2023学年重庆市铜梁区巴川初级中学校上学期一阶考试九年级数学模拟试题（原卷版+解析版）

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（总分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”逐一判断即可．
【详解】A、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意；
B、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意；
C、是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D、可整理为，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次的一般形式，将方程整理成一般形式后，判断的值即可．
【详解】解：，
移项，得，
这里，
故选：D．
3. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数平移，先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】抛物线的顶点坐标为，
向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
平移后的抛物线的顶点坐标为．
故选：C．
4. 根据下列表格中二次函数的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查估算能力，仔细看表，可发现y的值和5最接近0，再看对应的x的值即可得．
【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
故关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是．
故选：C．
5. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
而离y轴的距离最远，离y轴的距离最近，
∴．
故选：C．
6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象的性质，根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵一次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴C选项符合题意；
故选：C．
7. 从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解决问题的关键．
先根据题意用木条的长为，表示出门框的长、宽、以及竹竿长是直角三角形的三个边长，然后根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为尺，宽为尺，
由勾股定理可得：．
故选：A．
8. 如图，二次函数的图象与x轴交于和原点．下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图像判断式子的值，根据开口判，根据对称轴判，根据与y轴交点判c，根据与x轴交点判，根据对称轴判C，即可得到答案；
【详解】A、由图象可知，故，不符合题意；
B、函数与x轴有两个交点，，即，不符合题意；
C、函数对称轴是，，，，，不符合题意；
D、，，，所以，正确，符合题意，
故选：D．
9. 如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，设，证明，则，，，由勾股定理得，，，则，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式是解题的关键．
10. 已知函数，，当时，，．则以下结论正确的有（ ）
①若函数的顶点在x轴上，则；
②无论取何值，总有；
③若时，的最小值为7，则；
④当时，令，则．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、一元二次方程的判别式及分式的约分，根据函数的顶点在x轴上得出一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式可得关于的一元二次方程，解方程求出值可判断①；计算，根据二次函数的性质可判断②；计算，根据二次函数的增减性可判断③；化简，代入计算可判断④，综上即可得答案．熟练掌握相关性质及运算法则是解题关键．
【详解】①∵函数的顶点在x轴上，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，故①错误；
②∵
＝
＝，
∴当，时，，即，
故②错误；
③∵
＝
＝，
∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当﹣1≤x≤1时，时，有最小值，
∴，
解得：，故③正确；
④当时，＝＝＝＝，
∴
＝
＝，故④正确．
综上所述：正确的结论有③④，共2个，
故选：B．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上）
11. 若二次函数的图象经过原点，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式，直接把原点坐标代入解析式得到的方程，然后解关于的方程即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴把代入，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 如图是一个计算程序，当输出值时，输入的值为______．
【答案】11或
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
利用计算程序得到，当时，，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
当时，，
所以，
解得或．
故答案为：11或．
13. 若一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则＝_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，再通分得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
所以．
故答案为﹣3．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一般不解方程，求含有一元二次方程两根的代数式的值时，通常分两步完成：（1）由方程得到：x1+x2、x1x2的值（前提是“根的判别式△≥0 ”）；（2）把要求值的代数式变形为用含“x1+x2”和“x1x2”表达的形式，再代值计算即可．
14. 如图，抛物线交y轴于点，对称轴为直线，若，则x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据抛物线的对称轴可得抛物线过，再结合图象可得答案．
【详解】解：∵抛物线交y轴于点，对称轴为直线，
∴图象过点，
∵图象开口向下，
∴当时，x的取值范围是．
故答案为：．
15. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______．

【答案】18
【解析】
【分析】先根据对称性可得，再设点B的坐标，并代入二次函数关系式求出坐标，即可得出答案．
【详解】∵正方形和抛物线都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，
∴，
∴．
设点B的坐标为，
∵点B在二次函数的图象上，
∴，
解得，(舍)，
∴点B的坐标为，
