2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高一（下）入学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−3x+2=0,x∈R)，B={x|0A. 1B. 2C. 3D. 4
2.函数f(x)=lnx−3x的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
3.已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A. a≤−3B. a≤1C. a≥−1D. a≥1
4.若x>1，则x2−2x+22x−2有( )
A. 最小值1B. 最大值1C. 最小值−1D. 最大值−1
5.已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )
A. f(x)=ln|x|−1x
B. f(x)=ln|x|+1x
C. f(x)=1x−ln|x|
D. f(x)=ln|x|+1|x|
6.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. 164
B. 5564
C. 18
D. 116
7.下列说法错误的是( )
A. 数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的70%分位数是23.5
B. 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,1)∪(5,+∞)，则不等式bx+c>0的解集是{x|x>56}
C. 函数f(x+1)的定义域为[0,1]，则f(2x)的定义域为[2,4]
D. 若3a=4b=36，则2a+1b的值为1
8.今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c=k⋅at(k,a为大于0的常数且a≠1).若c=16时，t=10；若c=112时，t=20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时，大约需要(参考数据：lg23≈1.58，lg25≈2.32)( )
A. 43年B. 53年C. 73年D. 120年
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.不等式mx2−ax−1>0(m>0)的解集不可能是( )
A. {x|x<−1或x>14}B. R
C. {x|−135}
10.已知y=f(x)奇函数，f(x)=f(2−x)恒成立，且当0≤x≤1时，f(x)=x，设g(x)=f(x)+f(x+1)，则( )
A. g(2022)=1
B. 函数y=g(x)为周期函数
C. 函数y=g(x)在区间(2021,2022)上单调递减
D. 函数y=g(x)的图像既有对称轴又有对称中心
11.已知函数y=f(x)，x∈D，若存在实数m，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥m，则称函数y=f(x)，x∈D有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，则称函数y=f(x)，x∈D有上界，M为其一个上界.若函数y=f(x)，x∈D既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是( )
A. 若函数y=f(x)在定义域上有下界，则函数y=f(x)有最小值
B. 若定义在R上的奇函数y=f(x)有上界，则该函数一定有下界
C. 若函数y=[f(x)]2为有界函数，则函数f(x)是有界函数
D. 若函数y=f(x)的定义域为闭区间[a,b]，则该函数是有界函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm+1的图象关于原点对称，则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a的取值范围为_________．
13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式f(x−2)x<0的解集为______．
14.已知偶函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，已知当x2>x1>0时，x22f(x1)−x12f(x2)>x1x2(x2ex1−x1ex2)，若f(2)=2e2+8，则f(x)>2x2+|x|e|x|的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
—只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)
16.(本小题15分)
