2024届陕西省铜川市高三下学期第二次模拟考试数学

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全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：高考范围。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．2C．D．
3．从1，2，…，9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．倍B．3倍C．倍D．9倍
5．已知，是上的两个动点，是线段的中点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．D．
7．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点在准线上．满足轴．若，则（ ）
A．2B．C．3D．
8．在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ）
A．28B．20C．18D．12
9．已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
10．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边的比为，则与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点，交双曲线的右支于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，且，则______．
14．已知锐角，满足，，则______．
15．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第个图的化学键和原子的个数之和为______个．（用含的代数式表示）
15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：
（1）根据统计完成以上列联变，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；
（2）能否有的把握认为回老家祭祖与年龄有关？
参考公式：，其中．
参考数据：
18．（本小题满分12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）证明：；
（2）若，当取最大值时，求的面积．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，侧面底面，且为等边三角形，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点．直线与椭圆相交于，两点，直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）若是的两个极值点，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线，分别交于，两点（异于极点），求线段的长度．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，，函数的最小值为2，证明：
（1）；
（2）．
铜川市2024年高三质量检测卷・数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．B 由题意知，，所以．故选B．
2．A ，则．故选A．
3．C 和为质数有，共14种情况，因此概率为．故选C．
4．B 设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的3倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的3倍．故选B．
5．C 因为中点为，又，所以，点在以为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为．故选C．
6．C 因为函数是定义在上的奇函数，所以．故选C．
7．A 依题意，，为等边三角形，．故选A．
8．A 根据题意得，，解得或（舍），则，故选A．
9．B 由可知：关于对称，故，，时，取最小值为．故选B．
10．A ，令，则在上恒成立，故在上为减函数，故，则，故，即．故选A．
11．C 设球心为，在平面内的射影为，为中点，于，半径为，，，则，．故选C．
12．C 设，，直线的方程为，其中，联立得．，，由，得，即，，即，，整理得，离心率．故选C．
13． ，，，解得，，．
14． 由，，，均为锐角，得，，则．
15． 由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；
第2个图中有11个化学键和10个原子；
第3个图中有16个化学键和14个原子，
观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，
则第个图有个化学键和个原子，所以总数为．
16． ，即，对恒成立，当时，，，故符合题意，当时，，，在上，不合题意，故．
17．解：（1）补全表格如下：
该社区50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；
（2），
有的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．
18．（1）证明：，
则，
而，
故，
故，
故；
（2）解：，
当且仅当时，取最大值，此时，且，则，，故．
19．（1）证明：如图，取中点，连接，，
为等边三角形，，
又侧面底面，底面，侧面底面，
平面．平面，，
又，分别为，中点，，
又，，
，平面，平面，
又平面，；
（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设等边的边长为4，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则即则可取，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）设点，的坐标分别为、．
由题意有解得
故椭圆的标准方程为；
（2）证明：设直线的斜率为，可得直线的斜率为，
设点的坐标为，点的坐标为，
直线的方程为，
联立方程消除后有，有，可得，，
同理，，
由对称性可知直线所过的定点必定在轴上，设点的坐标为，
有，有，化简得，解得，
故直线过定点．
21．解：（1）当时，，，，，
所以在处的切线方程为；
（2）证明如下：由题意可知是方程的两个不等的正实数根，
，，
．
要证成立，只需证，即证，
即证，即证，即证，
设，则，即证，
令，则，
在上单调递减，则，，故．
22．解：（1）曲线（为参数），消去参数得，
将代入，得曲线的极坐标方程为，
由得，，
曲线的直角坐标方程为；
（2）易知直线的极坐标方程为，
代入曲线，的极坐标方程得，，
．
23．解：由于，，则，当且仅当取等号，
故的最小值为．
证明：（1），，，，，
，
当且仅当，时取等号；
（2），，，
当且仅当，即时取等号．回老家
不回老家
总计
50周岁及以下
55
50周岁以上
15
40
总计
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
回老家
不回老家
总计
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100