山东省淄博市张店区张店区第九中学2023-2024年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A. 与B. 与C. －|－0.01|与D. 与0.3
【答案】C
【解析】
【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解．
【详解】解：A．−（＋5）＝−5，＋（−5）＝−5，选项A不符合题意；
B．−（＋0.5）＝−0.5，与相等，选项B不符合题意；
C．−|−0.01|＝−0.01，−（）＝＝0.01，−0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意；
D．与0.3不是相反数，选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义即可求解．
2. 下面四个图形中，线段不是的高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三角形高的作法，掌握锐角三角形，钝角三角形高的作法是解题的关键．
根据三角形高的作法“过点作对边的垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的高”，由此即可求解．
【详解】解：、线段不是的高，符合题意；
、线段是的高，不符合题意；
、线段是的高，不符合题意；
、线段是的高，不符合题意；
故选：．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用单项式乘单项式的法则，完全平方公式，幂的混合运算，平方差公式对各项进行运算即可．
【详解】A. ，故该选项正确；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项错误；
故选：A．
【点睛】利用单项式乘单项式的法则，完全平方公式，幂的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵一束平行于主光轴的光线，
∴，
故选：C．
5. 若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据求不等式组解集的规律得出答案即可．
【详解】解：关于的不等式组，即有解，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，能熟记求不等式组的解集的规律是解此题的关键．
6. 如图，的面积为16，点D是边上一点，且，点G是上一点，点H在内部，且四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出阴影部分的面积和面积的关系．设边上的高是，边上的高是，边上的高是，根据图形可知．利用三角形的面积公式和平行四边形的性质即可得到阴影部分的面积和面积的关系，由此即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
设边上的高是，边上的高是，边上的高是，
∴，
∴
，
故选：B．
7. 过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进A，B两种规格的春联进行零售，其中A种春联的进价比B种春联的进价低5元，用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍，求A种春联的进价．若设A种春联的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．根据用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍列方程即可．
【详解】解：设A种春联的进价为x元，则B种春联的进价为元，
由题意，得，．
故选：D．
8. 若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
【详解】解：方程两边同乘以，得①，
∵原方程有增根，
即．
把代入①，得
故选：B．
9. 如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. 1或D. 1或2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
①当点E为的中点时，如图，

∴，
②当点E为的四等分点时，如图所示：

∴，
综上所述：或2；
故选D．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．
10. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题．
【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段，
的轨迹也是一条线段．
两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q，
来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形：
求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题，
,
中，,
,，
将逆时针绕点转动后得到，
为等边三角形，,
为的中点，根据三线合一知，
,
过点作的垂线交于点,
在中，对应的边等于斜边的一半，
，
的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口．
二、填空题（共5小题）
11. 的算术平方根是_____；的平方根是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，，先计算出得数，再根据算术平方根的定义求解；先计算，再根据平方根的定义可直接求解．
【详解】解：
3的算式平方根为；
，的平方根为．
故答案为：，．
12. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___．
【答案】x（x﹣3）2
【解析】
【详解】解：x3﹣6x2+9x
=x（x2﹣6x+9）
=x（x﹣3）2
故答案为：x（x﹣3）2
13. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点．若，则的度数是______．
【答案】##36度
【解析】
【分析】根据作图可得，是角平分线，则，根据平行线的性质可得，然后根据等量代换即可解答．
本题主要考查了作角平分线、平行线的性质等知识点，掌握角平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：根据作图可得，是角平分线，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，是等边三角形，E，F分别是经过点B的直线l上的两点（E，F位于点B的异侧），连接，．若，，则的最小值为_________ ．

【答案】
【解析】
【分析】作等边三角形，证明，结合两点间线段距离最短，得到E，A，D三点共线时最小即可得到答案．
【详解】解：如图，作等边三角形，

∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
过D作，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴当E，A，D三点共线时，最小．
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线得到．
15. 如图，抛物线交轴于两点（在的右侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线解析式求出点A、B、C的坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以D为圆心，以为半径的圆弧上运动．当D，，B在同一直线上时，最小．过点D作，垂足为E，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出的长，从而得出结论．
【详解】

由得
时，，
解得，，
，，
，，
当时，，
，
，
，
∵点是线段的中点，
，
∵是由沿折叠所得，
，
∴在以D为圆心，以为半径的圆弧上运动，
当D，，B在同一直线上时，最小，
过点D作，垂足为E，
则，，
∴，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出A、B、C的坐标．
三、解答题（共8小题）
16. 先化简，再求值：．其中．
【答案】，6
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
当时，原式．
17. 已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明．
【答案】（1）见详解 （2），证明见详解
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．
（1）先证明，再根据“边角边”即可证明；
（2）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
即．
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：．
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
18. 已知点，解答下列各题：
（1）若点的坐标为，且直线轴，求出点的坐标；
（2）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点，实数的运算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，求出a的值，进而求出即可得到答案；
（2）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为x轴的绝对值结合第二象限横坐标为负，纵坐标为正列出方程求出a的值，然后代值计算即可．
【小问1详解】
解：∵，点Q的坐标为，直线轴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵点在第二象限，且它到x轴、y 轴的距离相等，
∴，
∴，
∴．
19. 如图，点是平行四边形对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，
（1）如图所示，连接交于O，根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形；
（2）利用勾股定理求出，进而求出，则．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x（0＜x＜8）．
（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；
（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形（直接写出结果）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角，可以证得∠B=∠C，然后根据三角形的外角的性质，证得∠2=∠3，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等，即可用列方程求得x的值；
（3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵，
∴，
，
∴△DCE∽△ABD；
（2）由（1）得△DCE∽△ABD，
当CE=2时，即
解得；
（3）①当DA=DE时，△DCE≌△ABD，
∴DC=AB=6，即8-x=6．解得 x=2．
②当EA=ED时，∠DAE=∠1=∠B=∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴，即．
解得：．
③当AD=AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x=0．
（或当AD=AE时，∠1=∠AED＞∠C，
∵∠1=∠B=∠C，
∴AD=AE情况不成立．
综上所述，当或时，△ADE为等腰三角形．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，正确证明△DCE∽△ABD是关键．注意运用分类讨论的思想进行解题．
21. 某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，则该商场至少购进A种家电多少件？
【答案】（1）A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元
（2）65件
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键；
（1）设A种家电每件进价为x元，根据“用1万元购进A种家电的件数与用万元购进B种家电的件数相同”再建立方程求解即可；
（2）设购进A种家电a件，根据“该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元”再建立不等式解题即可．
小问1详解】
解：设A种家电每件进价为x元，根据题意，得
．
解得．
经检验是原分式方程的解且符合题意
．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
【小问2详解】
设购进A种家电a件，根据题意，得
．
解得
答：该商场至少购进A种家电65件．
22. 问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【解析】
【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2）周长的最大值，此时点
（3）以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或
【解析】
【分析】（1）把、代入计算即可；
（2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．
【小问1详解】
把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
延长交轴于，

∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
【小问3详解】
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或；
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．