2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p：“∃x0∈R，e x0−x0−1≤0”，则￢p为( )
A. ∃x0∈R，e x0−x0−1≥0B. ∃x0∈R，e x0−x0−1>0
C. ∀x∈R，ex−x−1>0D. ∀x∈R，ex−x−1≥0
2.双曲线方程为x2−2y2=1，则它的右焦点坐标为( )
A. ( 22,0)B. ( 52,0)C. ( 62,0)D. ( 3,0)
3.命题“若a>b，则a2>b2”的逆否命题是( )
A. 若a2>b2，则a>b，B. 若a≤b，则a2≤b2
C. 若a2≤b2，则a≤bD. 若a>b，则a2≤b2
4.若a∈R，则“a2>a”是“a>1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则a的取值范围是( )
A. (− 2, 2)B. (−∞,− 2)∪( 2,+∞)
C. (−2,2)D. (−1,1)
6.双曲线x24−y2=1的顶点到渐近线的距离等于( )
A. 25B. 45C. 2 55D. 4 55
7.若过椭圆x24+y22=1内一点P(1,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( )
A. x−2y+1=0B. x−2y−3=0C. x+2y−3=0D. x+2y+3=0
8.已知F1、F2为双曲线C：x2−y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cs∠F1PF2=( )
A. 14B. 35C. 34D. 45
9.已知命题p：∃x0∈[0,π]，使得sinx0a，若p∧q为真命题，则a的取值范围是( )
A. (0,43)B. (0,3)C. (1,43)D. (1,3)
10.点P为椭圆x24+y23=1上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，则PF1⋅PF2的最大值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 不存在
11.已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是
( )
A. [ 55,1)B. [ 22,1)C. (0, 55]D. (0, 22]
12.已知M，N是离心率为2的双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2 ，k1k2≠0，则k1+3k2的取值范围为( )
A. [6,+∞)B. (−∞,−6]∪[6,+∞)
C. [2 3,+∞)D. (−∞,−2 3]∪[2 3,+∞))
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若命题“∃x∈R，x2−x+a<0”是假命题，则实数a的取值范围是______．
14.已知点M(−2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|−|PN|=2 2.则动点P的轨迹方程为______．
15.已知椭圆x29+y24=1的两个焦点是F1、F2，点M是椭圆上一点，且|MF1|−|MF2|=2，则△F1F2M的面积是______．
16.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1、F2分别为其左右焦点，A、B两点在椭圆上，且满足F1A+F1B=F1F2，若直线AB的倾斜角为120°，且四边形AF1BF2的面积为 3c2，则椭圆C的离心率为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知p：x2≤5x−4，q：x2−(a+2)x+2a<0(a>2)．
(1)若p为真命题，求x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
求满足下列条件的圆锥曲线方程的标准方程．
(1)经过点P(−2 3,0)，Q(0,2)两点的椭圆；
(2)与双曲线x24−y23=1有相同的渐近线且经过点(−2 3, 3)的双曲线．
19.(本小题12分)
设命题p：实数a满足不等式2a<4；命题q：关于x不等式x2+3(3−a)x+9≥0对任意的x∈R恒成立．
(Ⅰ)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(− 3,0)，F2( 3,0)，且长轴长为4．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 63，且经过点( 32,− 32).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P(0,2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△OAB(O为原点)面积的最大值．
22.(本小题12分)
已知M(−3,0)、N(3,0)，P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PM的斜率之积为−59．
(1)求P点的轨迹方程；
(2)设P点的轨迹为曲线C，过点Q(2,0)斜率为k1的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，AB中点为R，直线OR(O为坐标原点)的斜率为k2，求证k1k2为定值；