在①A={x|2x−2x+1<1}，②A={x||x−1|<2}，③A={x|y=lg23−xx+1}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集U=R，_____，B={x|x2+x+a−a2<0}．
(1)若a=2，求(∁UA)∪(∁UB)；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
设p是实数使得关于x的方程x2−3px−p=0有两个不同的实数根x1，x2．
(1)证明：3px1+x22−p>0；
(2)求u=p23px1+x22+3p+3px2+x12+3pp2的最小值．
18.(本小题17分)
已知关于x的不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)，
(1)若不等式的解集为{x|x<−3或x>−2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
19.(本小题17分)
已知S={1,2,…,n}，A⊆S，T={t1,t2}⊆S，记Ai={x|x=a+ti,a∈A}(i=1，2)，用|X|表示有限集合X的元素个数．
(Ⅰ)若n=5，A={1,2,5}，A1∩A2=⌀，求T；
(Ⅱ)若n=7，|A|=4，则对于任意的A，是否都存在T，使得A1∩A2=⌀？说明理由；
(Ⅲ)若|A|=5，对于任意的A，都存在T，使得A1∩A2=⌀，求n的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x2−3x+2=0,x∈R)={1，2}
集合B={x|0由A⊊C⊊B，
可知集合C一定函数：1，2这两个元素，可能有3或者4，
∴集合C的个数为2个
故选：B．
分解求解集合A，B，根据集合的基本运算即可求．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=lnx−3x在(0,+∞)上单调递增，
且f(2)=ln2−32<0，f(3)=ln3−1>0，故f(2)⋅f(3)<0．
故选：C．
判断函数的单调性，利用零点判断定理，求解即可．
本题考查零点判断定理的应用，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意知：
p：|x+1|>2可化简为{x|x<−3或x>1}；q：x>a
∵“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”，
∴q是p的充分不必要条件，即q⊊p

∴a≥1
故选D
因为“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”，所以q是p的充分不必要条件，即q是p的真子集，然后解不等式|x+1|>2，利用数轴求解即可．
本题主要考查四种命题的等价关系，及解绝对值不等式，属基础知识、运算能力的考查．
4.【答案】A
【解析】解：若x>1，则x2−2x+22x−2=(x−1)2+12(x−1)=x−12+12(x−1)≥2 x−12⋅12(x−1)=1，当且仅当x−12=12(x−1)即x=2时取等号．
故x2−2x+22x−2有最小值为1，
故选A．
若x>1，则x2−2x+22x−2=x−12+12(x−1)，利用基本不等式求得它的最小值为1，从而得出结论．
本题主要考查基本不等式的应用，函数的最值及其几何意义，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：选项A，f(1)=−1与图象矛盾，故A错误；
选项C，f(e)=1e−1<0与图象矛盾，故C错误；
选项D，f(−1)=1与图象矛盾，故D错误．
故选：B．
可通过几个特殊值排除选项A，C，D，从而得出正确的选项．
本题考查了排除法做选择题的方法，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
先由条件求得灯不亮的概率，再用1减去此概率，即得所求．
【解答】
解：开关C断开的概率为12，开关D断开的概率为12，
开关A、B至少一个断开的概率为1−12×12=34，
开关E、F至少一个断开的概率为1−12×12=34，
故灯不亮的概率为12×12×34×34=964，
故灯亮的概率为1−964=5564，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个，
10×70%=7，
则该组数据的70%分位数是23+242=23.5，故A正确；
关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,1)∪(5,+∞)，
则a<0，−ba=1+5ca=1×5=5，即b=−6a，c=5a，
bx+c>0，即−6ax+5a>0，解得{x|x>56}，故B正确；
f(x+1)的定义域为[0,1]，
则f(x)的定义域为[1,2]，
令1≤2x≤2，解得0≤x≤1，
故f(2x)的定义域为[0,1]，故C错误；
3a=4b=36，
