＝5m×5＝25m＝，
∴m＝，
∴k＝12m＝12×＝1．
故选：A．
【考点评析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式以及巧设k＝12m是解答本题的关键．
【变式训练7-1】（2023秋•曲阜市期末）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式的解集是 ﹣1＜x＜0或x＞2 ．
【思路点拨】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可求解．
【规范解答】解：由题意得，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集是﹣1＜x＜0或x＞2．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．
【考点评析】此题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题，利用函数图象求不等式的解集，正确理解一次函数与反比例函数图象是解题的关键．
【变式训练7-2】（2024•碑林区校级一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．
（1）如表是y与x的几组对应值．
直接写出m的值，m＝ ；
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为 （1，0） ；
（4）若直线y＝2x与函数的图象交于第一象限内一点P（x，y），则下面关于x的取值范围描述正确的是 C ．
A.1＜x＜1.25
＜x＜1.5
C.1.5＜x＜1.75
＜x＜2
【思路点拨】（1）①将x＝4代入即得m的值；
（2）描点、连线即可；
（3）根据图象即可求解；
（4）求得y＝3时，函数y＝2x和函数y＝的x的值，结合图象即可判断．
【规范解答】解：（1）①x＝4时，y＝＝，
∴m＝，
故答案为：；
（2）如图：
；
（3）观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（4）作出直线y＝2x如图：
把y＝3代入y＝2x求得x＝1.5，
把y＝3代入，求得x＝，
观察图象，若直线y＝2x与函数的图象交于第一象限内一点P（x，y），则x的取值范围是1.5＜x＜，
∴下面关于x的取值范围描述正确的是C，
故答案为：C．
【考点评析】本题考查了反比例函数与右侧函数的交点，函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．
【变式训练7-3】（2023秋•邹平市期末）如图，直线与x轴交于点A，与双曲线交于点B，作CA⊥AB于点A，交双曲线于点C，连接BC．若AC＝2AB，求k的值．
【思路点拨】作CE⊥x轴，垂足为E，作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（m，n），则BD＝n，OD＝m，AD＝m﹣4，证明△ADB∽△CEA，利用相似性质得C（4﹣2n，2m﹣8），由点B，点C在双曲线y＝ （x＞0）上得出k＝mn＝（4﹣2n）（2m﹣8），再由一次函数y＝x﹣2的图象经过点B得m＝2n+4，求出n后可得k．
【规范解答】解：如图，作CE⊥x轴，垂足为E，作BD⊥x轴，垂足为D，
设点B的坐标为（m，n），则BD＝n，OD＝m，AD＝m﹣4，
在直线中，令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），
∵∠CEA＝∠ADB＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠BAD．
∴∠ADB＝∠CEA，
∴△ADB∽△CEA，
∴，
∴CE＝2m﹣8，AE＝2n，OE＝OA﹣AE＝4﹣2n，
∴C（4﹣2n，2m﹣8），
∵点B，点C在双曲线y＝ （x＞0）上，
∴k＝mn＝（4﹣2n）（2m﹣8），
∵一次函数y＝x﹣2的图象经过点B，
∴n＝m﹣2，
∴m＝2n+4，
∴（2n+4）n＝（4﹣2n）[2（2n+4）﹣8]，
即：10n2﹣12n＝0，
解得：n＝0（舍去，不符合题意）或n＝，
当n＝，则m＝，
∴k＝mn＝．
【考点评析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
重点考向08：根据实际问题列反比例函数关系式
【典例精讲】（2022秋•丛台区校级期末）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
则y关于x的函数关系式是 y＝ ．
【思路点拨】根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，设y关于x的函数关系式是y＝，再代入一对x、y的值可得k的值，进而可得答案．
【规范解答】解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y＝，
∵y＝400，x＝0.25，
∴400＝，
解得：k＝100，
∴y关于x的函数关系式是y＝．
故答案为：y＝．
【考点评析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握反比例函数形如y＝（k≠0）．
【变式训练8-1】（2023•城阳区校级一模）上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观．京沪线铁路全程为1463km，某次列车的全程运行时间t（单位：h）与此次列车的平均速度v（单位：km/h）的函数关系式是 t＝ ．（不要求写出自变量v的取值范围）
【思路点拨】由题意，有全程除以平均速度等于全程所用时间．列式求解．
【规范解答】解：由题意，有全程除以平均速度等于全程所用时间．
即：
故答案为：．
【考点评析】本题考查了路程与平均速度之间的关系式，本题很简单的逻辑关系．
【变式训练8-2】（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
【思路点拨】（1）根据题意列出函数表达式；
（2）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值；
（3）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值，再和实际情况比较即可．
【规范解答】解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v＝；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则≤80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，
≤100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
【考点评析】本题考查了列函数表达式，根据函数关系式求自变量的范围，反比例函数的应用，列出表达式是解题的关键．
【变式训练8-3】（2022春•衡阳县期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
