2024年陕西省咸阳市秦都区彩虹学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省咸阳市秦都区彩虹学校中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，y关于x的二次函数是( )
A. y=ax2+bx+cB. y=x(x−1)
C. y=1x2D. y=(x−1)2−x2
2.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值( )
A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC= 3，那么∠B的度数是( )
A. 15°B. 45°C. 30°D. 60°
4.若二次函数y=x2+bx+4配方后为y=(x−2)2+k，则b，k的值分别为( )
A. 0，5B. 0，1C. −4，5D. −4，0
5.在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，则csA的值等于( )
A. 35B. 74C. 45或 74D. 45或2 77
6.已知点A(4,y1)，B(1,y2)，C(−2,y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，则y1，y2，y3从小到
大排列( )
A. y17.将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC=∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于( )
A. 63B. 6+ 24C. 3+13D. 3−12
8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB=2OC，则下列结论：①a−bc>0；②2b−4ac=1；③a=14；④当−1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.函数y=−3(x+2)2的开口______，对称轴是______，顶点坐标为______．
10.在直角坐标平面内有一点P(2,3)，OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为______．
11.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1： 3，坝高BC=3m，则AB的长度为______．
12.在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2−2x+3的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为______．
13.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(−1,0).则S=a+b+c的值的变化范围是______．
三、解答题：本题共13小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
计算：
(1)sin230°+2sin60°+tan45°+cs230°；
(2) 8−2sin45°+2cs60°+|1− 2|+(12)−1．
15.(本小题8分)
已知函数y=−(m+2)xm2−2(m为常数)，求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为−8的点的坐标．
16.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
(1)已知c=2 3，b= 6，求∠B；
(2)已知c=12，sinA=13，求b．
17.(本小题8分)
如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(1,−2)，与x轴的另一个交点为C．
(1)求该图象的解析式．
(2)求AC长．
18.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−4,0)、B(1,0)、C(0,3)三点，直线y=mx+n经过A(−4,0)、C(0,3)两点．
(1)写出方程ax2+bx+c=0的解；
(2)若ax2+bx+c>mx+n，写出x的取值范围．
19.(本小题8分)
已知y=mxm2−m是x的二次函数．
(1)当m取何值时，该二次函数的图象开口向下？
(2)在(1)的条件下：
①当−2②当−420.(本小题8分)
如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里，参考数据： 3≈1.732)
21.(本小题8分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=35，点D在边BC上，BD=4
联结AD，tan∠DAC=23．
(1)求边AC的长；
(2)求tan∠BAD的值．
22.(本小题8分)
如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区.在△ABP中，已知∠A=45°，∠B=30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒)(参考数据： 3=1.732)
23.(本小题8分)
如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i=5：12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF=60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
(1)求坡顶B的高度；
(2)求楼顶C的高度CD．
24.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标和周长最小值．
25.(本小题8分)
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
26.(本小题8分)
将抛物线y=ax2(a≠0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y=a(x−h)2+k.抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.已知A(−3,0)，点P是抛物线H上的一个动点．
(1)求抛物线H的表达式；
(2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A，C重合)，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E.作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、当a=0时，y=bx+c不是二次函数；
B、y=x(x−1)=x2−x是二次函数；
C、y=1x2不是二次函数；
D、y=(x−1)2−x2=−2x+1为一次函数．
故选：B．
根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．
本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：A．
在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，其内角的大小不变，因此锐角A的正切函数值不变．
本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．
