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辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）
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一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A B.
C. D.
3. 三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A. 152B. 126C. 90D. 54
7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，,为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若，则正整数x的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ）
A. 全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有种放法
B. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D. 全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法
11. 已知圆，则（ ）
A. 圆可能过原点B. 圆心在直线上
C. 圆与直线相切D. 圆被直线所截得的弦长为
12. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 有且仅有一个点，使得平面
D. 的最小值为
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13 已知两条直线和互相垂直，则a等于________．
14. 若的展开式中的系数为70，则实数___________．
15. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_____________．
16. 如图，在坡面与水平面所成二面角为山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶，已知此山高米，若小李从沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶需要的时间是_____分钟.
四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线与直线交于点
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若直线与圆交于两点，求直线与圆截得的弦长
18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
19. 已知是离心率为椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程.
20. 已知抛物线上一点的横坐标为到抛物线的焦点的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线交抛物线于两点，为坐标原点，满足，求面积的最小值.
21. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．
22. 已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值．
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A B.
C. D.
3. 三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A. 152B. 126C. 90D. 54
7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，,为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若，则正整数x的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ）
A. 全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有种放法
B. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D. 全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法
11. 已知圆，则（ ）
A. 圆可能过原点B. 圆心在直线上
C. 圆与直线相切D. 圆被直线所截得的弦长为
12. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 有且仅有一个点，使得平面
D. 的最小值为
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13 已知两条直线和互相垂直，则a等于________．
14. 若的展开式中的系数为70，则实数___________．
15. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_____________．
16. 如图，在坡面与水平面所成二面角为山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶，已知此山高米，若小李从沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶需要的时间是_____分钟.
四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线与直线交于点
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若直线与圆交于两点，求直线与圆截得的弦长
18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
19. 已知是离心率为椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程.
20. 已知抛物线上一点的横坐标为到抛物线的焦点的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线交抛物线于两点，为坐标原点，满足，求面积的最小值.
21. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．
22. 已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值．
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