∴，，
∴．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次函数图像的性质，求阴影部分的面积，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．
16. 如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降时，水面宽增加____．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据建立的坐标系设出函数表达式，利用待定系数法求出函数解析式，求出下降后与水面相交的两个交点的坐标，即可得到答案．
【详解】解：设抛物线为，
由题意可得，点在抛物线上，
则，
解得，
∴抛物线为，
当时，，
解得，
∴当水面下降时，水面宽增加，
故答案：．
17. 若关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，则所有的满足条件的整数a的值之和是___________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与的交点，分式方程的解法以及一元二次方程根的判别式．
先根据分式方程有整数解求出的整数值，再根据二次函数与轴有交点求出的范围，求出的整数值，进而求和．
【详解】解：在分式方程两边同乘以得：，
，
由题意得：，且，为整数，
的值为：1，3，8，，5，0，4，
二次函数，
，且△，
解得：且，
的值为：1，，0，3，
所有整数的和为：0，
故答案为：0．
18. 一个四位数，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数，记，则____；若某个“等和数”的千位与十位上的数字之和为，为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”是______．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】此题考查了整式运算的应用，平方差公式，解题的关键是理清思路，理解题意以及熟练掌握平方差公式．
（1）根据“等和数”的定义求解即可；
（2）设“等和数”n的千位数、百位数分别为、，可得，再根据能够表示为两个连续偶数的平方差，确定出的值、，即可解答．
【详解】（1），
故答案为：．
（2）设“等和数”的千位、百位分别为、，
则十位数为，个位数为，
，
，
，
，
能表示两个连续偶数的平方差，
可设（为自然数），
，
即为的奇数倍，
的千位与十位上的数字之和为，
，，
，
，
当最大是，b为，
满足条件的最大“等和数”是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其它各题每小题10分，共78分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，连接，过点A的射线交于点E，交于点F，当时，则必有．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规在图的基础上作，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，______①
在和中，
，
∴，
∴______③，
又∵
∴______④，
∴．
【答案】（1）见解析；
（2）等边三角形的性质，，，．
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所作的角；
【小问2详解】
证明：∵为等边三角形，
∴（等边三角形的性质），
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：等边三角形的性质，，，．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，即，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴或，
∴，．
21. 巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）根据以上信息可以求出：a＝ ，b＝ ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）9，10，补全图形见解析
（2）七年级更好，见解析
（3）约480人
【解析】
【分析】本题考查了统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握统计图，三数的计算公式是解题关键．
（1） 用（人），根据中位数的定义第13个数据是中位数，在B组中，可以确定a值，根据所占百分比最大的数据是众数，计算b；后完成统计图的补充即可．
（2）根据方差越小，越稳定解答．
（3）用总人数乘以优秀率即可得到人数．
【小问1详解】
根据题意，得C组的人数为：（人），
根据中位数的定义第13个数据是中位数，恰好在B组中，
故（分）；
∵A组所占的百分比最大，
∴众数A组中，
故（分），补充统计图如下：
故答案为：9,10．
【小问2详解】
七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有480人．
22. 重庆中国三峡博物馆（重庆博物馆）是一座集巴渝文化、三峡文化、抗战文化、移民文化和城市文化等为特色的历史艺术类综合性博物馆，也是国家4A级风景名胜区．每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年国庆小长假第一天的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到6050人次．
（1）求今年国庆小长假第一天至第三天游客人数的平均日增长率；
（2）博物馆附近某商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为6元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降价1元，平均每天可多售出20把．设每把扇子降价x元，商店每天所获利润为w元，求每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是
（2）每把扇子的定价为23元时，商店每天所获利润最大，最大利润是5780元
【解析】
【分析】本题考查了这周六，最大利润问题，
（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是m，
由题意得：，求解即可；
（2）设降价x元，则每把扇子盈利元，每天可售出千克，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得．
【小问1详解】
设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是m，
由题意得：，
∴，
∴（舍去负值），
∴，
答：游客人数从假期第一天到第三天平均日增长率是；
【小问2详解】
设降价x元，则每把扇子盈利元，每天可售出千克，每天的总利润为w元，根据题意，得
，
∴当时，利润最大，最大为5780元，
此时 (元),
答：每把扇子的定价为23元时，商店每天所获利润最大，最大利润是5780元．
23. 如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿折线运动，当点P运动到点A时停止运动．设点P运动路程为x，的面积为．
（1）直接写出与x的函数关系，并注明x的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）函数的图象如图所示，请利用图象，直接写出当时，自变量x的值．（结果精确到0.1，误差不超过0.2）
【答案】（1）
