初中苏科版12.1 二次根式导学案

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1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
知识点01：二次根式的相关概念和性质
【高频考点精讲】
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易错点剖析】
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
【易错点剖析】
（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
【易错点剖析】
判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点02：二次根式的运算
【高频考点精讲】
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
【易错点剖析】
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【易错点剖析】
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
知识点03：二次根式的相关概念和性质
【高频考点精讲】
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易错点剖析】
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
【易错点剖析】
（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
【易错点剖析】
最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
【易错点剖析】
判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点04：二次根式的运算
【高频考点精讲】
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
【易错点剖析】
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【易错点剖析】
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•李沧区期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）（2023秋•船山区期末）下列各式中，化简后能与合并的二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）（2023秋•雨花区期末）下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）（2023秋•仁寿县期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3B．x≥﹣3C．x≥3D．x≥0
5．（2分）（2023春•烟台期末）在下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）（2023春•绥中县期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）（2023春•巴楚县期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）（2023春•孝义市期中）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥0B．a＜2C．a≥2D．a≤2
9．（2分）（2023春•余干县期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2分）（2023春•雄县期中）能与相乘得1的是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•姑苏区期末）计算：＝ ．
12．（2分）（2023秋•碑林区校级期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：＝ ．
13．（2分）（2023秋•岳阳楼区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2分）（2023秋•碑林区校级期末）已知，则的值为 ．
15．（2分）（2023秋•简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
16．（2分）（2023秋•安化县期末）已知，，则m2﹣mn+n2的值为 ．
17．（2分）（2023春•璧山区校级期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点，如图所示，化简＝ ．
18．（2分）（2023春•雨山区校级期末）如果，其中a、b为有理数，那么a+b等于 ．
19．（2分）（2021春•永嘉县校级期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ ．
20．（2分）（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•鄞州区校级期末）计算、解不等式组：
（1）； （2），解不等式组．
22．（6分）（2022秋•汉寿县期末）设，．
（1）求a﹣b，ab的值；
（2）求a2+b2﹣5ab的值．
23．（8分）（2023春•铁西区期中）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式＝2+2+1﹣4…第一步
＝…第二步
＝3…第三步
任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，
这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
24．（8分）（2023秋•农安县期中）阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
（1）请用不同的方法分母有理化：；
（2）化简：．
25．（8分）（2023春•南昌期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3：＝
特例4： ．（填写一个符合上述运算特征的例子）；
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简：×＝ ．
26．（8分）（2023春•香洲区校级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的整数部分是 ，的小数部分是 ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求的值．
27．（8分）（2022秋•吉安县期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，
∴＝＝＝2+
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
28．（8分）（2023春•新会区校级期末）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简．
（2）若．求：
①求3a2﹣6a+1的值．
②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝ ；＝ ．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：