2023-2024学年黑龙江省哈尔滨实验中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨实验中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x2+4x≤0}，B={x|lnx<0}，则A∪B=( )
A. [−4,1)B. (0,1]C. (−4,1)D. (−1,4)
2.命题“∃x<0，使x2−3x+1≥0”的否定是( )
A. ∃x<0，使x2−3x+1<0B. ∃x≥0，使x2−3x+1<0
C. ∀x<0，使x2−3x+1<0D. ∀x≥0，使x2−3x+1<0
3.“3x>1”是“1x>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.设a=lg23，b=lg30.3，c=3−0.2，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>c>bB. c>a>bC. b>c>aD. a>b>c
5.若正实数x，y满足2x+y+xy−6=0，则2x+y的最小值为( )
A. 4( 5+1)B. 4( 5−1)C. 12D. 4
6.下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )
①y=3x3−2x+5；
②y=−x+1,x≥0,x+1,x<0;
③y=2x+1；
④y=x3−2x+3；
⑤y=12x2+4x+8．
A. ①②③B. ⑤C. ①⑤D. ①④
7.若幂函数f(x)=(a2−a−1)xa在(0,+∞)上单调递增，则函数g(x)=bx−a+1(b>0且b≠1)过定点( )
A. (−2,2)B. (2,1)C. (−1,1)D. (2,2)
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若∀x1、x2∈[0,+∞)且x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>2(x1+x2)恒成立，且f(2)=8，则满足f(m2+m)≤2(m2+m)2的实数m的取值范围为( )
A. [−2,1]B. [0,1]C. [0,2]D. [−2,2]
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
A. cs215°−sin215°= 32B. sinπ8csπ8= 22
C. 12sin40°+ 32cs40°=sin70°D. 1−2sin215°= 32
10.已知函数f(x)=x2−kx+10,x≤1k−1x,x>1是R上的减函数，则实数k的可能的取值有( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
11.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω≤2,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的为( )
A. f(x)的最小正周期是π
B. f(x)的图象关于点(7π12,0)对称
C. 将函数f(x)的图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(x)是奇函数
D. f(x)在[π3,2π3]上单调递减
12.函数f(x)=x+1,x≤0lg2x,x>0，函数g(x)=−f2(x)+2f(x)−m，则函数g(x)的零点个数可能为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.2723+2lg25−lg52−2lg2= ______．
14.若函数f(x)的定义域是[2,5]，则函数y=f(2x−3) x2−2x−3的定义域是______．
15.已知sin(x+π6)=13，则sin(5π6−x)+2cs2(x−π3)的值是______．
16.若方程cs2x+sinx−a=0在x∈[π6,2π3]有解，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知f(x)=ax2−2ax−3(a∈R)．
(1)若不等式ax2−2ax−3<0的解集是{x|−1(2)若不等式f(x)18.(本小题12分)
已知cs(α+π3)=3 314，tan(α+β)=5 311，α∈(0,π2)，β∈(0,π2)．
(1)求tan(α+π3)的值；
(2)求β的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x．
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)设h(x)=2g(2x)−4mf(x)−4，p(x)=2x−12x+1，对∀x1∈R，∃x2∈[1,+∞)，使得p(x1)=h(x2)，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为A={x|x2+4x≤0}={x|(x+4)x≤0}={x|−4≤x≤0}，
B={x|lnx<0}={x|lnx所以A∪B={x|−4≤x<1}=[−4,1)．
故选：A．
由题知A={x|−4≤x≤0}，B={x|0本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x<0，使x2−3x+1≥0”的否定是：∀x<0，使x2−3x+1<0．
故选：C．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
3.【答案】B
【解析】解：因为3x>1，所以x>0，
因为1x>1，所以0因为{x|00}，
故“3x>1”是“1x>1”的必要不充分条件．
故选：B．
首先解指数不等式和分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为lg23>lg22=1，所以a>1，