（2）作出函数图象见解析，y1在最大值为6；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一，写出一条即可）
（3）当时，或
【解析】
【分析】（1）分三种情况，根据三角形面积公式可得与的函数关系；
（2）结合（1），描出特殊点即可画出图象，观察图象可写出它的一条性质；
（3）观察图象即可得当时的值．
小问1详解】
当时，如图：
；
当时，如图：
；
当时，如图：
；
∴；
【小问2详解】
当时，；当时，；当时，；
作出函数图象如下：
由图象可知，最大值为6；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小（答案不唯一，写出一条即可）；
【小问3详解】
观察图象可得，当时，或．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及二次函数和一次函数及应用，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．
24. 今年贵州榕江村超爆火出圈，全国各地足球爱好者闻讯而至．在某一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员A、C、D，与乙队的防守球员B的位置如图所示．此时足球在球员A脚下，他想将球绕过对手B传至队友D处，再由D经线路回传给队友C．已知对手B在A的北偏东方向，米．球员C在对手B的正东方向，米．球员D在队友C的正北方向，且在队友A的北偏东方向．（参考数据：）
（1）求传球线路的长（结果精确到1米）；
（2）根据对手B的跑动和拦截范围估计，对手B可以破坏掉在B点5米范围内的球．球员D经线路传球给队友C的同时，队友C沿方向去接球，已知球速为，球员C的平均速度为．计算说明球员C是否能避开防守顺利接到球？
【答案】（1）传球线路的长约为米
（2）球员C可以避开防守顺利接到球
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，读懂题意、添加合适的辅助线是解题的关键．
（1）过点B、点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，求出（米），（米），即可得到答案；
（2）设以B为圆心，5米为半径的圆与相交于点G，连接，则米，由勾股定理求出，得到球与队员C相遇的时间，即可得到队员C移动的路程，比较后即可得到答案．
【小问1详解】
如图，过点B、点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，
由题意可知，米，米，
在中，，米，
∴（米），（米），
∴米，
在中，，米，
∴（米），
∴（米），
答：传球线路的长约为米；
【小问2详解】
设以B为圆心，5米为半径的圆与相交于点G，连接，则米，
在中，米，米，
∴（米），
∵，，
∴，
∴球与队员C相遇的时间为：（s），
队员C移动的路程为：（米），
∵，
∴球员C可以避开防守顺利接到球．
25. 如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴正半轴交于点C，且．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线上方该抛物线上任意一点，过点P作轴交于点F，作于点E，当的值最大时，求点P的坐标，并求出此时的最大值；
（3）如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为M．在新抛物线的对称轴上有一点N，在平面内有一点K，是否存在以点为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，请直接写出点K的坐标并写出求解K点坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为：
（2）的最大值为，此时点；的最大值为
（3）存在，点K的坐标为或或，求解K点坐标的其中一种情况的过程见解析
【解析】
【分析】（1）由得到，推出，设抛物线的表达式为：，代入得到，解得：，即得；
（2）根据为等腰直角三角形，推出为等腰直角三角形，得到，求出直线的表达式为，设点， ，得到，得到当时，的最大值为，点，的最大值；
（3）将该抛物线沿射线的方向平移个单位相当于向右平移2个单位向下平移2个单位，得到，联立平移前后的二次函数解析式得到，解得：，得到，设点，点，根据推出，，，当或为对角线时，由中点坐标公式和或得：或，解方程组即得点K的坐标．
【小问1详解】
由知，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，
∴设抛物线的表达式为：，
∴，
解得：，
则抛物线的表达式为：①；
【小问2详解】
由知，为等腰直角三角形，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，
得，，
解得，，
∴，
设点，则点，
∴，
当时，的最大值为；
此时，点；
则的最大值为，；
【小问3详解】
存，理由：
将该抛物线沿射线的方向平移个单位相当于向右平移2个单位向下平移2个单位，
则，②
联立①②得：，
解得：，
∴，
∴，
设点，点，
则，
，
，
当为对角线时，由中点坐标公式和得，
，解得：，，
当为对角线时，由中点坐标公式和得，
，解得，，
则点K的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的最值，菱形的性质，中点坐标公式和两点间的距离公式，是解决问题的关键．
26. 已知是等腰直角三角形，，，点D在线段上运动．
（1）如图1，连接，过点C作交的延长线于点E，过点A作交于点F，若，，求的长；
（2）如图2，点H是边上一点，连接，过点A作交延长线于点G，若，将绕点D顺时针旋转得到线段，交于点K，连接，过点C作交于点N，垂足为P，求证：；
（3）如图3，若，连接并将绕点D逆时针旋转得到线段，连接、，取中点T，点R在上且，连接，直接写出当取得最小值时的面积．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）当取得最小值时，的面积．
【解析】
【分析】（1）要求，需要根据勾股定理求解，则需要求出的长度，可以证明从而得到，再根据勾股定理即可求解；
（2）过点C作于L，作交的延长线于Q，连接，可证得．则；利用旋转的性质可得是等边三角形，进面证得是等腰直角三角形，得出，进而可证得结论；
（3）过点C作于，过点作于，可证得，进而推出是等腰直角三角形，得出，则点在经过点，且与垂直的直线上运动，在上截取，连接，作点关于直线的对称点，连接、，当且仅当在同一条直线上时，取得最小值，过点作于，过点作于，设，则，，再证得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：过点C作于L，作交的延长线于Q，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∵将绕点D顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，过点C作于H，过点Q作于K，
∵是等腰直角三角形，，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点Q在经过点A，且与垂直的直线上运动，
在上截取，连接，作点E关于直线的对称点F，连接、，
则，
∵点T是的中点，
∴，
∴，
当且仅当B、Q、F在同一条直线上时，取得最小值，
如图4，过点F作于M，过点Q作于K，
则，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
x
0
1
2
3
4
y
5
13
23
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
a
9
八年级
8
b