2023年浙江省台州市路桥区东方理想学校中考数学二模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了相反数，利用相反数的定义判断即可．
【详解】的相反数是，
故选：D．
2. 如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从上面看，能看到的图形即可，即俯视图．
【详解】该立体图形的俯视图为：
故：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，正确确定三视图是本题的关键．
3. 2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约公里，总投资约亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法， 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：亿
故选：C.
4. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法可判定A，根据同底数幂除法可判定B，利用积的乘法可判定C，利用最简二次根式与合并同类二次根式以及加减法可判断D
【详解】解：A．a2a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；
B．，原式计算错误，故本选项错误；
C．（a2b）2=a4b2，原式计算错误，故本选项错误；
D．，原式计算正确，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查同底数幂乘除法，积的乘方，二次根式加减法，掌握同底数幂乘除法，积的乘方，二次根式加减法是解题关键．
5. 九年级1班30名同学的体育素质测试成绩统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A. 平均数，方差B. 中位数，方差C. 中位数，众数D. 平均数，众数
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】解：这组数据中成绩为24、25的人数和为30-（2+3+6+7+9）=3，
则这组数据中出现次数最多的数30，即众数30，
第15、16个数据分别为29、29，
则中位数为29，
故选：C．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的横坐标介于（ ）
A. 和0之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，在中，由勾股定理得从而求出OC的长即可．
【详解】∵点，，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
8. 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间汪水时t（s）的大致图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随时间增加，即可得出答案．
【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）为零，即h不会随时间t的增加而增大，故选项A、B、C不合题意；
当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）随时间t的增加而增大，当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，故选项D符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查一次函数的图像，要联系生活经验，分阶段分析才能选出正确的答案．
9. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深寸，锯道尺（1尺寸），则这根圆柱形木材的直径是（ ）
A. 12寸B. 13寸
C. 24寸D. 26寸
【答案】D
【解析】
【分析】延长，交于点，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【详解】解：延长，交于点，连接，
由题意知过点，且，
为半径，
∴尺寸，
设半径，
∵，
∴
在中，根据勾股定理可得：
解得：，
∴木材直径为26寸；
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．
10. 如图是一个由五张纸片拼成的边长为10的正方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中与是两张全等的纸片，与是两张全等的纸片，中间是一张四边形纸片已知，，记纸片的面积为，四边形纸片的面积为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点F作于H，作于T，延长交于P，过点B作于G，连接，先证四边形为平行四边形，四边形为矩形，在中根据，可求出，，证∽得，则，再证∽得，进而得，然后证∽得，据此可证为的中位线，从而得，在中由勾股定理得，则，由此可得，则，据此可分别求出，，继而可得出的值．
【详解】解：过点F作于H，作于T，延长交于P，过点B作于G，连接，过点M作于点Q，如图，
≌，≌，
，，，，
，，
即：，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，且边长为10，
，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
又，
由勾股定理得：，
即：，
，
，，
，，
，
∽，
，
即：，
在中，由勾股定理得：，
即：，
，
，，
∽，
，
即：，
，
中，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
，
点P为的中点，
，
，
为的中位线，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，三角形的中位线定理，三角形的面积计算，勾股定理等知识点，解答此题的关键熟练掌握相似三角形的判定方法，利用相似三角形的性质找出线段之间的关系，并利用勾股定理进行计算．
二、填空题
11. 分解因式：x2-2x+1=__________．
【答案】（x-1）2
【解析】
【详解】由完全平方公式可得：
故答案为．
【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.
12. 一个不透明布袋中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式即可求解．
【详解】解：从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用概率公式计算概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13. 如图，五边形是正五边形，若，则__________．
【答案】72
【解析】
【详解】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
14. 如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，，若，则x的取值范围是_____________．
【答案】或
【解析】
【分析】首先将点代入一次函数的解析式，即可求得点B的坐标，再根据两函数的图象，即可解答．
【详解】解：将点代入一次函数的解析式，
得，解得
故点，
由图象可知：当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了利用反比例函数图象与一次函数图象的交点求自变量的取值范围，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
15. 如图，中，，，点E在上且，点F在上，连接，若与相似，则______ ．

【答案】5或
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质应用．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序．分类讨论时，当∽时，则；当∽时，则，即可解答．
【详解】解：当时，
则，
，
；
当时，
则，
故答案为5或.