则a=lg336，b=lg436，
故2a+1b=2lg363+lg364=lg369+lg364=lg3636=1，故D正确．
故选：C．
对于A，结合百分位数的定义，即可求解；对于B，结合一元二次不等式的解法，即可求解；对于C，结合抽象函数定义域的求法，即可求解；对于D，结合对数的运算法则，即可求解．
本题主要考查百分位数的求解，以及对数的运算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：16=k⋅a10112=k⋅a20，解得a=(12)110k=13，
所以c=13⋅(12)t10，
当c=1120时，得1120=13⋅(12)t10，即(12)t10=140，
两边取对数得t10=lg12140=lg240=3+lg25≈3+2.32=5.32，
所以t=5.32×10=53.2，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时，大约需要53年．
故选：B．
根据已知条件得16=k⋅a10112=k⋅a20，解方程组求出a，k的值，当c=1120时，在等式两边取对数即可求解．
本题考查了函数的生活中的实际运用，也考查了指数、对数的基本运算，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：不等式mx2−ax−1>0中，因为m>0，所以Δ=a2+4m>0，
所以不等式对应的一元二次方程有两个不等的实数根，
所以该不等式的解集不可能是选项B和C．
故选：BC．
根据不等式与对应的一元二次方程之间的关系，利用判别式即可得出结论．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为f(x)=f(2−x)，所以f(−x)=f(2+x)，又f(x)为奇函数，
故f(−x)=−f(x)=−f(2−x)=f(x−2)=f(2+x)，
利用f(x−2)=f(x+2)，可得f(x)=f(x+4)，故f(x)的周期为4；
因为f(x)周期为4，则g(x)的周期为4，又f(x)是奇函数，
所以g(2022)=g(505×4+2)=g(2)=f(2)+f(3)=f(2)+f(−1)=−f(1)=−1，A错误，B正确；
当0≤x≤1时，f(x)=x，因为f(x)为奇函数，故−1≤x<0时，f(x)=x，
因为f(x)=f(2−x)恒成立，令0≤2−x≤1，此时f(2−x)=2−x，则2≥x≥1，f(x)=f(2−x)=2−x，
故0≤x≤2时，f(x)=x,amp;0≤x≤12−x,amp;1令−2≤x<−1，即1<−x≤2，则f(−x)=2+x=−f(x)，即f(x)=−x−2；
令−1≤x<0，即0<−x≤1，则f(−x)=−x=−f(x)，即f(x)=x；
令2所以f(x)=−x−2,−2≤x<−1x,−1≤x≤12−x,1根据周期性y=g(x)在x∈(2021,2022)上的图像与在x∈(1,2)相同，
所以，当1≤x<2，即2≤x+1<3时，g(x)=f(x)+f(x+1)=2−x+2−(x+1)=3−2x，
故g(x)在x∈(1,2)上单调递减，C正确；
由f(x)是周期为4的奇函数，则f(x+2)=−f(x)=f(x−2)且f(x−1)=−f(x+1)，
所以g(1−x)=f(1−x)+f(2−x)=−f(x−1)−f(x−2)=f(x)+f(x+1)=g(x)，故g(x)关于x=12对称，
g(x)+g(3−x)=f(x)+f(x+1)+f(3−x)+f(4−x)=f(x)+f(x+1)−f(1+x)−f(x)=0，所以g(x)关于(32,0)对称，D正确．
故选：BCD．
由g(x)与f(x)的关系式及f(x)的周期性、奇偶性，即可求g(2022)和判断g(x)的周期，进而判断A和B；利用奇函数性质求f(x)在−2≤x≤2上的解析式，结合g(x)的周期性及g(x)=f(x)+f(x+1)求(2021,2022)上的解析式判断C，利用对称性判断g(1−x)=g(x)、g(x)+g(3−x)=0是否成立判断D．
本题考查抽象函数及其性质，涉及函数的奇偶性、单调性和周期性，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，当x>0时，f(x)=1x，如图所示：
则f(x)≥0恒成立，则函数y=f(x)有下界，但函数y=f(x)没有最小值，故A错误；
对于B，若定义在R上的奇函数y=f(x)有上界，不妨设当x≥0时，f(x)≤M成立，
则当x<0时，−x>0，则f(−x)≤M，
即−f(x)≤M，则f(x)≥−M，该f(x)的下界是−M，则函数是有界函数，故B正确；
对于C，对于函数y=f(x)，若函数y=[f(x)]2为有界函数，
设m≤[f(x)]2≤M(m≥0,M>0)，则− M≤f(x)≤− m或 m≤f(x)≤ M，
该函数是有界函数，故C正确；
对于D，函数f(x)=1x,0则函数y=f(x)的定义域为闭区间[0,1]，值域为[1,+∞)，
