2024年山东省青岛市青岛超银中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第I卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】整数和分数统称为有理数，根据定义解答．
【详解】解：属于有理数；、、都属于无理数，
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的定义，熟记定义并正确区分有理数与无理数是解题的关键．
2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握表示方法是解题关键．
3. 中国民间剪纸艺术是映出我国民间广大民众最基本的心理特征和审美情趣、价值观念的民俗文化之一．下列精美的剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的有( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
4. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图的定义及画图规则，画出俯视图，再与各选项进行对比即可找出正确答案．
【详解】解：从上向下看几何体时，外部轮廓如图1所示：
∵上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线，
∴整个几何体的俯视图如图2所示：
故选：A
【点睛】本题考查了三视图知识点，熟知左视图的定义和画三视图的规则是解题的关键．
5. 如图，已知，直线分别与，相交于，两点，的平分线交于点．如果，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，由，根据两直线平行，同旁内角互补，可得的度数，又由的平分线交于，即可求解，熟练掌握平行线的性质与角平分线的定义及应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则计算并判定A；利用单项式乘以单项式法则和同底数幂相乘法则计算并判定B；根据同底数幂相除法则计算并判定C；把特殊角三角函数值代入计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法与除法，特殊角三角函数值，负整指数幂，解题词关键是熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法与除法的法则，负整指数幂的运算法则，熟记特殊角三角函数值．
7. 如图，的顶点坐标分别为，线段交x轴于点P，如果将绕点P按顺时针方向旋转，得到，那么点的对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先求得点P的坐标，过点B作于点D，过点作轴于点E，证明，进而即可求解．
详解】解：∵、，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
如图所示，过点B作于点D，过点作轴于点E，

∵将绕点P按顺时针方向旋转，得到，
∴，，
又∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形，求得点P的坐标是解题的关键．
8. 如图，AB为的直径，弦CD平分，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，结合角平分线的定义可求得△ABD为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∵AB=，
∴AD=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，证明△ABD是等腰直角三角形是解题的关键．
9. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF．若，，则EF的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过作于证明 四边形为矩形，再证明求解可得：再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过作于
矩形ABCD，
四边形为矩形，

由对折可知：



四边形为矩形，



故选：
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
10. 若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是 （ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵要求塔形露在外面的面积超过7（不包括下底面），最下面的立方体棱长为1，
∴最下面的立方体露出的面积为：4×（1×1）+0.5=4.5；
那么上面一层假如有立方体的话露出的面积为4×0.5+0.5×0.5=2.25，这两层加起来的面积为：6.75．
那么上面一层假如还有立方体的话露出的面积为4×0.25+0.25×0.25=1.0625，这三层加起来的面积为：7.8125．
∴立方体的个数至少是3．
故选B．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】原式根据二次根式的除法和非零指数幂的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=
故答案諀：
【点睛】此题主要考查了二次根据的运算以及非零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
12. 阅人世烟火，品真善之美2023年3月6日，阳城县第11期共读活动在阳泰集团香煤书院举行．活动以“开卷阅人世巾帼绽芳华”为主题，通过情景朗诵和阅读分享的形式，带给我们最真实的感动和向上的力量，某中学以此次活动为契机，举行相关朗诵比赛，更好的落实五育并举的教育方针，下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成：
经过最后汇总，总分最高的是______选手填“甲、乙、丙”．
【答案】乙
【解析】
【分析】根据题意先算出甲、乙、丙三名参赛选手的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，
甲的成绩为：（分），
乙的成绩为：（分），
丙的成绩为：（分），
，
总分最高的是乙选手，
故答案为：乙．
【点睛】此题考查了加权平均数的计算公式，注意计算平均数时按40%和60%的权进行计算．
13. “爱劳动，劳动美”，甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地．求甲、乙的速度．设甲的速度为每小时，依题意可列方程为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由甲、乙两人速度之间的关系可得出已的速度为每小时，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙提前到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵甲的速度是乙的速度的倍，且甲的速度为每小时，
∴乙的速度为每小时．
依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】关于x的一元二次方程有两个实数根，即判别式△＝b2−4ac≥0，m-1≠0，2-m≥0，即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
15. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的两个交点是，，其中点的坐标为，则下列结论其中正确的为_____．（填序号）
；；点的坐标是；点、是抛物线上的两点，若，则．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵抛物线对称轴位于轴右侧，
∴、异号，即，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故正确；
由图象可知，该抛物线与轴有两个不同的交点，
∴，即，故错误；
∵对称轴为直线，与轴的两个交点是，，其中点的坐标为，
∴，解得：，
∴，故正确；
点、是抛物线上的两点，若，
当时，；当时，；当时，与无法比较大小，故错误；
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③，④．其中正确的为 _____．（填序号）
【答案】
【解析】
【分析】可以发现由于对称性，可以证明①的结论，再结合等腰，可以求出，对于面积比直接用高作比即可求出，
最后一个直接判定形相似就可以得出结论．
【详解】①∵四边形为正方形，为对角线；
∴；
，，；
∵是等边三角形；
∴，°；
∴；
在中，；
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
故结论①正确．
②∵，，
∴，
∴，
故结论②正确．
③过点H作于T，于K，如图所示：

∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴，
故结论③不正确．
④∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
故结论④正确；
综上所述：正确的结论是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查，角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的性质和正方形的性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的母子相似判定和性质，遇到边长倍的关系，学会利用特殊角与边的关系，正方形和等边三角形要注重边和角的转化及求解角度，学会把面积比转为为高之比，见到恒等式特别是带平方的，要会证明相似三角形解决问题是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）
17. 已知，线段，求作：等腰，使得顶角，上的高为．(用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
【答案】作图见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，先作，在作的平分线，在上截取，然后过点作的垂线分别交AM、AN于、，则为所作，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】如图，作，
作的角平分线；
在上截取；
过点作的垂线分别交AM、AN于、，
连接，
如图，即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18. （1）化简：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）-1≤x＜2．
【解析】
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
=；
（2）
解不等式2-x＞0，得：x＜2，
解不等式，得：x≥-1，
则不等式组的解集为-1≤x＜2．
【点睛】本题考查的是分式加减乘除混合运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 为落实（安徽省教育厅关于做好2023年初中学业水平体育与健康学科考试等有关事项的通知》要求，某学校针对男生选择较为集中的四个项目开展有针对性强化训练：A．跳绳；B.50米跑；C．坐位体前屈；D．立定跳远，全校共有100名男生选择了A的项目，为了了解选择A项目男生的情况，从这100名男生中随机抽取了30名男生在操场进行测试将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．

