2023-2024学年河北省保定市博野实验中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市博野实验中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°
2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−lnxB. f(x)=12xC. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|
3.边长为1的正三角形ABC中，|AB−BC|的值为( )
A. 1B. 2C. 32D. 3
4.已知幂函数f (x)=(m−2)xm2−2m，则( )
A. m=1
B. f(x)的定义域为R
C. f(−x)=−f(x)
D. 将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到函数g(x)=(x−1)3的图象
5.已知不等式−x2−x+6>0，则该不等式的解集是( )
A. {x|−33}
C. {x|x<−3或x>2}D. {x|−26.若x>1，则函数y=x+9x−1的最小值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.sin(5π2+α)=25，那么cs(π+α)=( )
A. −35B. 35C. 25D. −25
8.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y=cs(x+π4)的图象，则f(x)=( )
A. cs(2x−5π12)B. cs(x2+5π12)C. cs(2x+5π12)D. cs(x2−5π12)
9.已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A. 2a−b>12B. a+ b≤ 2
C. lg2a+lg2b≥−2D. a2+b2≥12
10.若四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A. AB+BC=ACB. AB+AC=BCC. AC+BA=ADD. AC+AD=DC
11.已知函数f(x)=sin(2x+3π2)(x∈R)，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)是偶函数
C. 函数f(x)的图象关于直线x=π4对称D. 函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数
12.已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx，下列结论中不正确的有( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π，且图象关于x=π6对称
B. 函数f(x)的对称中心是(π12+kπ2,12)(k∈Z)
C. 函数f(x)在区间[π12,5π12]上单调递增
D. 函数f(x)的图象可以由g(x)=cs2x+12的图象向右平移π3个单位得到
二、非选择题（共90分）
13.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是______．
14.函数y=3sin(π3−2x)的单调递减区间为______．
15.下列函数为偶函数的是______(填序号)．
①y=x2(x≥0)；
②y=(x−1) x+11−x；
③y=2；
④y=|x|(x≤0)．
16.已知幂函数f(x)=xm+2过点(2,8)，且f(k2+6)+f(6−7k)<0，则实数k的取值范围是 ．
17.已知命题p：∃x∈R，x2−4x+m=0为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设A={x|3a18.已知−π2(1)求sinx⋅csx的值
(2)求sinx−csx的值
(3)求1cs2x−sin2x的值．
19.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数f(x)=−2−ax−4(a>0且a≠1)的定点M．
(1)求sinα−2csα的值；
(2)求sin(π+α)+cs(π2+α)cs(2π+α)+sin(−α)−tan(5π+α)的值．
20.设f(x)=x5+x3+b是定义在[−2,2]上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)+f(m−1)>0，求实数m的取值范围．
21.已知函数f(x)= 3sin2ωx+2cs2ωx，若函数f(x)图像相邻两条对称轴间的距离是π2．
(1)求ω及f(x)单调递减区间．
(2若方程f(x)=m在(−π4,π4)上有解，求实数m的取值范围．
22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)同时满足下列四个条件中的三个：①当x=−π4时，函数值为0；②f(x)的最大值为 2；③f(x)的图象可由y=2sinxcsx的图象平移得到；④函数的最小正周期为2π．
(1)请选出这三个条件并求出函数的解析式；
(2)若当x∈[π2,25π12]时，关于x的不等式f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为π2，即90°．
故选：B．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=−lnx在(0,+∞)上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在(0,+∞)上单调递增，y=1x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在(0,+∞)上单调递减，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=−1x在(0,+∞)上单调递增，故C正确；
对于D，因为f(12)=3|12−1|=312= 3，f(1)=3|1−1|=30=1，f(2)=3|2−1|=3，
显然f(x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调，D错误．
故选：C．
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可．
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量模的求法，考查了平面向量的数量积运算，是基础题．直接由|a|= (a)2，然后展开利用平面向量的数量积求得答案．
【解答】
解：如图，
|AB−BC|= (AB−BC)2= |AB|2−2AB⋅BC+|BC|2
= 1+1−2×1×1×cs120°= 2−2×(−12)= 3．
故选D．
4.【答案】BC
【解析】解：由幂函数f(x)=(m−2)xm2−2m，幂函数的定义可知m−2=1，所以m=3．
所以f(x)=x3，其定义域为R，故A错误，B正确．
由于(x)=x3为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，故C正确．
将(x)=x3的图象向左平移1个单位长度得到函数y=(x+1)3的图象，故 D错误．