3.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanB=ACBC= 31= 3，
∴∠B=60°，
故选：D．
根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
4.【答案】D
【解析】解：∵y=(x−2)2+k=x2−4x+4+k=x2−4x+(4+k)，
又∵y=x2+bx+4，
∴x2−4x+(4+k)=x2+bx+4，
∴b=−4，k=0．
故选：D．
可将y=(x−2)2+k的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+4比较，即可得出b、k的值．
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解题时，需要掌握配方的计算方法．
5.【答案】C
【解析】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
①当AB为斜边，∠C=90°，
∵AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10．
∴csA=ACAB=810=45；
②当AC为斜边，∠B=90°，
由勾股定理得：AB= AC2−BC2= 82−62=2 7，
∴csA=ABAC=2 78= 74；
综上所述，csA的值等于45或 74．
故选：C．
因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．
本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论．
6.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=(x−2)2−1，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∵点A(4,y1)，B(1,y2)，C(−2,y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，
∴点B离直线x=2近，点C离直线x=2最远，
∴y3>y1>y2，
故选：B．
先根据解析式得到抛物线的开口方向和对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．
如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．
【解答】
解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=45°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
∵DE⊥CE，
∴∠CED=90°，∠CDE=45°，
∴设DE=CE=1，则CD= 2，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，
∴tan∠CAD=CDAC，则AC= 6，
在Rt△ABC中，∠BAC=∠BCA=45°，
∴BC= 3，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD=DEBE=11+ 3= 3−12，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：∵A(−2,0)，OB=2OC，
∴C(0,c)，B(−2c,0)．
由图象可知，a>0，b<0，c<0．
①：∵a>0，b<0，
∴a−b>0，
∴a−bc<0.故①错误；
②：把B(−2c,0)代入解析式，得：
4ac2−2bc+c=0，又c≠0，
∴4ac−2b+1=0，
即2b−4ac=1，故②正确；
③：∵抛物线与x轴交于点A(−2,0)和点B(−2c,0)，
∴x1=−2和x2=−2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1⋅x2= ca=(−2)×(−2c)=4c，
∴a=14.故③正确；
④：如图，
∵a=14，2b−4ac=1，
∴c=2b−1．
故原抛物线解析式为y=14x2+bx+(2b−1)，顶点坐标为(−2b,−b2+2b−1)．
∵C(0,2b−1)，OB=2OC，
∴A(−2,0)，B(2−4b,0)．
∴对称轴为直线x=−2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB=90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PQ=12AB=12[2−4b−(−2)]=2−2b，
∴P(−2b,2b−2)，且有2b−2>−b2+2b−1，
整理得：b2>1，
解得：b>1或b<−1，这与−1综上所述，正确的有②③，一共2个，
故选：B．
首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a>0，b<0，c<0，从而可判断①错误；由OB=2OC可推出点B(−2c,0)代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A(−2,0)和点B(−2c,0)，再结合韦达定理可得x1⋅x2= ca=(−2)×(−2c)=4c，可得a=14，即可判断③正确；根据a=14，2b−4ac=1，可得c=2b−1，从而可得抛物线解析式为y=14x2+bx+(2b−1)，顶点坐标为(−2b,−b2+2b−1)，继而可求得A(−2,0)，B(2−4b,0).所以对称轴为直线x=−2b.要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB=90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形，PQ=PQ=12AB=2−2b，得P(−2b,2b−2)，且2b−2>−b2+2b−1，解得b>1或b<−1，故可判断④错误．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，解此题的基础关键在于根据函数图象判断出a、b、c的符号，其中第④问有一定的难度．
9.【答案】向下 直线x=−2 (−2,0)
【解析】解：函数y=−3(x+2)2的开口向下，对称轴是直线x=−2，顶点坐标是(−2,0)，
故答案为：向下，直线x=−2，(−2,0)．
根据题意题目中的函数解析式，可以写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10.【答案】3 1313
【解析】解：如图，作PM⊥x轴于点M，
根据勾股定理可得OP= 22+32= 13，
∴sinα=PMOP=3 13=3 1313，
故答案为：3 1313．
作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解，解题的关键是学会添加常用辅助线．
本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．
11.【答案】6m
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1： 3，
∴BCAC=1 3，即3AC=1 3，
解得，AC=3 3，
由勾股定理得，AB= BC2+AC2=6(m)，
故答案为：6m．
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
12.【答案】y=x2
【解析】解：y=x2−2x+3
=(x−1)2+2，
∵将二次函数y=x2−2x+3的图象先向左平移1个单位，
∴得到的抛物线的解析式为：y=x2+2，
∵再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线的解析式为：y=x2．
故答案为：y=x2．
