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2024呼和浩特高三下学期第一次质量数据监测试题（一模）数学（理）含答案
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这是一份2024呼和浩特高三下学期第一次质量数据监测试题（一模）数学（理）含答案，共11页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分，已知数列的前项和为，且满足，则，用一个圆心角为，面积为的扇形，在中，为线段的一个三等分点，等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名､考生号､座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.回答第I卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数，则（ ）
A. B. C.-1 D.0
3.在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（ ）种.
A.6 B.9 C.12 D.24
4.小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
5.已知样本数据的平均数为､方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A.110 B.200 C.65 D.155
7.小明将一颗实心玻璃球不小心掉人装满水的烧杯中，全部掉入后导致溢出部分水，将球通过工具取出后，发现烧杯中的水比之前少，不计取球过程中的损耗，若此时小明将此球放入一个三棱锥容器中，当球与三棱锥的四个面都相切时，此三棱锥的体积与表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10.在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知双曲线，在双曲线上任意一点处作双曲线的切线，交在第一､四象限的渐近线分别于两点.当时，该双曲线的离心率为（ ）
A. B.8 C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题-第23题为选考题，考生根据需求作答.
二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若实数满足，则的最小值为__________.
14.已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为__________.
15.已知，若直线与有个交点，则__________.
16.已知函数，若对于上任意两个不相等的数都满足.则实数的取值范围是__________.
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
17.在中，分别为边所对的角，且满足.
（1）求的大小；
（2）的角平分线交边于点，当时，求.
18.已知菱形满足，将沿折起，使得.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.甲､乙､丙三名高中生进行传球训练.第一次由甲将球传出，传给乙的概率是，传给丙的概率是；乙传给甲和丙的概率都是；丙传给甲和乙的概率地都是.如此不停地传下去且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第一次触球者，第次触球者是甲的概率记为.
（1）求；
（2）证明：为等比数列.
20.已知函数.
（1）求在处的切线方程，并证明的图象在直线的上方；
（2）若有两个不相等的实数根，求证：.
21.已知抛物线上任意一点满足的最小值为（为焦点）.
（1）求的方程；
（2）过点的直线经过点且与物线交于两点，求证：；
（3）过作一条倾斜角为的直线.交抛物线于两点，过分別作抛物线的切线.两条切线交于点，过任意作一条直线交抛物线于，交直线于点，则满足什么关系？并证明.
（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，从极点作射线，交射线于点为射线上的点.且点的轨迹方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求的极坐标方程；
（2）当将与轴所围成的面积分为时，求的普通方程.
23.已知.
（1）求的解集；
（2）记的最小值为，且，求证：.
呼和浩特市高三理科数学一模参考答案
一､选择题
二､填空题
13.9 14. 15. 16.
三､解答题
17.解：（1）.
又
（2）中，由余弦定理，
可得
解得.
是角平分线
，
设，则
整理得
18.（1）证明：如图，取中点，连接.
在菱形中，
，又，
则.
所以
又，即
又，
平面
又平面
所以平面平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则
设平面的一个法向量为，
则，取
所以与平面所成角的正弦值为.
19.解：
（1）
（2）当时，
，即
当时，符合上式
故数列是首项为，公比为的等比数列
20.（1）
又
切线的方程为
下证：，即证：，即
令，则，且
，故在上单调递减且小于0，在上单调递增故在上单调递减，在上单调递增
故，所以，即的图象在直线的上方.
（2）由题知有两根，记在点､点处的切线方程分别为，由（1）知
的方程为
下证：的图象在直线的上方，即证：，即
令，则
，则
，则
故在上单调递减且小于0，在上单调递增；
故在上单调递减，在上单调递增
故，所以，即的图象在直线的上方.
假设与交于与交于，则
联立得
联立得
所以.
21.（1）解：令，则
因为，所以的最小值为，即，抛物线的方程为
（2）证明：令，即则
联立得，由韦达定理得
综上所述：
（3）满足的关系为：.
联立得
假设抛物线在处的切线为
在处的切线为
联立得
令
则
（*）
联立得
联立得
所以
所以，即.