（1）其中这一组的数据为169，166，165，169，169，167，167，则这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）根据题中信息，估计该校男生共有 人，D项目扇形统计图的圆心角为 度；
（3）如果学校规定每名男生要选两门不同的项目，张强和张远在选项目中，若第一项目都选了项目C，请用画树状图或列表法计算出他俩第二项目同时选项目A或项目B的概率．
【答案】（1）167，169；
（2）500，108；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）A项目男生人数除以其所占百分比可得总人数，360度乘以D项目对应百分比可得圆心角；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：将这组数据重新排列为165，166，167，167，169，169，169，
所以这组数据的中位数是167，众数为169，
【小问2详解】
解：估计该校男生共有（人），
D项目扇形统计图的圆心角为，
【小问3详解】
解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中他俩第二项目同时选项目A或项目B有2种结果，
所以他俩第二项目同时选项目A或项目B的概率为．
【点睛】本题考查概率与统计，涉及到列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
20. 如图，斜坡AB的坡角为33°，BC⊥AC，现计划在斜坡AB中点D处挖去部分坡体，用于修建一个平行于水平线CA且长为12m的平台DE和一条坡角为45°的新的陡坡BE．建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角为36°．图中各点均在同一个平面内，且点C、A、G在同一条直线上，HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果精确到1m）
（参考数据：sin33°，cs33°，tan33°，sin36°，cs36°，tan36°）
【答案】64米
【解析】
【分析】如图，因为∠BEF=45º，所以BF=EF，在RtDBF中，tan∠BDF==，求出BF、DF，再证明BFDDPA，得出DP=BF=18米，PA=FD=30米，求出DM的长，因为HM=DM•tan36°，所以GH=HM+MG．
【详解】解：如图，把线段ED向两边延长，分别交BC于点F，交HG于点M，过点D作DP⊥AC，垂足P．那么∠BFD=90º，∠DMH=90º，DP=MG，
∵新修建的斜坡BE的坡角为45°，
∴∠BEF=45°，
∴BF=EF，
∵斜坡AB的坡角为33°
∴∠DAC=∠BDF=33°，
∴tan∠BDF=，DE=12米，
∴，
∴BF≈18米，FD≈30米，
在BFD和DPA中，
，
∴BFDDPA，
∴DP=BF≈18米，PA=FD≈30米，
在矩形DPGM中，
MG=DP≈18米，
DM=PG=PA+AG≈30+36=66(米)，
在RtDMH中，HM=DM•tan36°≈66≈46.2（米），
则GH=HM+MG≈46.2+18≈64（米）．
答：建筑物GH高约为64米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是数形结合，构造直角三角形求解．
21. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数交于点，，过作轴于，连接、，若，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）直接写出关于不等式：的解集为______．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由题意，得到，再由，得到，解得即可得到答案；
（2）根据题意，先求出，利用待定系数法确定直线关系式，再由直线与轴交于点，代值求解即可得到；
（3）解不等式，用函数图像表示就是反比例函数图像在直线上方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【小问1详解】
解：直线与轴交于点，
当时，，即，
，
直线与反比例函数交于点，，过作轴于，连接、，若，，
，解得，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：直线与反比例函数交于点，
，即，
，解得，
直线的表达式为，
直线与轴交于点，
当时，，解得，即；
【小问3详解】
解：求关于不等式的解集，由（1）（2）可知反比例函数的表达式为，直线的表达式为，
解不等式用函数图像表示就是反比例函数图像在直线上方部分对应的的取值范围，
联立，解得或，即、，
数形结合，得到的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、反比例函数图像与性质、利用函数图像解不等式等知识，熟练掌握一次函数图像与性质、反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
22. 如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长．
【探究】
计算：把分成两条相等的线段，每个小圆的周长___________；
把分成三条相等的线段，每个小圆的周长___________；
把分成四条相等的线段，每个小圆的周长___________；
…
把分成条相等的线段，每个小圆的周长___________；
【拓展】
请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：___________．
【答案】【探究】，，，；【拓展】．
【解析】
【分析】本题题图形规律探索题，根据圆的面积公式，将每个圆的面积计算出来，找到和周长的关系即可，解题的关键是通过进行计算，总结规律．
【详解】【探究】
根据，
把分成两条相等的线段，每个小圆的周长 ；
把分成三条相等的线段，每个小圆的周长
把分成四条相等的线段，每个小圆的周长 ；
把分成条相等的线段，每个小圆的周长 ；
故答案为：；；；；
【拓展】
以为直径的圆的面积为，
把分成两条相等的线段，每个小圆的面积；
把分成三条相等的线段，每个小圆的面积
把分成四条相等的线段，每个小圆的面积；
把分成条相等的线段，每个小圆的面积；
故答案为：．
23. 小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【答案】（1）小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时
（2）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时
【解析】
【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
【小问2详解】
解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：，
解得：，
答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
24. 如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）当∠B为多少度时，四边形AEGF是否为菱形，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）∠B＝30°时，是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）依据条件得出∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE＝GD，∠CGE＝∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；
（2）依据∠B＝30°，可得∠ADE＝30°，进而得到AE＝AD，故AE＝AF＝FG，再根据四边形AEGF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．
【详解】解：（1）∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴ACFG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DEBC，
∴AC⊥BC，
∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，
∵F是AD中点，FGAE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，
∵DE∥BC，
∴∠CGE＝∠GED＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD（AAS）；
（2）当∠B＝30°时，四边形AEGF是菱形，理由如下：
证明：∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得AEFG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．
25. 正在建设的北京环球影城主题乐园是世界第五个环球影城乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在轨道距离地面5米处有两个位置和，当过山车运动到处时，平行于地面向前运动了米至点，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在到的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？
（3）现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？
【答案】（1）；（2）米；（3）当支架米，米，米，米时，总造价最低，最低造价为53000元
【解析】
【分析】（1）利用顶点式来求解函数解析式；
（2）利用函数图象的平移性质来求出抛物线的解析式，再根据函数值为4，求出横坐标，取离出发点的水平距离最远的横坐标的值；
（3）设米，通过函数解析式，把其余三条边用来表示，求和表达式是关于的二次函数，在求最小值即可．
【详解】（1）解：由题意知：,且点为抛物线的顶点，
设抛物线函数关系式为，将点代入其中，
解得：，
抛物线的函数关系式：
（2）由图像可设抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线与抛物线完全一样，
∴抛物线解析式为，
又∵抛物线表达式为，当时，得：
，解得：，
∴，
∵过山车运动到处时，平行于地面向前运动了米至点，
∴，
将代入，得：，
∵，
∴，
∴抛物线解析式为
当时，，解得，
∴当过山车距地面4米时，它离出发点水平距离最远有米．
（3）设米，则米，米，米，支架的总长为米，由题意可得：
∵
∴此抛物线开口向上，
∵对称轴为直线，
∴当时，存在最小值，
∴最低造价为（元）
即当支架米，米，米，米时，总造价最低，最低造价为53000元．
【点睛】本题充分的考查了二次函数解析式及图象的性质，解题的关键是：是会利用条件求出解析式，再利用函数图象的性质进行求解．
26. 如图，正方形的边长为，点是边的中点，点是线段上的动点，并以的速度从点向点移动；点是对角线上的动点，以的速度从点向点移动，以为边，向上作正方形．点、同时移动，移动时间为秒．
（1）当为为何值时，点在的平分线上？
（2）正方形移动时边与边交于点，是否存在某一时刻，使四边形的面积为？
（3）当为何值时，点在边的延长线上？
【答案】（1）当时，点在的平分线上；
（2）当时，四边形的面积为；
（3）当时，点在边的延长线上．
【解析】
【分析】（）作于，于，由，可得，再由，可得，，根据平分，，，则，建立方程求解即可；
（）根据，建立方程求解即可；
（）作于，由，得，建立方程求解即可．
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，角平分线性质的运用，线段垂直平分线性质，四边形面积等，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
如图，作于，于，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴当时，点在的平分线上；
【小问2详解】
如（）图，
∵，
，
，
又∵，
∴，
解得：（舍去），
∴当时，四边形的面积为，
【小问3详解】
如图，作于，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，点在边的延长线上．评分人
评分权重
甲
乙
丙
观众（学生）
40%
95分
90分
93分
评委（老师）
60%
90分
95分
92分
A
B
D
A


B

D