则f(x)只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数，故D错误．
故选：BC．
举反例判断A、D；
根据函数上界，下界，有界的定义分别判断B、C即可．
本题属于新概念题，考查了函数的有界问题、奇函数的性质，理解定义是关键，属于中档题．
12.【答案】(23,4)
【解析】【分析】
本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了解一元二次不等式，是基础题．
由幂函数的定义求出m=1或2，再由幂函数f(x)的奇偶性可知m=2，代入不等式即可求出a的取值范围．
【解答】
解：由幂函数的定义可知，m2−3m+3=1，
解得：m=1或2，
又由已知幂函数f(x)是奇函数，
∴m=2，
原不等式化为：(a+1)2>(3−2a)2，
整理得：3a2−14a+8<0，
解得：23故答案为：(23,4)．
13.【答案】(−1,0)∪(5,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，
所以f(x)在(−∞,0]上为增函数，
由f(3)=0，得f(−3)=0，f(x−2)x<0，
当x<0时，f(x−2)>0=f(−3)，
有x−2<0x−2>−3，解得−1当x>0时，f(x−2)<0=f(3)，
有x−2>0x−2>3，解得x>5，
综上，不等式f(x−2)x<0的解集为(−1,0)∪(5,+∞)．
故答案为：(−1,0)∪(5,+∞)．
由题意和偶函数的性质可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，在(−∞,0]上为增函数，结合f(3)=f(−3)=0，分类讨论当x<0、x>0时，利用函数的单调性解不等式即可．
本题主要考查了函数单调性的判断与性质，属于中档题．
14.【答案】(−2,2)
【解析】解：当x2>x1>0时，由x22f(x1)−x12f(x2)>x1x2(x2ex1−x1ex2)，
得f(x1)−x1ex1x12>f(x2)−x2ex2x22，
令g(x)=f(x)−|x|e|x|x2，当x>0时，g(x)=f(x)−xexx2，
则g(x1)>g(x2)，
所以函数g(x)在(0,+∞)上递减，
因为函数f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，
则g(−x)=f(−x)−|−x|e|−x|(−x)2=f(x)−|x|e|x|x2=g(x)，
所以函数g(x)也是偶函数，
因为f(2)=2e2+8，所以g(2)=2，
不等式f(x)>2x2+|x|e|x|可化为f(x)−|x|e|x|x2>2，
即g(x)>g(2)，
所以|x|<2，解得−2所以f(x)>2x2+|x|e|x|的解集为(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
由x22f(x1)−x12f(x2)>x1x2(x2ex1−x1ex2)，可得f(x1)−x1ex1x12>f(x2)−x2ex2x22，令g(x)=f(x)−|x|e|x|x2，从而可得出函数g(x)在(0,+∞)上的单调性，再判断函数g(x)的奇偶性，结合f(2)=2e2+8，求得g(2)，而所求不等式可化为f(x)−|x|e|x|x2>2，再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案．
本题综合考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】14
【解析】解：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球的概率为14．
(2)解法一：搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，
将3个红球记为红1，红2，红3，画树状图如图所示：
共有16种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”(记为事件B)的结果只有6种，
所以P(B)=616=38．
法二：搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，
将3个红球记为红1，红2，红3，列表如图所示：
共有16种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”(记为事件B)的结果只有6种，
所以P(B)=616=38．
(1)根据古典概型的概率计算公式，计算出所求的概率．
(2)利用画树状图或列表，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求的概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)选①，A={x|2x−2x+1<1}={x|x−3x+1<0}={x|−1选②，A={x||x−1|<2}={x|−2选③，A={x|y=lg23−xx+1}={x|3−xx+1>0}={x|−1a=2时，B={x|x2+x−2<0}={x|−2所以A∩B={x|−1(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)={x|x≤−1或x≥1}；
