2023年河南省郑州市中原区中考数学三模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的绝对值是，
故选：B．
2. 中国旅游研究院近期发布《中国旅游经济蓝皮书（）》，预计年国内旅游人数约为亿人次，同比增长，其中“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：亿．
故选：A．
3. 如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成，然后结合图形作出左视图即可．
【详解】解：从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成，
该几何体的左视图是：

故选：D．
【点睛】题目主要考查几何体的俯视图及左视图，熟练掌握三视图的作法是解题关键．
4. 下列运算正确是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5. 物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜被为，，，小木块在斜坡上，且，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形的内角和可得，再由平行线的性质即可求的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解答的关键是明确三角形的内角和为，熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：B．
6. “双减”政策实施后，某校展开了丰富的课外活动，，，，，分别代表“书法”“绘画”“器乐”“体育”等课外活动，要求每名学生必选且只选一种活动参加，该校八年级学生选择情况如下表及如图所示的扇形能计图：
下列选项错误的是（ ）
A. 八年级共人B.
C. “扇形”的圆心角是D. “”所占的百分比是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
用类的人数除以可得总人数，用总人数乘可得的值，用乘类所占比例可得“扇形”的圆心角的度数，用类的人数除以总人数可得“”所占的百分比．
【详解】解：八年级共：人，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
“扇形”的圆心角是：，故选项C符合题意；
“”所占的百分比是，故选项D不符合题意．
故选：C．
7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. 4B. C. D. －4
【答案】B
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于n的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
8. 四张背面完全相同的卡片上分别印有等边三角形，平行四边形，正方形，圆，现将印有的图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形既是轴对称图又是中心对称图形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．将印有等边三角形，平行四边形，正方形，圆的卡片分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将印有等边三角形，平行四边形，正方形，圆的卡片分别记作、、、，
列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中抽到的卡片上印有的图形既是轴对称图又是中心对称图形的有种结果，
所以抽到的卡片上印有的图形既是轴对称图又是中心对称图形的概率为，
故选：C．
9. 如图1，中，点从点出发，匀速向点运动，连接，设的长为，的长为，则关于的函数图像如图2所示，其中函数图像最低点，则的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点，根据垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，结合图2可得，，，根据勾股定理分别求出、的长，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：过点作于点，如图所示：

根据点与直线上点的距离垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，
图2函数图像最低点，
此时，，
由图2可知，当点运动到点时，所对的函数值为2，
，
在中，，
在中，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图像、勾股定理，理解函数图像中最低点坐标的实际意义是解题关键．
10. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，对角线和交于点，作的平分线，交于点，交于点若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、用待定系数法求一次函数解析式．过顶点作于点，根据矩形的性质可得，则为等腰直角三角形，，根据角平分线的性质可得，进而求出，于是，，，再利用待定系数法分别求出直线与直线的解析式，最后联立求解即可．
【详解】解：如图，过顶点作于点，

四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为的平分线，，，
，
，
，，，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
联立直线与直线的解析式得，，
解得：，
．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 请你写出一个图象经过点的函数解析式：______．
【答案】，，（答案不唯一）．
【解析】
【分析】此题为开放性试题．写的时候，此题只需根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合的解析式即可．
【详解】解：将点代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得：
，，等，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的约分化简，属于基础题，掌握分式的运算法则并正确计算是解题的关键．
13. 如图，平行四边形中，，，平分交于点，，垂足为，交于点，点为中点，则的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查平行线四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，角平分线定义，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出，，即可求出的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出的长．由平行线的性质，角平分线定义推出，，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质即可推出，即可求出的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出的长．
【详解】解：延长交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为中点，，
．
故答案为：．
14. 如图，扇形中，，，点，分别为，的中点，以，为边在扇形内部构造正方形，延长交于点，连接，则阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．连接，利用正方形的性质和勾股定理可求出，，再根据阴影部分的面积为扇形的面积减去的面积再减去的面积，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，

∵，点，分别为，的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
，
，
阴影部分的面积为：
．
故答案为：．
15. 如图，矩形中，对角线，交于点，，，点为的中点，点为，上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，当点落在矩形的对角线上时，的长为______．
【答案】或##或3
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质和折叠的性质及勾股定理，本题要数形结合即可解答．
分两种情况讨论，当点在上时，可得等边三角形，从而得出，此时，当点在上时，刚好和点重合，此时．
【详解】解：当点在上时，如图：

由折叠的性质可知，，，，
，四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，
当点在上时，刚好和点重合，如图：

由勾股定理得，
是中点，
，
由折叠的性质知，
在中，，，
．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）先求出每个不等式的解集，找到公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】（1）解：
．
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，，
∴原不等式组的解集是．
【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的三角函数值、解一元一次不等式组、零指数幂等知识，熟练掌握运算法则和步骤是解题的关键．
17. 年月日至月日，党的二十大胜利召开，为学习“二十大”精神，某中学在七、八年级同学中开展了“党在我心中“知识竞赛满分分，每年级各有人参加，为了解竞赛情况，校团委在两个年级中各随机抽取名同学的成绩进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：
八年级：
整理数据：
分析数据：
（1）填空：______；______；______；
（2）若八年级准备对竞赛中达到分的同学给予奖励，那么大约有多少名学生将会获得奖励？
（3）结合以上数据，你认为哪个年级的总体成绩更好？请说出你的理由．
【答案】（1）；；
（2）名
（3）八年级的成绩更好,理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数的意义和方差的意义．
根据总人数等于可得的值，根据中位数和众数的定义可得、的值；
总人数乘以样本中达到分的同学人数所占比例即可；
根据平均数、方差的意义求解即可．
【小问1详解】
解：，
七年级成绩重新排列为：
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、，
所以其中位数，九年级成绩的众数；
故答案为：；；；
【小问2详解】
（名），
即大约有名学生将会获得奖励；
【小问3详解】
八年级的成绩更好，
因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的高，方差也比七年级的小答案不唯一．
18. 走出郑州东站高铁站，站在西广场的游客，首先陕入眼帘的是一对高耸的双子塔年月竣工的双塔，构成大门的意象，双子塔也是郑州城市天际线上的重要地标某数学兴趣小组准备测量双子塔的高度，如图，小明在双子塔左楼底部点测得右楼楼顶的仰角为，小亮在左楼高处点测得右楼楼顶A的仰角为，请计算得出双子塔的高度结果精确到整数，参考数据：，，，
【答案】双子塔的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

