2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师大青冈实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师大青冈实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=2x的焦点坐标是( )
A. (0,12)B. (0,−12)C. (−12,0)D. (12,0)
2.直线x+y+2=0的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π2D. 3π4
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=2an−1，则a1a3a5=( )
A. 8B. −8C. 64D. −64
4.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,1)，B(0,1,0)，C(1,2,3)，则点C到直线AB的距离为( )
A. 32B. 3C. 2D. 2 2
5.平面内动点P在椭圆x24+y23=1上，则|OP|(O为坐标原点)的最大值为( )
A. 4B. 2C. 1D. 3
6.等差数列{an}中，a2+a11+a14=9，则前17项的和a1+a2+a3+⋯+a17=( )
A. 0B. 17C. 34D. 51
7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1=AB，D，E，F分别是棱AA1，BB1，BC的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是( )
A. 510
B. 55
C. 1510
D. 155
8.已知F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若该椭圆上存在两点A、B，使得F1A=2F2B，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0,13)C. (12,1)D. (13,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：(a+2)x+3y+3=0与l：x−y−2=0，则( )
A. 若a=1，则两直线垂直B. 若两直线平行，则a=5
C. 直线l1恒过定点(0,−1)D. 直线l2在两坐标轴上的截距相等
10.在等差数列{an}中，a1>0，a6a70)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M(5,2)射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点N.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，下列说法正确的是( )
A. 若p=2，则x1x2=14
B. 若p=2，NA平分∠BAM，则N点横坐标为3
C. 若p=4，抛物线在点A处的切线方程为x−y+1=0
D. 若p=4，抛物线上存在点P，使得PA⊥PB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l1：2ax+y−2=0与直线l2：2x+ay−3=0平行，则实数a= ．
14.数列{an}的前n项和为Sn=3n，则an=______．
15.经过点A(2,−2)且与双曲线x22−y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．
16.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为np1+p2+⋅⋅⋅+pn，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1，则a2023的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,8)，C(0,2)，求：
(1)边BC上的中线所在直线的方程；
(2)边BC上的高所在直线的方程．
18.(本小题12分)
如图，已知圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴正半轴分成两段圆弧，其弧长之比为1：2．
(1)求圆C的方程；
(2)已知点P(3,2)，是否存在弦AB被点P平分？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=3an+1．
(1)证明：数列{an+12}为等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和为Sn．
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为正方形，PB⊥平面ABCD，E为线段PB的中点．
(1)证明：AC⊥PD；
(2)若PB=2AB=2，求直线DE与平面PCD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知等差数列{an}的公差d≠0，前3项和S3=9，且a1，a2，a5成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若bn=2n−1an，求数列{bn}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1(− 3,0)，F2( 3,0)，过点F1作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，且|F1P|= 2．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的左顶点为A，过点Q(2,0)的直线l与双曲线E交于M，N两点，连接MA，NA分别交于y轴于点R，S，且|RS|=2，求直线l的方程及△AMN的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题给出抛物线方程，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．
根据抛物线方程，可得2p=2，得p2=12.再根据抛物线是开口向右以原点为顶点的抛物线，即可得到它的焦点坐标．
【解答】
解：∵抛物线方程为y2=2x，
∴2p=2，得p2=12，
∵抛物线开口向右且以原点为顶点，
∴抛物线的焦点坐标是(12,0)，
故选D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考察斜率和倾斜角的关系，属于简单题．
先求斜率再求倾斜角
【解答】
解：斜率k=−1，故倾斜角为3π4，选D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化能力以及计算能力，是中档题．
利用数列的递推关系式求解首项，然后求解通项公式，即可求解a1a3a5．
【解答】
解：当n=1时，3S1=3a1=2a1−1，解得a1=−1，
当n≥2时，3Sn=2an−1，3Sn−1=2an−1−1，
两式相减得3an=2an−2an−1，即anan−1=−2，所以，数列{an}是以−1为首项，−2为公比的等比数列．
∴an=−(−2)n−1，a3=−4，a5=−16，
∴a1a3a5=a33=−64，
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：过点C作直线AB的垂线，垂足为D，设D(x,y,z)，BD=λBA，则BD=(x,y−1,z)，
结合BA=(1,0,1)，可得x=λy−1=0z=λ，解得x=λy=1z=λ，所以D(λ,1,λ)，可得CD=(λ−1,−1,λ−3)．
因为CD⊥AB，所以CD⋅AB=0，即(λ−1)×1+(−1)×0+(λ−3)×1=0，解得λ=2，可得D(2,1,2)．
因此，点C到直线AB的距离等于|CD|= (2−1)2+(1−2)2+(2−3)2= 3．
故选：B．
利用共线向量定理，求出直线AB上满足CD⊥AB的点D的坐标，再根据两点间的距离公式算出答案．
本题主要考查空间向量的数量积及其性质、空间两点间的距离公式等知识，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：平面内动点P在椭圆x24+y23=1上，则|OP|(O为坐标原点)的最大值为a=2．
故选：B．
由椭圆的性质，直接写出结果即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的应用，长轴的求法，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由{an}是等差数列，得a2+a11+a14=3a9=9，即a9=3，
所以a1+a2+a3+⋯+a17=172(a1+a17)=17a9=17×3=51．
故选：D．
由题意可知a2+a11+a14=3a9=9，即a9=3，进一步利用a1+a2+a3+⋯+a17=172(a1+a17)=17a9即可求解．
本题考查等差数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设O，O1分别是AC，A1C1的中点，连接OO1，OB，O1B1，则OO1//AA ​1，
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，
又根据题意可得：平面ACC1A1⊥平面ABC，且交线为AC，又OB⊂平面ABC，
∴OB⊥平面ACC1A1，又OO1⊂平面ACC1A1，
∴OB⊥OO1.又根据直三棱柱的性质可知：AA1⊥平面ABC，
∴OO1⊥平面ABC，AC，OB⊂平面ABC，
∴OO1⊥AC，OO1⊥OB，
∴以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设AB=AC=BC=AA1=2，
则D(0,−1,1),F( 32,12,0),C1(0,1,2),E( 3,0,1)，
∴DF=( 32,32,−1),C1E=( 3,−1,−1)，
设异面直线DF与C1E所成角为θ，
则csθ=|DF⋅C1E|DF|⋅|C1E||=12× 5= 510．
故选：A．
建系，根据向量法即可求解．
本题考查向量法求解异面直线所成角问题，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：延长AF1交椭圆于A1，根据对称性可得|A1F1|=|BF2|，
因为F1A=2F2B，所以2|A1F1|=|AF1|，
如图，过A，B分别作椭圆的左准线的垂线，垂足分别为M，N，
过A1作A1D⊥AM ，于D，设|A1F1|=m，
根据椭圆的第二定义可得|AD|=|AM|−|A1N|=2me−me=me，
令直线AA1的倾斜角为θ，且0