16. 如图，弧所对圆心角，半径为8，点C是中点，点D弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 ____________________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，连接，以为边向下作正方形，连接，勾股定理求出的长，证明，得到，根据，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，以为边向下作正方形，连接．

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴AE的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义进行化简即可得到结果．
【详解】解：原式
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答佌题的关键．
18. 解不等式组：．
【答案】2≤x＜5
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：x＜5．
解不等式②得：x≥2．
∴原不等式组的解为2≤x＜5．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；
（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．
详解】解：（1）∵，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．
20. 如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cs78°≈0.21，tan78°≈4.70）
【答案】0.07m
【解析】
【分析】先在图2中，设AB与CE相交于点Q利用等腰三角形的三线合一性质求出∠CAQ＝65°，然后在Rt△ACQ中，求出AQ，再在图3中，过点E作EP⊥AB，垂足为P，先求出∠EAP＝78°，然后在Rt△APE中，求出AP，然后进行计算即可解答．
【详解】解：设AB与CE相交于点Q，如图：
∵CE∥MN，AB⊥MN，
∴AQ⊥CE，
∵AC＝AE，
∴∠CAQ∠CAE130°＝65°，
在Rt△ACQ中，AQ＝ACcs65°＝0.33×0.42＝0.1386m，
过点E作EP⊥AB，垂足为P，
∵∠CAB＝52°，∠CAE＝130°，
∴∠EAP＝∠CAE﹣∠CAB＝130°﹣52°＝78°，
在Rt△APE中，AP＝AEcs78°＝0.33×0.21＝0.0693m，
∴AQ﹣AP＝0.1386﹣0.0693≈0.07（m），
∴点E上升的高度为0.07m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系的解题关键，难点在于如何添加辅助线将问题转化为解直角三角形问题．
21. 如图，BE是的直径，点A，D是上的两点，连接，过点A作射线交BE的延长线于点C，使．
（1）求证：AC是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）如图，连接OA，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA＝∠OAB，可得出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AE于F，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠CAE，∠AEO=∠EAO，根据外角性质可得∠AEO=2∠CAE，由（1）可知∠CAO=90°，即可求出∠EAO=60°，可得△EAO为等边三角形，即可求出OF的长，根据扇形及三角形面积公式即可得答案．
【详解】（1）如图，连接OA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO，
∵∠EDA和∠ABO是所对的圆周角，
∴∠EDA=∠ABO，
∵，
∴∠EAC=∠OAB，
∵BE为的直径，
∴∠EAB=90°，
∴∠OAB+∠EAO=90°，
∴∠EAC+∠EAO=90°，即∠CAO=90°，
∴OA⊥AC，
是的切线．
（2）过O作OF⊥AE于F，
∵，OE=OA，
∴∠C=∠CAE，∠AEO=∠EAO，
∵∠AEO=∠C+∠CAE，
∴∠EAO=2∠CAE，
∵∠CAO=90°，
∴∠CAE+2∠CAE=90°，
解得：∠CAE=30°，
∴∠EAO=∠AEO=60°，
∴△EAO是等边三角形，
∴∠EOA=60°，OE=AE=3，
∴OF=OE·sin60°=，
∴S阴影=S扇形EAO-S△EAO==．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、扇形的面积的计算、等腰三角形的性质和圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 针对新型冠状病毒事件，九（1）班全体学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”知识竞赛后，班长对本班成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布条形统计图（未完成）．除了60到70之间学生成绩尚未统计，还有6名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99．
班长根据情况画出的扇形统计图如下：
（1）九（1）班有多少名学生？
（2）求出a、b的值？并请补全条形统计图：
（3）全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？
（4）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率．
【答案】（1）48人；（2）a=2 ，b=6，图见解析；（3）90人；（4）．
【解析】
【分析】（1）根据的人数以及所占的百分比即可求得九（1）班的学生数；
（2）根据题意直接可得b的值，再结合全班总人数即可求得a的值；
（3）用全校人数乘以九（1）班成绩在范围内人数所占班级的比例即可；
（4）画树状图得到所有的可能性，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行求解即可．
详解】（1）（人）
答：九年1班有48人数；
（2）由题意知：，
∴，
补图如图所示
（3）D类所占百分比，
∴（人），
答：估计该校成绩范围内的学生有90人；
（4）画树状图为：
由树状图可知：共有6种等可能的情况，其中恰好选中甲，乙两位同学的情况有2种，
∴恰好选中甲，乙两位同学的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从中找到相关信息，灵活运用相关知识是解题的关键．
23. 【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面高度为米，则__________，并求与函数表达式；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）约2.1米，理由见解析
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）设函数表达式为，先由图1得到函数顶点为，再将代入计算即可；
（3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可
【小问1详解】
解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图1所示：
【小问2详解】
解：由图1可得函数顶点为（2， 1.5），
∴水柱最高点距离湖面的高度为米，
∴
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
【小问3详解】
解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
（米），
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约2.1米才能符合要求．
【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
24. 如图，为的内接三角形，，连接．
（1）求证：；
（2）延长交于，过点作于点，交于点，求证：；
（3）在(2)的条件下，连接并延长交于，连接，若，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）延长交于，连接，根据为的直径，得出，根据，得出，等量代换可得；
（2）设得出，由，得出，即可得出；
（3）连接并延长交于，连，证明，设，则，在中，勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理求得，证明，得出，根据直角三角形斜边上的中线即可求解．
【小问1详解】
证明：延长交于，连接．
为的直径
，
，
，
，
【小问2详解】
设，
，
，
，
，
，
，
，
【小问3详解】
连接并延长交于，连，
∵，，，
，
，
设，则，
在中，
，
在中，，
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．成绩
24
25
26
27
28
29
30
人数
2
3
6
7
9
类别
分数段
频数（人数）
A
a
B
16
C
24
D
b
频数分布表
（米）
0
1
2
3
4
（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5