四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题（含答案）

这是一份四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自已的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
第I卷
（选择题，共60分）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C.1 D.
2.命题“”的否定形式是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，已知集合，则阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
4.对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A.变量与呈现正相关，且 B.变量与呈现负相关，且
C.变量与呈现正相关，且 D.变量与呈现负相关，且
5.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.6.已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（ ）
A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒
8.现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标.若点的广义坐标分别为，则“"是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知点是椭圆上的动点，若到轴与轴的距离之和的范围是，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动.当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知是抛物线上任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷：（非选择题，共90分）
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上
13.一个几何体的三视图的正视图是三角形，则这个几何体可以是__________.（写出一个你认为正确的答案即可）
14.已知函数，若，则实数的取值范围为__________.
15.平面四边形中，，则的最大值为__________.
16.已知函数.给出下列四个结论：
①；
②存在，使得；
③对于任意的，都有；
④对于任意的，都有.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
记.
（1）当时，为数列的前项和，求的通项公式；
（2）记是的导函数，求.
18.（本小题满分12分）
某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布.
（1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人.甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次；
（2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望.
参考数据：
参考公式：若，有，
19.（本小题满分12分）
如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点.
（1）证明：；
（2）求出二面角的平面角中最大角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为.过点的直线与双曲线相交于两点，点关于轴的对称点为，且直线的斜率之积为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线分别与直线相交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的定点，并求出定点的坐标.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，判断的零点个数并说明理由；
（2）若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围.
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若为曲线上任意一点，将逆时针旋转得到，求线段中点的轨迹的极坐标方程.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）函数的最小值为，若正实数满足，求的最小值.
成都市2021级高中毕业班第二次诊断性检测
数学（理科）参考答案及评分意见
第I卷（选择题，共60分）
一､选择题：（每小题5分，共60分）
1.B； 2.C； 3.B； 4.C； 5.A； 6.B； 7.D； 8.C； 9.D； 10.D； 11.A； 12.D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二､填空题：（每小题5分，共20分）
13.三棱柱，三棱锥，圆锥等（其他正确答案同样给分）； 14.；
15.4； 16.②③④.
三､解答题：（共70分）
17.解：（1）当时，.
当时，.
又当时，不满足上式，
所以
（2）
①
②
①-②得，
18.解：（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，
由题意可得.
即，解得.
甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，
又，即.
学生在甲市本次考试的大致名次为1587名.
（2）在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974.
抽取1名化学成绩在之外的概率为0.0026.
随机变量服从二项分布，即.
.
的数学期望为.
19.解：（1）取的中点为，连接.
四面体为正四面体，
为正三角形.
又为的中点，
.同理可得.
平面，
平面.
又平面.
（2）取的中点为，连接，设.
由（1）得平面.
平面.
为二面角的平面角，为二面角的平面角，为二面角的平面角.
由图形对称性可判断.
易得.
在中，.
在中，.同理可得.
.
.
二面角的平面角最大，其余弦值等于.
20.解：（1）设.
在双曲线上，
.
解得.
双曲线的标准方程为.
（2）设，直线.
由消去，
得.
.
直线，
令，解得.同理可得.
以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则定点一定在轴上。
令，得.
，解得或.
以为直径的圆恒过点.
21.解：（1）当时，.
，
当时，，
函数在上单调递增.
由，
，使得.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
又，
有两个零点.
（2）存在，使得当时，，
即存在，使得当时，.
设.
（i）当时，设.
.
在上单调递增，又，
在上单调递增.又，
在上恒成立.
.
当时，.
取，当时，恒成立.
当时满足题意.
（ii）当时，设.
.
在上恒成立，在上单调递增.
又在上恒成立.
设.
在上恒成立，在上单调递减.
又在上恒成立.
故恒成立，不合题意.
综上，的取值范围为.
22.解：（1）由曲线的参数方程可得，
化简得曲线的普通方程为.
（2）曲线的极坐标方程为.
设.
的轨迹的极坐标方程为.
23.解：（1），易知，
.
的解集为，
解得
（2）由（1）得，
的最小值为1，即.
当且仅当时，等号成立.
的最小值为4.