(3)在(2)的条件下，设QB=λAQ，且λ∈[2,3]，求直线l在y轴上的截距的变化范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
即￢p：∀x∈R，ex−x−1>0，
故选：C
根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：双曲线的a2=1,b2=12，c2=32，c= 62，
∴右焦点为( 62,0)．
故选：C．
把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b，进而根据c= a2+b2求得c，焦点坐标可得．
本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c即可得出交点坐标．但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题．
根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．
【解答】
解：命题“若a>b，则a2>b2”，
它的逆否命题是“若a2≤b2，则a≤b”．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了充分条件、必要条件．
结合不等式的知识进行分析即可．
【解答】
解：由a2>a得出a>1或a<0.不能得出a>1，
反之：由a>1得出a2>a，
所以“a2>a”是“a>1 ”的必要不充分条件．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部，
即为a24+12<1，
即有a2<2，
解得− 2故选：A．
将点A代入椭圆方程可得a24+12<1，解不等式可得a的范围．
本题考查椭圆的方程的运用，点与椭圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．
【解答】
解：由对称性可取双曲线x24−y2=1的顶点(2,0)，渐近线y=12x，
则顶点到渐近线的距离d=2 5=2 55．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：设该弦所在的直线方程与椭圆x24+y22=1交于A、B两点，
且A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x22=2，y1+y22=1，
则x124+y122=1，①
x224+y222=1，②
①−②得：(x1−x2)(x2+x2)4+(y1−y2)(y1+y2)2=0，
则y1−y2x1−x2=−12，
即该弦所在的直线方程为：y−1=−12(x−1)，
即x+2y−3=0，
故选：C．
设该弦所在的直线方程与椭圆x24+y22=1交于A、B两点，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x22=2，y1+y22=1，则x124+y122=1，①，x224+y222=1，②，①−②得：(x1−x2)(x2+x2)4+(y1−y2)(y1+y2)2=0，然后求解即可．
本题考查了直线与椭圆的位置关系，重点考查了点差法，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：将双曲线方程x2−y2=2化为标准方程x22−y22=1，则a= 2，b= 2，c=2，
设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|−|PF2|=2a可得m=2 2，
∴|PF1|=4 2，|PF2|=2 2，
∵|F1F2|=2c=4，
∴cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=32+8−162×4 2×2 2=2432=34．
故选：C．
根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cs∠F1PF2的值．
本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，是基础题．
由p∧q为真命题，得p，q均为真命题，分别求出p，q为真命题的a的范围，取交集得答案．
【解答】
解：由p∧q为真命题，得p，q均为真命题，
命题p：∃x0∈[0,π]，使得sinx0则；
若命题q：对∀x∈[12,3]，1x+1>a为真命题，
则a<1x+1min=13+1=43．
∴a的取值范围是(0,43)，
故选：A．
10.【答案】B
【解析】解：设P(x,y)，则x24+y23=1，∴y2=3−34x2，
又易知F1(−1,0)，F2(1,0)，
∴PF1⋅PF2=(−1−x,−y)⋅(1−x,−y)=x2+y2−1=x2+3−34x2−1=14x2+2(−2⩽x⩽2)，
∴当x=±2时，PF1⋅PF2取到最大值，且最大值为3．
故选：B．
根据椭圆的几何性质及向量运算构建函数模型，通过函数思想，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，函数思想，属中档题．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，属于中档题．
设点P(x,y)，由PF1⊥PF2，得x2+y2=c2，与椭圆方程式联立方程组，能求出该椭圆的离心率的取值范围．
【解答】
解：∵F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点，