直接将函数解析式写成顶点式，再利用平移规律得出答案．
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
13.【答案】0【解析】解：将点(0,1)和(−1,0)分别代入抛物线解析式，得c=1，a=b−1，
∴S=a+b+c=2b，
由题设知，对称轴x=−b2a>0且a<0，
∴2b>0．
又由b=a+1及a<0可知2b=2a+2<2．
∴0故本题答案为：0将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S=a+b+c中消元，再根据对称轴的位置判断S的取值范围即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题．
14.【答案】解：(1)原式=sin230°+cs230°+2sin60°+tan45°
=1+2× 32+1
=2+ 3．
(2)原式= 8−2× 22+2×12+ 2−1+(2−1)−1
=2 2− 2+1+ 2−1+2
=2 2+2．
【解析】(1)将sin230°+cs230°=1和特殊角的三角函数值代入计算即可；
(2)将(12)−1化简为(2−1)−1，并将特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系等，牢记特殊角的三角函数值和同角三角函数之间的关系是本题的关键．
15.【答案】解：(1)由y=−(m+2)xm2−2(m为常数)，y是x的一次函数，得
m2−2=1m+2≠0，
解得m=± 3，
当m=± 3时，y是x的一次函数；
(2)y=−(m+2)xm2−2(m为常数)，是二次函数，得
m2−2=2m+2≠0，
解得m=2，m=−2(不符合题意的要舍去)，
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=−8时，−8=−4x2，
解得x=± 2，
故纵坐标为−8的点的坐标的坐标是(± 2,−8)．
【解析】(1)根据题意，形如y=kx(k≠0,k是常数)是一次函数，可得一次函数；
(2)根据题意，形如y=ax2(a是常数，且a≠0)是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．
本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零．
16.【答案】解：(1)∵sinB=bc= 62 3= 22，
∴∠B=45°；
(2)∵c=12，sinA=13=ac，
∴a=4，
∴b= c2−a2=8 2，
【解析】根据直角三角形的边角关系求解即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
17.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(1,−2)代入y=x2+bx+c得
1−b+c=01+b+c=−2，
解得b=−1c=−2，
∴二次函数的解析式为y=x2−x−2．
(2)对于抛物线y=x2−x−2，令y=0，得x2−x−2=0，解得x=−1或2，
∴A(−1,0)，B(2,0)，
∴OA=1，OB=2，
∴AC=OA+OC=3．
【解析】(1)利用待定系数法把问题转化为方程组解决．
(2)令y=0，求出A、C两点坐标即可解决问题．
本题考查抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，掌握求函数与坐标轴的交点坐标的方法，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(−4,0)、B(1,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=−4，x2=1；
(2)由图可知，ax2+bx+c>mx+n时，−4【解析】本题考查了二次函数与不等式的关系，是基础题，利用数形结合的思想是解题的关键．
(1)根据一元二次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标解答即可；
(2)确定出抛物线在直线上方部分的x的取值即可．
19.【答案】解：(1)(1)∵y=mxm2−m是x的二次函数，该二次函数的图象开口向下，
∴m<0m2−m=2，
解得m=−1；
(2)(2)①由(1)得：y=−x2，
∵当x=−2时，y=−4，当x=3时，y=−9，而−2∴−9②∵y=−4时，x=±2，当y=−1，x=±1，
∴−2【解析】(1)先根据二次函数的定义及性质列出关于m的不等式组，求出m的值即可；
(2)①求出x=−2与x=3时y的对应值，进而可得出结论；②求出y=−4与y=−1时x的对应值，进而可得出结论；
本题考查了二次函数的定义、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，熟练掌握函数图象与性质是解决此题的关键．
20.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
AB=20×1=20(海里)，
∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，
∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°−∠CAF=30°，
∴∠C=180°−∠CBA−∠CAB=30°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=BA=20(海里)，
∠CBD=90°−∠CBE=60°，
∴CD=BC⋅sin∠CBD=20× 32≈17(海里)．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．
此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
21.【答案】解：(1)设AC=3m，
∵BD=4，BC=CD+BD，
∵∠C=90°，sin∠ABC=35，
∵tan∠DAC=23，
∴CD=2m，
∴4m=2m+4，
解得m=2，
∴AC=3m=6；
(2)作DE⊥AB于点E，
由(1)知，AB=5m=10，AC=6，BD=4，
∵AB⋅DE2=BD⋅AC2，
∴10×DE2=4×62，
解得DE=125，
∵AC=6，CD=2m=4，∠C=90°，
∴AD= 62+42=2 13，
∴AE= AD2−DE2= (2 13)2−(125)2=345，
∴tan∠BAD=AEDE=345125=176，
即tan∠BAD的值是176．
【解析】(1)根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；
(2)根据(1)中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：过P作PH⊥AB于H，如图：

由已知可得，PH=50米，
在Rt△APH中，
∵∠PAH=45°，
∴∠APH=∠PAH=45°，
∴AH=PH=50米，
在Rt△BPH中，
tan30°=PHBH，
∴BH=50 33=50 3≈86.6米，
∴AB=AH+BH≈136.6米，
∵60千米/小时=503米/秒，
而136.6÷503=8.196(秒)，
∴车辆通过AB段的时间在8.196秒以内时，可认定为超速．
【解析】过P作PH⊥AB于H，由已知可得，PH=50米，在Rt△APH中，AH=PH=50米，在Rt△BPH中，BH=50 33=50 3≈86.6米，可得AB=AH+BH≈136.6米，而136.6÷503=8.196(秒)，即可得到答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
23.【答案】解：(1)过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，