【思路点拨】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝30，进而可得出y＝，再结合墙长为6m，即可得出x≥5；
（2）由x，y均为整数，x≥5，且y＝，可得出x的可能值，结合2x+y≤20，可得出x可以为5，6，进而可得出各围建方案．
【规范解答】解：（1）依题意得：xy＝30，
∴y＝．
又∵墙长为6m，
∴≤6，
∴x≥5．
∴y关于x的函数表达式为y＝（x≥5）．
（2）∵x，y均为整数，x≥5，且y＝，
∴x可以为5，6，10，15，30．
又∵2x+y≤20，即2x+≤20，
∴x可以为5，6，
∴共有2种围建方案，
方案1：AB的长为5m，BC的长为6m；
方案2：AB的长为6m，BC的长为5m．
【考点评析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及不等式的解集，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据x，y均为整数及x≥5，找出x，y的值．
重点考向09：反比例函数的应用
【典例精讲】（2023秋•河北期末）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度 ρ（kg/m3） 与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【思路点拨】根据题意可知 ρV的值即为该气体的质量，再根据图象即可确定丙气体的质量最多，甲气体的质量人数最少，乙、丁两气体的质量相同．
【规范解答】解：根据题意，ρV的值即为该气体的质量，
∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两该气体的质量相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小．
故选：A．
【考点评析】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
【变式训练9-1】．（2024•利辛县开学）某种型号的蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，已知当I＝3A时，R＝4Ω．
（1）求出I与R的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）某次使用这种蓄电池时，电路中电阻R＝6Ω，求此时电路中电流的大小．
【思路点拨】（1）设该反比函数解析式为，根据当 R＝4时，I＝3，可得该反比函数解析式为，
（2）把R＝6代入，即可求解．
【规范解答】解：（1）设，
把I＝3，R＝4代入，
得，，
解得，k＝12，
∴；
（2）解：当R＝6时，
，
答：所求电路中电流为2A．
【考点评析】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键．
【变式训练9-2】（2023秋•石家庄期末）生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中BC段可以看成是反比例函数图象的一段，OD为水面，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，每节梯子高0.6米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且CD⊥x轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求出口C点到BE的距离CF的长；
（3）若滑梯BC上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到BE的距离至少是多少米？
【思路点拨】（1）根据矩形的性质得到BE＝OA＝6，AB＝1，求得B（1，6），将B点代入反比例函数y＝，得到k＝6，于是得到结论；
（2）根据题意写出点C的纵坐标，然后代入（1）中解析式求出y即可；
（3）令y≤3，解出x的取值范围即可．
【规范解答】解：（1）∵四边形AOEB是矩形，
∴BE＝OA＝0.6×10＝6（米），AB＝1米，
∴B（1，6），
将B点代入反比例函数y＝，得：6＝，
∴k＝6，
∴BC段所在的反比例函数关系式是y＝；
（2）∵点C的纵坐标为0.6×2＝1.2，
∴当y＝1.2时，1.2＝，
解得：x＝5，
∴CF长为5﹣1＝4（米）；
（3）∵Q的高度不高于3米，即y≤3，
∴≤3，
解得x≥2，
∴x﹣1≥1，
∴Q到BE的距离至少1米．
【考点评析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
【变式训练9-3】（2023春•东台市期中）如图，长10m，宽5m，深4m的长方体水池被隔成底面分别是3m×5m和7m×5m的甲，乙两池（设隔墙厚度忽略不计），两池隔墙下方有阀门相连．
（1）当两池间的阀门关闭时，设进水管每小时注入甲池放得水量是a立方米，注满甲池的时间为t1h，t1与a之间的函数关系式是 t1＝ ；
（2）注满甲池后，进水管自动关闭，同时两池间的阀门开启，设甲池的水每小时流入乙池的水量也是a立方米，t2h后水流停止，t2与a之间的函数关系式是 t2＝ ；
（3）如果要在15h内能依次完成第（1），（2）题中所述的过程，那么进水管和两池间的阀门每小时至少要通过多少水量？
【思路点拨】（1）求得甲池的总水量，再根据总水量等于注满水的时间乘以注水速度可求解；
（2）先求得甲池和乙池水面齐平时的水的深度，进而求得流入乙池的总水量，进而可求解；
（3）根据题意得t1+t2＝15，即+＝15，解方程即可求解．
【规范解答】解：（1）根据题意，得3×4×5＝t1a，
解得t1＝，
故答案为：t1＝；
（2）根据题意，当甲池和乙池水面齐平时水流停止，这时水深度为＝1.2（m），
则乙池总水量为1.2×5×7＝42（m3），
由at2＝42，得t2＝，
故答案为：t2＝；
（3）由题意得t1+t2＝15，即+＝15，
解得a＝6.8，
经检验，a＝6.8是所列方程的解，
答：进水管和两池间的阀门每小时至少要通过6.8m3水量．
【考点评析】本题考查求反比例函数的实际应用、分式方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键

正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
x
…
﹣4
﹣3
a
﹣1
0
2
3
4
…
y
…
0
2
b
…
x
…
﹣2
0
1
2
4
…
y
…
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
1

3
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
1

3
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
2
1
m
…
y（单位：度）
100
200
400
500
…
x（单位：米）
1.00
0.50
0.25
0.20
…