∴离心率0设点P(x,y)，由PF1⊥PF2，得PF1·PF2=0，
即(−c−x,−y)·(c−x,−y)=0，
化简得x2+y2=c2，
联立方程组x2+y2=c2x2a2+y2b2=1,
整理得x2=(2c2−a2)⋅a2c2≥0，
解得e≥ 22，
又0∴ 22≤e<1，
故选B．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的性质，均值不等式，属中档题．
根据点差法可得k1k2=b2a2=e2−1，再根据基本不等式可得则k1+3k2的取值范围．
【解答】
解：设M(p,q)，N(−p,−q)，P(m,n)，
则p2a2−q2b2=1，m2a2−n2b2=1，
则k1k2=q−np−m⋅q+np+m=q2−n2p2−m2=b2a2(p2−m2)p2−m2=b2a2=3．
当k1，k2 为正时，则k1+3k2≥2 3k1k2=6．
当k1，k2 为负时，则k1+3k2的≤−2 3k1k2=−6．
故选：B．
13.【答案】[14,+∞)
【解析】解：∵命题“∃x∈R，x2−x+a<0”是假命题，
∴则命题的否定“∀x∈R，x2−x+a≥0”为真命题，
∴△=1−4a≤0，解得a≥14，
∴实数a的取值范围是[14,+∞)．
故答案为：[14,+∞)．
考虑命题的否定为真，运用判别式不大于0，解出a即可判断．
本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题与命题的否定的关系、充分必要条件的判断，属于基础题．
14.【答案】x22−y22= 1(x>0)
【解析】【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程，属于基础题．
根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，进而得到答案．
【解答】
解：依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
又∵M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=2 2．
∴c=2，a= 2．
∴所求方程为：x22−y22=1 (x>0)，
故答案为：x22−y22=1 (x>0)
15.【答案】4
【解析】解：由椭圆的定义可知，|MF1|+|MF2|=6，
∵|MF1|−|MF2|=2，
∴|MF1|+|MF2|=6|MF1|−|MF2|=2，解得|MF1|=4，|MF2|=2，
∵椭圆x29+y24=1的两个焦点是F1、F2，
∴c2=a2−b2=9−4=5，解得c= 5，
∴|F1F2|=2 5，
∵|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，
∴△F1F2M是以|MF1|，|MF2|为直角边的直角三角形，
∴△F1F2M的面积为12|MF1|⋅|MF2|=12×4×2=4．
故答案为：4．
根据已知条件，结合椭圆的定义，求出|MF1|=4，|MF2|=2，再结合勾股定理，以及三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查椭圆的定义，考查转化能力，属于基础题．
16.【答案】 3−1
【解析】解：由F1A+F1B=F1F2，可得四边形AF1BF2为平行四边形，
故直线AB经过坐标原点O，
所以S▱AF1BF2=4×12×|OF2|×|OA|×sin120°= 3c×|OA|= 3c2，
所以|OA|=c，所以四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|=c，|AF2|= 3c，
所以离心率e=2c2a=|F1F2||AF1|+|AF2|=2cc+ 3c= 3−1．
故答案为： 3−1．
根据题意易得四边形AF1BF2为矩形，再根据椭圆的几何性质，即可求解．
本题考查椭圆的离心率的求解，属中档题．
17.【答案】解：(1)若p为真命题，则x2≤5x−4，即x2−5x+4≤0，
即(x−1)(x−4)≤0，即1≤x≤4，
所以x的取值范围：{x|1≤x≤4}．
(2)记A={x|1≤x≤4}．
当a>2时，B={x|2因为p是q的必要不充分条件，
所以B⊊A，
所以a>2a≤4，所以2故实数a的取值范围为(2,4]．
【解析】(1)直接求解一元二次不等式即可得出x的取值范围；(2)记A={x|1≤x≤4}.当a>2时，B={x|2本题考查充分条件与必要条件，考查转化与化归的思想，属中档题．
18.【答案】解：(1)由题意得：要求椭圆经过点P(−2 3,0)，Q(0,2)两点，且|−2 3|>|2|，
则P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以a=2 3，b=2；
所以椭圆的标准方程为x212+y24=1．
(2)根据题意，要求双曲线与双曲线x24−y23=1有相同的渐近线，
设要求双曲线的方程为x24−y23=m(m≠0)，
代入点(−2 3, 3)，有124−1=m，
解得：m=2，
所以双曲线的标准方程为x28−y26=1．
【解析】(1)根据题意，由椭圆的简单几何性质可得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，求出a、b的值，即可得答案；
(2)根据题意，设要求双曲线的方程为x24−y23=m(m≠0)，代入点(−2 3, 3)，求出m的值，即可得答案．