∵i=5：12，
∴BMAM=512，
∵AB=13米，
设BM=5a(米)，AM=12a(米)，
∴(5a)2+(12a)2=132，
∴a=1，
∴BM=DF=5米，
则坡顶B的高度是5米；
(2)设EF为x米，则BF=(4+x)米，
∵∠CBF=45°，
∴BF=CF=(4+x)米，
∵∠CEF=60°，
∴tan60°= 31=4+xx，
解得x=2 3+2，
∴CF=(6+2 3)米，
∴CD=CF+FD=(11+2 3)米，
答：DC的长度为(11+2 3)米．
【解析】(1)过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，由AB的坡度和长即可求出BM；
(2)由BF=EF+BE，根据∠CBF=45°、∠CEF=60°、BE=4米解三角形求出CF，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，解直角三角形的应用−坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，
∴1−b+c=09+3b+c=0，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)如图，连接BC交抛物线的对称轴于点P，

∵y=x2−2x−3，
∴C(0,−3)，
∵点A与点B关于直线x=−1+32=1对称，
∴PA=PB，
∴AP+PC=CP+PB．
∴当点P、C、B在一条直线上时，AP+PC有最小值．
又∵BC为定值，
∴当点P、C、B在一条直线上时，△APC的周长最小．
∵BC= 32+32=3 2,AC= 12+32= 10，
∴△PAC的周长最小值为：AC+BC= 10+3 2，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则3k+b=0b=−3，
解得：k=1b=−3，
∴直线AD的解析式为y=x−3，
将x=1代入y=x−3得：y=−2，
∴点P的坐标为(1,−2)，
即当点P的坐标为(1,−2)时，△PAC的周长最小．最小值为 10+3 2．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)连接BC交抛物线的对称轴于点P，连接PA，依据轴对称图形的性质可得到PA=PB，则△PAC的周长=AC+PA+PC，故当点C、P、B在一条直线上时，△PAC的周长最小值，然后求得直线BC的解析式，从而可得到点P的坐标．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，解二元一次方程组等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50(1−a)2=32，
解得：a=1.8(舍)或a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
(2)设商场每天的盈利为y元，由题意得：
y=(10+x)(500−20x)=−20x2+300x+5000，
∵−20<0，
∴当x=−3002×(−20)=7.5时，y取最大值，
∴当x=7.5时，y最大值=(10+7.5)×(500−20×7.5)=6125(元)，
答：应涨价7.5元，每天的盈利达到最大值，为6125元．
【解析】(1)设每次降价的百分率为a，(1−a)2为两次降价的百分率，可列出方程，求解即可；
(2)根据题意列出二次函数解析式，然后求出二次函数的最大值即可得到结果．
本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(−1,4)，
∴抛物线H：y=a(x+1)2+4，
将A(−3,0)代入，得：a(−3+1)2+4=0，
解得：a=−1，
∴抛物线H的表达式为y=−(x+1)2+4；
(2)如图1，由(1)知：y=−x2−2x+3，
令x=0，得y=3，
∴C(0,3)，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
∵A(−3,0)，C(0,3)，
∴−3m+n=0n=3，
解得：m=1n=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
设P(m,−m2−2m+3)，则E(m,m+3)，
∴PE=−m2−2m+3−(m+3)=−m2−3m=−(m+32)2+94，
∵−1<0，
∴当m=−32时，PE有最大值94，
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠AOC，
∴PD/​/OC，
∴∠PEF=∠ACO=45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF=EF= 22PE，
∴S△PEF=12PF⋅EF=14PE2，
∴当m=−32时，S△PEF最大值=14×(94)2=8164；
(3)①当AC为平行四边形的边时，则有PQ//AC，且PQ=AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG=∠ACO=∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
∠PGQ=∠AOC∠PQG=∠ACOPQ=AC,
∴△PQG≌△ACO(AAS)，
∴PG=AO=3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y=−(x+1)2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
设点P(x,y)，则|x+1|=3，
解得：x=2或x=−4，
当x=2时，y=−5，
当x=−4时，y=−5，
∴点P坐标为(2,−5)或(−4,−5)；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A(−3,0)，C(0,3)，
∴M(−32,32)，
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为−1，设点P的横坐标为x，
易得：x+(−1)=2×(−32)=−3，
∴x=−2，此时y=3，
∴P(−2,3)；
综上所述，点P的坐标为(2,−5)或(−4,−5)或(−2,3)．
【解析】(1)根据将抛物线y=ax2(a≠0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y=a(x−h)2+k，可得顶点坐标为(−1,4)，即可得到抛物线H：y=a(x+1)2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；
(2)利用待定系数法可得直线AC的解析式为y=x+3，设P(m,−m2−2m+3)，则E(m,m+3)，进而得出PE=−(m+32)2+94，运用二次函数性质可得：当m=−32时，PE有最大值94，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；
(3)分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ//AC，且PQ=AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO(AAS)，根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M(−32,32)，设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题关键是熟练掌握二次函数性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想．