22解：
（1）设点的极坐标为，
则
（2）直线过半圆的圆心
所以直线的倾斜角为或时满足题意
曲线的普通方程为
23.（1）
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
综上所述，的解集为或
（2）当时，的最小值为
，
当且仅当取等
令，则
当且仅当取等，此时1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
A
D
B
B
A
B
C
A
A
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名､考生号､座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.回答第I卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数，则（ ）
A. B. C.-1 D.0
3.在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（ ）种.
A.6 B.9 C.12 D.24
4.小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
5.已知样本数据的平均数为､方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A.110 B.200 C.65 D.155
7.小明将一颗实心玻璃球不小心掉人装满水的烧杯中，全部掉入后导致溢出部分水，将球通过工具取出后，发现烧杯中的水比之前少，不计取球过程中的损耗，若此时小明将此球放入一个三棱锥容器中，当球与三棱锥的四个面都相切时，此三棱锥的体积与表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10.在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知双曲线，在双曲线上任意一点处作双曲线的切线，交在第一､四象限的渐近线分别于两点.当时，该双曲线的离心率为（ ）
A. B.8 C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题-第23题为选考题，考生根据需求作答.
二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若实数满足，则的最小值为__________.
14.已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为__________.
15.已知，若直线与有个交点，则__________.
16.已知函数，若对于上任意两个不相等的数都满足.则实数的取值范围是__________.
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
17.在中，分别为边所对的角，且满足.
（1）求的大小；
（2）的角平分线交边于点，当时，求.
18.已知菱形满足，将沿折起，使得.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.甲､乙､丙三名高中生进行传球训练.第一次由甲将球传出，传给乙的概率是，传给丙的概率是；乙传给甲和丙的概率都是；丙传给甲和乙的概率地都是.如此不停地传下去且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第一次触球者，第次触球者是甲的概率记为.
（1）求；
（2）证明：为等比数列.
20.已知函数.
（1）求在处的切线方程，并证明的图象在直线的上方；
（2）若有两个不相等的实数根，求证：.
21.已知抛物线上任意一点满足的最小值为（为焦点）.
（1）求的方程；
（2）过点的直线经过点且与物线交于两点，求证：；
（3）过作一条倾斜角为的直线.交抛物线于两点，过分別作抛物线的切线.两条切线交于点，过任意作一条直线交抛物线于，交直线于点，则满足什么关系？并证明.
（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，从极点作射线，交射线于点为射线上的点.且点的轨迹方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求的极坐标方程；
（2）当将与轴所围成的面积分为时，求的普通方程.
23.已知.
（1）求的解集；
（2）记的最小值为，且，求证：.
呼和浩特市高三理科数学一模参考答案
一､选择题
二､填空题
13.9 14. 15. 16.
三､解答题
17.解：（1）.
又
（2）中，由余弦定理，
可得
解得.
是角平分线
，
设，则
整理得
18.（1）证明：如图，取中点，连接.
在菱形中，
，又，
则.
所以
又，即
又，
平面
又平面
所以平面平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则
设平面的一个法向量为，
则，取
所以与平面所成角的正弦值为.
19.解：
（1）
（2）当时，
，即
当时，符合上式
故数列是首项为，公比为的等比数列
20.（1）
又
切线的方程为
下证：，即证：，即
令，则，且
，故在上单调递减且小于0，在上单调递增故在上单调递减，在上单调递增
故，所以，即的图象在直线的上方.
（2）由题知有两根，记在点､点处的切线方程分别为，由（1）知
的方程为
下证：的图象在直线的上方，即证：，即
令，则
，则
，则
故在上单调递减且小于0，在上单调递增；
故在上单调递减，在上单调递增
故，所以，即的图象在直线的上方.
假设与交于与交于，则
联立得
联立得
所以.
21.（1）解：令，则
因为，所以的最小值为，即，抛物线的方程为
（2）证明：令，即则
联立得，由韦达定理得
综上所述：
（3）满足的关系为：.
联立得
假设抛物线在处的切线为
在处的切线为
联立得
令
则
（*）
联立得
联立得
所以
所以，即.
22解：
（1）设点的极坐标为，
则
（2）直线过半圆的圆心
所以直线的倾斜角为或时满足题意
曲线的普通方程为
23.（1）
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
综上所述，的解集为或
（2）当时，的最小值为
，
当且仅当取等
令，则
当且仅当取等，此时1
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