故选：BC．
由题意，利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
将原不等式转化为(x+3)(x−2)<0求解即可．
【解答】
解：不等式−x2−x+6>0可化为x2+x−6<0，即(x+3)(x−2)<0，
解得−3故选A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
配凑后利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：因为x>1，故x−1>0，
所以y=x+9x−1=x−1+9x−1+1≥2 (x−1)⋅9(x−1)+1=7，当且仅当x=4时取等号．
故选B．
7.【答案】D
【解析】解：因为sin(5π2+α)=sin(π2+α)=csα=25，
所以cs(π+α)=−csα=−25．
故选：D．
根据题意利用诱导公式运算求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可知，将函数y=cs(x+π4)的图象先向左平移π6个单位长度，
得到函数y=cs(x+π4+π6)=cs(x+5π12)的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得到函数f(x)=cs(2x+5π12)的图象．
故选：C．
利用三角函数图象变换规律可得出函数f(x)的解析式．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，考查逻辑推理与运算求解能力．
利用指数函数的性质即可判断选项A；由基本不等式即可判断选项B，C，D．
【解答】
解：因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以a−b=a−(1−a)=2a−1>−1，
所以2a−b>2−1=12，故A正确；
( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+2×a+b2=2，
所以 a+ b≤ 2，当且仅当a=b=12时等号成立，故B正确；
lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2(a+b2)2=−2，
当且仅当a=b=12时取等号，故C错误；
已知a>0，b>0，且a+b=1，
所以(a+b)2≤2a2+2b2，则a2+b2≥12，当且仅当a=b=12时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】AC
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB+BC=AC，
AB+AC≠BC，
AC+BA=BC=AD，
AC+AD≠DC，
故选：AC．
根据平行四边形的性质，向量的几何运算法则即可得出答案．
本题简单的考察了向量的几何运算，根据加法法则，减法法则，属于容易题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意知f(x)=sin(2x+3π2)=−cs2x，其最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
函数f(x)=−cs2x是偶函数，故B正确；
当x=π4时，f(π4)=−cs(2×π4)=0，故x=π4不是函数f(x)的对称轴，C错误；
当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，由于y=csx在[0,π]上单调递减，
故f(x)=−cs2x在区间[0,π2]上是增函数，D正确．
故选：ABD．
利用诱导公式化简f(x)，结合余弦函数的周期公式可判断A；根据余弦函数的奇偶性判断B；根据余弦函数的对称性以及单调性可判断C，D．
本题主要考查了诱导公式以及三角函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：因为f(x)=sin2x+ 3sinxcsx=12(1−cs2x)+ 32sin2x=sin(2x−π6)+12，
所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π，f(π6)=sin(π3−π6)+12=1，故A错误；
令2x−π6=kπ,k∈Z，得x=π12+kπ2,k∈Z，
所以f(x)的对称中心是(π12+kπ2,12)(k∈Z)，故B正确；
当x∈[π12,5π12]时，可得2x−π6∈[0,2π3]，
又y=sinx在[0,2π3]上不单调，
所以f(x)=sin(2x−π6)+12在区间[π12,5π12]上不单调，故C错误；
g(x)=cs2x+12的图象向右平移π3个单位得到的图像对应的解析式为：
y=cs[2(x−π3)]+12=cs(2x−π6−π2)+12=sin(2x−π6)+12=f(x)，故D正确．
故选：AC．
利用三角恒等变换化简得f(x)=sin(2x−π6)+12，再利用正弦型函数的周期性，单调性，对称性，函数图象的平移变换对A、B、C、D四个选项逐一分析可得答案．
本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质的应用，解题的关键在于熟练常握三角恒等变换化简f(x)=sin(2x−π6)+12，从而得解，属于中档题．
13.【答案】m=−2
【解析】解：函数f(x)=x2+mx+1的对称轴为x=−m2⇔−m2=1⇔m=−2．
故答案为：m=−2
根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．
本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题．
14.【答案】[−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)
【解析】解：因为y=3sin(π3−2x)=−3sin(2x−π3)，
所以y=3sin(2x−π3) 的单调递增区间就是y=3sin(π3−2x)的单调递减区间．
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ(k∈Z)．
所以函数y=3sin(π3−2x)的单调递减区间为[−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)．
故答案为：[−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)．
转化为求y=3sin(2x−π3)的单调递增区间即可．
本题考查正弦函数的单调性的应用，属于中档题．
15.【答案】③
【解析】解：对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；
又②中，由x+11−x≥01−x≠0得其定义域为[−1,1)，显然不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数；
对于③，其定义域为R，且对∀x∈R都满足f(−x)=f(x)=2，故③是偶函数．
故答案为：③．
利用奇函数、偶函数定义域关于原点对称的性质可得①②④中的函数定义域不关于原点对称，③中满足偶函数定义，即可得出结论．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