(2)因为A={x|−1当−a=a−1，即a=12时，B=⌀；
当−a>a−1，即a<12时，B={x|a−1当−a12时，B={x|−a若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，即有A⫋B，
所以B≠⌀，则a<12a−1≤−1−a≥3或a>12−a≤−1a−1≥3，
解得a≤−3或a≥4，
即a的取值范围是(−∞,−3]∪[4,+∞)．
【解析】(1)选①②③，运用对数不等式的解法和绝对值不等式的解法、对数的真数大于0，化简可得集合A；由a=2，运用二次不等式的解法，可得集合B，再由交集和补集的性质，可得所求集合；
(2)由题意可得A⫋B，对a讨论，化简集合B，再解a的不等式组可得所求取值范围．
本题考查不等式的解法和集合的混合运算，以及充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题设知Δ=(−3p)2−4(−p)=9p2+4p=p(9p+4)>0，x1+x2=3p，
p=0，所以3px1+x22−p=3px1+3px2+p−p=3p(x1+x2)=9p2>0；
(2)因为3px1+x22+3p=3px1+3px2+4p=3p(x1+x2)+4p=9p2+4p，
x12−3px1−p=0，则x12=3px1+p，
3px2+x12+3p=3px2+3px1+4p=3p(x1+x2)+4p=9p2+4p，
所以u=p29p2+4p+9p2+4pp2=p9p+4+9p+4p=( p9p+4− 9p+4p)2+2≥2．
又当p=−12时，u=2，故umin=2．
【解析】(1)利用判别式得到p(9p+4)>0，再将x22整体代换，最后结合韦达定理化简即可；
(2)计算得3px1+x22+3p=3px2+x12+3p=9p2+4p，再代入整理成完全平方式即可．
本题主要考查一元二次方程根的分布，属于中档题．
18.【答案】解(1)∵关于x的不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集为{x|x<−3或x>−2}，
∴x1=−3，x2=−2是方程kx2−2x+6k=0的两根，所以x1+x2=2k=−5，∴k=−25．
(2)若不等式的解集为R，即kx2−2x+6k<0恒成立，
则满足k<0△=4−24k2<0，求得k<− 66．
【解析】(1)根据一元二次不等式的解法，二次函数的性质，可得x1=−3，x2=−2是方程kx2−2x+6k=0的两根，利用韦达定理求得k的值．
(2)由题意利用二次函数的性质，求得k的取值范围．
本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)若A1∩A2=⌀，则t1−t2≠a−b，其中a，b∈A，否则t1+a=t2+b，A1∩A2≠⌀，
又n=5，A={1,2,5}，2−1=1，5−2=3，5−1=4，则t1，t2相差2，
所以T={1,3}或T={2,4}或T={3,5}；
(Ⅱ)不一定存在，
当A={1,2,5,7}时，2−1=1，5−1=4，5−2=3，7−1=6，7−2=5，7−5=2，则t1，t2不可能相差1，2，3，4，5，6，
这与T={t1,t2}⊂{1,2,,34,5,6}矛盾，故不都存在T；
(Ⅲ)因为C52=10，故集合A中的元素的差的绝对值至多由10种，
当n≥12时，结论都成立；
当n=11时，不存在A⊂S，|A|=5，使得A中任意两个元素差不同，所以当n=11时，结论成立；
当n=10时，若A={1,3,6,9,10}，则不存在T；
综上所述，n的最小值为11．
【解析】(Ⅰ)由已知可得t1−t2≠a−b，其中a，b∈A，t1，t2相差2，由此分析求解即可；
(Ⅱ)当A={1,2,5,7}时，t1，t2不可能相差1，2，3，4，5，6，即可判断得到答案；
(Ⅲ)因为C52=10，故集合A中的元素的差的绝对值至多由10种，分别研究n≥12，n=11，n=10，即可得到答案．
本题考查了新定义问题，涉及了最值问题的求解，解题的关键是正确理解题意，考查了逻辑推理能力，属于中档题．第1次摸球
第2次摸球
红1
红2
红3
白
红1
(红1，红1)
(红1，红2)
(红1，红3)
(红1，白)
红2
(红2，红1)
(红2，红2)
(红2，红3)
(红2，白)
红3
(红3，红1)
(红3，红2)
(红3，红3)
(红3，白)
白
(白，红1)
(白，红2)
(白，红3)
(白，白)

2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

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