浙江省宁波市青藤书院2023-2024学年上学期九年级数学9月份培优试卷（含答案）

这是一份浙江省宁波市青藤书院2023-2024学年上学期九年级数学9月份培优试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题6分，共30分）
1．某市举办篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D，E，F，G，H五个队，如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中个抽取一个队进行首场比赛，那么首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的图象有两点，坐标分别为，，若，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若存在3个互不相同的实数a，b，c，使得，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知为十个不同的正整数，满足或3，其中，约定．若中最大的数为M，最小的数为m，则的最大值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
5．如图，在中，，，D为内一点，，，，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．5
二、填空题（每题6分，共36分）
6．计算的值为______．
7．已知，则代数式的值为______．
8．定义，，则的最小值为______．
9．已知n个数，它们每一个数只能取0，1，-2这三个数中的一个，且满足，则的值是______．
10．如图，直线与反比例函数图象交于点A，B为OA的中点，过点B作y轴的平行线交双曲线于点D，交x轴于点C，连结AD．若为等腰三角形，则______．
11．若质数p，q满足：，，则pq的最大值为______．
三、解答题（每题16分，共64分）
12．已知二次函数表达式为．
（1）用b表示二次函数的顶点坐标，并求出顶点纵坐标的最大值；
（2）当时，恒成立，求b的取值范围．
13．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“蜜蜂数”．将一个“蜜蜂数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．
（1）计算：，；
（2）若s，t都是“蜜蜂数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最大值．
14．定义：如果三角形两边的乘积是第三条边上高线平方的4倍，则称这个三角形是“小屋三角形”，这条高线叫做“小屋线”．
（1）如图1，中，，，求证：是“小屋三角形”．
（2）如图2，是圆O的内接三角形，∠ACB是钝角，AD是的“小屋线”，求证：AD等于圆O直径的四分之一．
（3）如图3，在（2）的条件下，P是优弧BAC的中点，连结PA，PB，当PB与PA的平方差为20时，求圆O的直径．
15．如图，在中，，，点D在线段AC上移动，点E在BC射线上，满足．
（1）求证：．
（2）如图2，过点B作，，垂足分别为G，F，，，求的面积．
培优卷答案
一、选择题（每题6分，共30分）
1．B
2．B
3．A 可知有三个不相等的实数根，易知当时，，符合题意．
4．B 首先，，这是因为最大数与最小数之间的“距离”≤5，故至多差
若可取15，则所有数只能差3，与“不同”矛盾
下面构造 1 3 6 9 12 15 13 10 7 4
5．A 构造，且，则
导角可知，又，∴，∴
二、填空题（每题6分，共36分）
6． ，故原式
7．2019
原式
8． 构造，又，且在上单调递增
∴
∴最小值即为
9．-125 设1有a个，-2有b个
∴原式
10．或 ①若A为顶角，则无解
②若B为顶角，则取AD中点E，
利用BE，AD斜率乘积为1，得，∴
③若D为顶角，方法可知，故
11．1007 ，又，故
又，易得当，时，取最大值1007
三、解答题（每题16分，共64分）
12．（1）
（2）对称轴为
①当时，只需，即
②当时，只需，即
综上可知即可
13．（1）9，14
（2）实际上不难得得即n的各位数字之和
又，，∵，∴
从而（需各位数字不同）
14．（1）略
（2）由题意得①
②
由①②易得
（3）构造，由折弦定理可知
则
又，故直径为
15．（1）以AD为边外作正，可知
∴，∴
（2）