因为lg30.3因为0<3−0.2<30，所以0所以a>c>b．
故选：A．
以0和1为中间值，结合指数及对数函数的单调性比较即可．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵正实数x，y满足2x+y+xy−6=0，
∴6−(2x+y)=xy=12×2xy≤12(2x+y2)2，当且仅当2x=y时取等号，
∴(2x+y)2+8(2x+y)−48≥0，
∴(2x+y+12)(2x+y−4)≥0，
∴2x+y−4≥0，
即2x+y≥4，
故选：D．
根据基本不等式可得6−(2x+y)=xy≤12(2x+y2)2，解得即可求出2x+y的最小值．
本题考查了基本不等式和不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析5个函数，
①y=3x3−2x+5，f(−2)=−15<0，f(−1)=4>0，在区间[−2,−1]上，函数图象连续且有f(−2)f(−1)<0，可以用二分法求零点近似值；
②y=−x+1,x≥0,x+1,x<0;f(0)=1>0，f(2)=−1<0，在区间[0,2]上，函数图象连续且f(0)f(2)<0，可以用二分法求零点近似值；
③y=2x+1，f(−3)=13<0，f(−1)=1>0，在区间[−3,−1]上，函数图象连续且f(−3)f(−1)<0，可以用二分法求零点近似值；
④y=x3−2x+3，f(−2)=−1<0，f(−1)=4>0，在区间[−2,−1]上，函数图象连续且有f(−2)f(−1)<0，可以用二分法求零点近似值；
⑤y=12x2+4x+8，有y=12(x+4)2，存在零点x=−4，但不能用二分法求出，
故选：B．
根据题意，依次分析所给的5个函数，综合可得答案．
本题考查函数零点的判断，涉及二分法的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为幂函数f(x)=(a2−a−1)xa在(0,+∞)上单调递增，
所以a>0a2−a−1=1，
解得a=2，
所以函数g(x)=bx−2+1的图象过定点(2,2)．
故选：D．
根据幂函数的图象与性质求出a的值，再求出指数函数图象恒过定点问题．
本题考查了幂函数与指数函数应用问题，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设x1>x2，则f(x1)−f(x2)>2(x12−x22)，
所以f(x1)−2x12>f(x2)−2x22，
令g(x)=f(x)−2x2，则g(x1)>g(x2)，所以函数g(x)在[0,+∞)上为增函数，
对任意的x∈R，g(−x)=f(−x)−2(−x)2=f(x)−2x2=g(x)，
所以函数g(x)为R上的偶函数，且g(2)=f(2)−2×22=0，
由f(m2+m)≤2(m2+m)2可得f(m2+m)−2(m2+m)≤0，即g(m2+m)≤g(2)，
即g(|m2+m|)≤g(2)，所以，|m2+m|≤2，即−2≤m2+m≤2，解得−2≤m≤1．
故选：A．
利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，cs215°−sin215°=cs30°= 32，故A正确；
对于B，sinπ8csπ8=12sinπ4= 24，故B错误；
对于C，12sin40°+ 32cs40°=cs60°sin40°+sin60°cs40°=sin100°，故C错误；
对于D，1−2sin215°=cs30°= 32，故D正确．
故选：AD．
利用二倍角的余弦公式即可判断A、D；利用二倍角的正弦公式即可判断B；利用两角和的正弦公式即可判断C．
本题考查利用三角恒等变换知识化简求值，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数的单调性的定义，属于基础题．
根据单调性的定义列出关于k的不等式组，求出解集即可得答案．
【解答】
解：因为函数f(x)=x2−kx+10,x≤1k−1x,x>1是R上的减函数，
所以k2≥1k−1>01−k+10≥k−1，解可得2≤k≤6，
所以四个选项中符合条件的实数k的取值可以是4，5，6．
故选：ABC．
11.【答案】ABD
【解析】解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω≤2,−π2<φ<π2)的部分图象，
可得2sinφ=−1，即sinφ=−12，∴φ=−π6．
再根据五点法作图，可得ω⋅π12−π6=0，求得ω=2，故f(x)=2sin(2x−π6).
故函数的最小正周期为2π2=π，故A正确．
令x=7π12，求得f(x)=0，可得f(x)的图象关于点(7π12,0)对称，故B正确．
将函数f(x)=2sin(2x−π6)的图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度后，
得到函数g(x)=2sin(2x+π6)的图象，故g(x)不是奇函数，故C错误．
在[π3,2π3]上，2x−π6∈[π2,7π6]，函数f(x)单调递减，故D正确．
故选：ABD．
根据题意，根据特殊点的坐标求出φ，再根据五点法作图求出ω值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
根据题意，作出函数f(x)的大致图象，函数g(x)=−f2(x)+2f(x)−m的零点，即方程−f2(x)+2f(x)−m=0，即m=−f2(x)+2f(x)=−[f(x)−1]2+1的根，结合二次函数的性质分3种情况讨论，分析g(x)的零点情况，综合即可得答案．
本题考查函数与方程的应用，涉及分段函数的性质，属于较难题．
【解答】
解：根据题意，f(x)=x+1,x≤0lg2x,x>0，其大致图象如图：
函数g(x)=−f2(x)+2f(x)−m的零点，
即方程−f2(x)+2f(x)−m=0即m=−f2(x)+2f(x)=−[f(x)−1]2+1的根，
对于m=−f2(x)+2f(x)=−[f(x)−1]2+1，