由题意得：，，
设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
答：双子塔的高度约为．
19. 中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面切于点B．
（1）求证：；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等：
（1）如图所示，连接，根据等边对等角结合三角形外角的性质证明，由切线的性质得到，则由三角形内角和定理可得；
（2）设的半径为，则，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵水平地面切于点B，
∴，即，
∴，即；
【小问2详解】
解：设半径为，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
20. 某电商根据市场需求购进一批两种型号的电脑小音箱进行销售，每台型音箱的进价比A型音箱的进价多元，用元购进A型音箱与用元购进B型音箱的台数相同．
（1）求A，两种型号的电脑小音箱每台的进价：
（2）该电商计别购进A，B两种型号的电脑小音箱共台进行销售，其中A型音箱台数不少于B型音箱台数的倍，A型音箱每台售价为元，B型音箱每台售价为元，怎样安排进货才能使售完这台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）每台A型音箱的进价为元，则每台型音箱的进价为元
（2）购进台A型音箱，购进台型音箱所获利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数解析式和方程．
（1）设每台A型音箱的进价为元，每台A型音箱的进价为元，根据用元购进A型音箱与用元购进型音箱的台数相同列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设最大利润是元，购进台A型音箱，则购进台型音箱，根据总利润两种音响的利润之和列出函数解析式，再根据的取值范围，由函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：设每台A型音箱的进价为元，每台型音箱的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台A型音箱的进价为元，则每台型音箱的进价为元；
【小问2详解】
解：设所获利润是元，购进台A型音箱，则购进台型音箱，
根据题意得：，
型音箱台数不少于型音箱台数的倍，
，
解得，
，
随的增大而减小，
当时，w取最大值，最大值为．
答：购进台A型音箱，购进台型音箱所获利润最大，最大利润是元．
21. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，反比例函数经过矩形的顶点，，对角线．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）作出的垂直平分线，交于点，交于点；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
（3）连接，，判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）四边形是菱形，证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，根据勾股定理得到，舍去，于是得到反比例函数的解析式为；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）设与的交点为，根据线段垂直平分线的性质得到，，，根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【小问1详解】
设，，
，，
对角线，
，
即，
解得，舍去，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
如图所示；直线即为所求；
【小问3详解】
四边形是菱形，
证明：设与的交点为，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，基本作图，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，正确地作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线与该抛物线没有交点，
（3）若，为抛物线上两点，为抛物线上点和点之间的动点（含点，），点的纵坐标的取值范围为，求的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式和性质，根的判别式．在解题时要注意二次函数的增减性，“开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小．
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）联立直线与抛物线解析式可得，利用根的判别式即可得出答案；
（3）利用点纵坐标的取值范围，反推出的值，进而得到的值．
【小问1详解】
解：由题意可知：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
证明：联立直线与抛物线解析式可得：
，
，
，
方程无实根，即直线与该抛物线没有交点；
【小问3详解】
解：点纵坐标的取值范围为，
当时，，
解得：，，
得点，，
当时，，
解得：，，
得点，，

如图，
，
，，
，

如图，，
，，
，
综上所述：或．
23. 在矩形中，将线段绕点在矩形内部逆时针旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，将对角线绕点逆时针旋转的度数，得到线段，点的对应点为点，连接并延长交射线于点．

（1）当点落在上时，线段与线段的数量关系为______；
（2）如图，当点落在矩形内部时，判断线段与线段的数量关系并证明；
（3）如图，在（2）的条件下，矩形中，，，点为射线上一个动点，过点作，垂足为点，当时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2），证明过程见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质先证明，从而得出角相等，再证四边形为矩形，根据证四边形为正方形，即可得出；
（2）根据旋转性质先证明从而得出角相等，再证四边形为矩形，根据证四边形为正方形，即可得出；
（3）分两种情况画出图形进行分析：当点在点左侧时，当点在点右侧时．
【小问1详解】
解：由旋转可得：，，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
．
故答案为：．
【小问2详解】
解：关系为：，理由如下：
如图，连接，

由旋转可得：，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【小问3详解】
解：的长为或．
理由如下：
，，
是等边三角形，
，，
设，
当点在点左侧时，连接，如图所示：

，
，，
在中，，
∴，
由（2）得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点在点右侧时，连接，如图所示：

，
，
在中，，
由（2）得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，第3问有一定的难度，注意分类讨论是解题的关键．
课外活动种类
人数人
成绩单位，分
七年级
八年级
年级
统计量
平均数
众数
中位数
方差
七年级
八年级