16.【答案】(3,4)
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用．
由题意利用幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性，求出k的取值范围．
【解答】
解：∵幂函数f(x)=xm+2过点(2,8)，∴2m+2=8，求得m=1，幂函数f(x)=x3．
显然，f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
∵f(k2+6)+f(6−7k)<0，即 f(k2+6)<−f(6−7k)=f(7k−6)，
∴k2+6<7k−6，求得3故答案为：(3,4)．
17.【答案】解：(1)由题意知，∀x∈R，x2−4x+m≠0为真命题，
所以Δ=(−4)2−4m<0，解得m>4，
所以B={m|m>4}．
(2)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则A⫋B，
当A=⌀时，3a≥a+4，解得a≥2；
当A≠⌀时，3a综上，实数a的取值范围为[43,+∞)．
【解析】(1)根据存在量词命题的否定，可将问题转化为∀x∈R，x2−4x+m≠0为真命题，再根据一元二次方程根的问题，即可得解；
(2)易知A⫋B，再分A=⌀和A≠⌀两种情况，根据集合的关系，得解．
本题考查充分必要条件的应用，不等式的解法，存在量词命题的否定，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)将sinx+csx=15，两边平方得：(sinx+csx)2=1+2sinxcsx=125，
故可得：sinxcsx=−1225．
(2)因为：−π20，sinx−csx<0，
又因为：(sinx−csx)2=1−2sinxcsx=1−(−2425)=4925，
所以：sinx−csx=−75．
(3)1cs2x−sin2x=1(csx−sinx)(csx+sinx)=175×15=257．
【解析】(1)将已知等式两边平方，利用三角函数的平方关系式，直接求出sinxcsx的值；
(2)由角的范围可求sinx−csx<0，由(1)结论即可计算得解；
(3)化简所求，利用(1)(2)的结论即可计算得解．
本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查了计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=−2−ax−4(a>0且a≠1)的定点M的坐标为(4,−3)，
∴角α的终边经过点M(4,−3)，
∴|OM|= 42+(−3)2=5(O为坐标原点)，
根据三角函数的定义可知sinα=−35，csα=45，
∴sinα−2csα=−35−2×45=−115．
(2)sinα=−35，csα=45，tanα=−34，
sin(π+α)+cs(π2+α)cs(2π+α)+sin(−α)−tan(5π+α)=−sinα−sinαcsα−sinα−tanα=−2sinαcsα−sinα−tanα=−2×(−35)45−(−35)+34=67+34=4528．
【解析】(1)求得定点M的坐标，利用三角函数的定义可求出sinα，csα，从而求出答案；
(2)利用诱导公式化简，再将sinα，csα，tanα代入，即可得出答案．
本题主要考查三角函数的定义的应用，根据三角函数的诱导公式和进行化简是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义在[−2,2]上的奇函数，则f(0)=b=0，
当b=0时，f(x)=x5+x3，且f(−x)=(−x)5+(−x)3=−(x5+x3)=−f(x)，
即f(x)是定义在[−2,2]上的奇函数，符合题意，
所以b=0．
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(x)是奇函数，
可知f(x)在[−2,0]上单调递增，且在x=0处连续不断，
所以f(x)在[−2,2]上是增函数，
因为f(m)+f(m−1)>0，则f(m)>−f(m−1)=f(1−m)，
可得−2≤m≤2−2≤m−1≤2m>1−m，解得12所以实数m的取值范围是(12,2]．
【解析】(1)根据奇函数的定义与性质运算求解；
(2)根据奇函数的性质可知f(x)在[−2,2]上是增函数，进而根据奇函数的定义结合单调性运算求解．
本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)= 3sin2ωx+cs2ωx+1=2sin(2ωx+π6)+1，
∵f(x)图像相邻两条对称轴间的距离是π2，
∴f(x)的最小正周期为π，∴2π2ω=π，ω=1，
∴f(x)=2sin(2x+π6)+1，
解π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
∴f(x)单调递减区间为：[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z；
(2)∵x∈(−π4,π4)，∴2x+π6∈(−π3,2π3)，
∴sin(2x+π6)∈(− 32,1],
∴f(x)∈(1− 32,2],
∴m的取值范围为：(1− 32,2]．
【解析】(1)根据二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式可得出f(x)=2sin(2ωx+π6)+1，根据f(x)图像相邻两条对称轴间的距离是π2可知f(x)的周期为π，从而得出ω=1，然后根据正弦函数的减区间即可求出f(x)的减区间；
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x+π6)+1，根据x的范围可求出2x+π6的范围，然后得出sin(2x+π6)的范围，进而得出m的范围．
本题考查了两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的减区间，三角函数周期的计算公式，正弦函数的图象，考查了计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由条件③可知y=2sinxcsx=sin2x，函数的周期T=π，最大值为1，与②④矛盾，故③不符合题意，
选择①②④三个条件，
由②得A= 2，由④中T=2πω=2π，知ω=1，则f(x)= 2sin(x+φ)，
由①知f(−π4)= 2sin(−π4+φ)=0，解得φ=π4+kπ，k∈Z，
又−π2<φ<π2，则φ=π4，
所求函数表达式为f(x)= 2sin(x+π4)；
(2)由题意知m≥f(x)max，
若x∈[π2,25π12]，则x+π4∈[3π4,7π3]，
所以f(x)先递减再递增，
又f(π2)= 2sin3π4=1，f(25π12)= 2sin7π3= 62，
所以f(x)max= 62，
所以m≥ 62，即m的取值范围为[ 62,+∞)．
【解析】(1)条件③与②④矛盾，故③不符合题意，选择①②④三个条件，由最大值和周期得到A，ω，代入(−π4,0)得到φ，可得函数的解析式；
(2)由定义区间讨论单调性，计算f(x)max，由m≥f(x)max得实数m的取值范围．
本题考查求函数的解析式，以及分类讨论求函数的最小值，属中档题．