当m>1时，方程无解，则函数g(x)的零点个数为0，
当m=1时，m=−f2(x)+2f(x)=−[f(x)−1]2+1有1解，
即f(x)=1，此时有x=0和x=2符合题意，函数g(x)的零点个数为2，
当m<1时，m=−f2(x)+2f(x)=−[f(x)−1]2+1有2解，
即f(x)=1+ 1−m和f(x)=1− 1−m，
若f(x)=1+ 1−m，有1个x符合题意，
若f(x)=1− 1−m，有2个x符合题意，则此时函数g(x)的零点个数为3，
综合可得：函数g(x)的零点个数可能为0、2、3；
故选：ACD．
13.【答案】13
【解析】解：原式=33×23+5−lg52−lg4=9+5−lg(4×52)=14−lg10=14−1=13．
故答案为：13．
由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】(3,4]
【解析】解：由题意得，2≤2x−3≤5x2−2x−3>0，解得3故答案为：(3,4]．
由题意得，2≤2x−3≤5x2−2x−3>0，解不等式即可求解．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
15.【答案】59
【解析】解：令t=x+π6，则x=t−π6，sint=13，
则sin(5π6−x)+2cs2(x−π3)=sin(π−t)+2cs2(t−π2)=sint+2sin2t=13+29=59．
故答案为：59．
令t=x+π6，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
16.【答案】[1,54]
【解析】解：由cs2x+sinx−a=0，转化为1−sin2x+sinx−a=0，即(sinx−12)2=54−a，
因为x∈[π6,2π3]，则sinx∈[12,1]，则(sinx−12)∈[0,12]，
所以(sinx−12)2∈[0,14]，则0≤54−a≤14，解得1≤a≤54，
即a的取值范围是[1,54]．
故答案为：[1,54]．
根据题意，将原式化为(sinx−12)2=54−a，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果．
本题考查了正弦函数的性质，考查了方程思想和函数思想的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意可知，−1和3是方程ax2−2ax−3=0的两根，
所以a⋅(3)2−3⋅2a−3=0，解得a=1；
(2)由题可得ax2−2ax−3即ax2−(2a+1)x−2<0对一切实数x恒成立，
当a=0时，不等式化为−x−2<0，解得x>−2，不符合题意；
当a≠0时，有a<0,Δ=(2a+1)2+8a<0,解得−3−2 22综上可知，实数a的取值范围为：(−3+2 22,−3+2 22).
【解析】(1)由题意可知，−1和3是方程ax2−2ax−3=0的两根，代入求解即可；
(2)由题意可和ax2−(2a+1)x−2<0对一切实数x恒成立，分a=0和a≠0求解即可．
本题考查了函数与方程思想，考查了转化思想及一元二次不等式的解法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为0<α<π2，
所以π3<α+π3<5π6，
又cs(α+π3)=3 314，
所以sin(α+π3)=1314，tan(α+π3)=133 3=13 39；
(2)因为csα=cs[(α+π3)−π3]=cs(α+π3)csπ3+sin(α+π3)sinπ3=3 314×12+1314× 32=4 37，
所以sinα= 1−cs2α= 1−(4 37)2=17，
所以tanα=sinαcsα=174 37= 312，
又tan(α+β)=5 311，
所以tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=5 311− 3121+5 311× 312= 33，
又β∈(0,π2)，
所以β=π6．
【解析】(1)由已知结合同角基本关系即可求解；
(2)由已知先利用同角基本关系求出tanα，再由已知结合两角差的正切公式可求tanβ，进而可求．
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x，
所以f(−x)+g(−x)=2−x，
即−f(x)+g(x)=2−x，
解得g(x)=12(2x+2−x)，f(x)=12(2x−2−x)；
(2)h(x)=2g(2x)−4mf(x)−4=4x+4−x−2m(2x−2−x)−4=(2x−2−x)2−2m(2x−2−x)−2，
令t=2x−2−x，易知t在x∈R上单调增，
所以当x∈[1,+∞)，t∈[32,+∞)，
所以h(x)=m(t)=t2−2mt−2；
当x∈R时，p(x)=2x−12x+1=1−22x+1，
因为2x+1>1，所以0<22x+1<2，
所以1−22x+1∈(−1,1)，
即p(x)∈(−1,1)，
又因为对∀x1∈R，∃x2∈[1,+∞)，使得p(x1)=h(x2)，
所以h(x)在[1,+∞)上的值域包含p(x)在R上的值域，
即m(t)=t2−2mt−2在t∈[32,+∞)上的值域包含(−1,1)，
又因为m(t)=t2−2mt−2的开口向上，对称轴为t=m，
所以m≥32时，m(t)∈[−m2−2,+∞)，
由−m2−2≤−1，得m2≥−1，m∈R，
所以m≥32；
当m<32时，m(t)∈[14−3m,+∞)，
由14−3m≤−1，解得m≥512，
所以512≤m<32；
综上实数m的取值范围为[512,+∞)．
【解析】(1)由题意可得f(x)+g(x)=2x，−f(x)+g(x)=2−x，即可得答案；
(2)由题意可得h(x)在[1,+∞)上的值域包含p(x)在R上的值域，结合指数函数、二次函数的性质求解即可．
本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了函数的奇偶性、转化思想及分类讨论思想，属于中档题．