本题考查双曲线、椭圆标准方程的计算，涉及椭圆、双曲线的简单几何性质，属于基础题．
19.【答案】解：(I)若命题p为真命题，则2a<4=22，∴a<2，
即此时实数a的取值范围是a<2．
(II)由(I)可知当p为真命题时a<2，
当命题q为真命题时，△=[3(3−a)]2−4×1×9≤0，
解得1≤a≤5
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题
∴命题p和命题q一真一假
①p真q假：a<2a<1或a>5，得a<1
②p假q真：a≥21≤a≤5，得2≤a≤5
∴实数a的取值范围是a<1或2≤a≤5
【解析】本题考查了复合命题及其真假，属基础题．
(Ⅰ)根据指数函数的单调性解不等式即可；
(Ⅱ)“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题等价于命题p和命题q一真一假．
20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得焦点在x轴上，且c= 3，2a=4，可得a=2，
所以b2=a2−c2=4−3=1，
所以椭圆的方程为：x24+y2=1；
(Ⅱ)联立y=x+1x2+4y2=4，整理可得：5x2+8x=0，可得x=0或x=−85，
所以x=0y=1或x=−85y=−35，
设A(0,1)，B(−85,−35)，
所以|AB|= (−85−0)2+(−35−1)2=8 25，
即|AB|=8 25．
【解析】(Ⅰ)由焦点坐标及长轴长可得a，c的值，进而求出b的值，进而求出椭圆的方程；
(Ⅱ)联立直线AB与椭圆的方程，可得A，B的坐标，求出弦长|AB|的值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由e2=a2−b2a2=1−b2a2=23，得ba=1 3①，
由椭圆C经过点(32,12)，得94a2+14b2=1②，
联立①②，解得b=1,a= 3，
所以椭圆C的方程是x23+y2=1．
(2)易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得
(1+3k2)x2+12kx+9=0，
令△=144k2−36(1+3k2)>0，得k2>1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−12k1+3k2,x1x2=91+3k2，
所以S△AOB=|S△POB−S△POA|=12×2×|x1−x2|=|x1−x2|，
因为(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(−12k1+3k2)2−361+3k2=36(k2−1)(1+3k2)2，
设k2−1=t(t>0)，
则(x1−x2)2=36t(3t+4)2=369t+16t+24⩽362 9t×16t+24=34，
当且仅当9t=16t，即t=43时等号成立，此时△AOB面积取得最大值 32．
【解析】(1)由e2=a2−b2a2=1−b2a2=23，得ba=1 3.再由椭圆C经过点(32,12)，能求出椭圆C的方程．
(2)设直线方程为y=kx+2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0.再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．
本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的计算，考查逻辑推理能力和计算求解能力，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
22.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意知：kPM⋅kPN=yx+3⋅yx−3=−59(x≠±3)，
化简得：P的轨迹方程为x29+y25=1(x≠±3)；
(2)

证明：设l的方程为：x=ty+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立曲线C方程得：(5t2+9)y2+20ty−25=0△>0恒成立，
则y1+y2=−20t5t2+9①，y1v2=−255t2+9②，
所以x1+x2=t(y1+y2)+4=−20t25t2+9+4=365t2+9，
则AB中点为R(185t2+9,−10t5t2+9)，所以k1k2=1t⋅−10t5t2+9185t2+9=1t⋅−5t9=−59；
(3)由OB=λOA得y2=−λy1，
代入①②得：(1−λ)y1=−20t5t2+9③，λy12=255t2+9④，
③式平方除以④式得：1λ−2+λ=16t25t2+9，
而根据对勾函数单调性知y=12−2+λ在λ∈[2,3]上单调递增，12≤12−2+λ≤43，
∴34≤5t2+916t2=516+916×1t2≤2，则1t2∈[79,3]，
又l在y轴上的截距为b，b2=(−2t)2=4f2∈[289,12]，
∴b∈[−2 3,−2 73]∪[2 73,2 3]．
【解析】(1)设P(x,y)，根据斜率的坐标运算即可得轨迹方程；
(2)设l的方程为：x=ty+2，设A(x1,y1).B(x2,y2)，联立直线与椭圆根据交点坐标关系及斜率坐标运算即可得结论；
(3)根据平面向量共线向量的坐标关系得y2=−λy1代入(2)中法一的坐标关系中可得1λ−2+λ=16t25t2+9，从而转化求解直线l在y轴上的截距的取值范围．
本题考查圆锥曲线的综合问题，属于中档题．