安徽专版2024春八年级数学下册第19章四边形集训课堂练素养2特殊平行四边形间的关系的综合应用作业课件新版沪科版

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沪科版 八年级下第十九章 四边形练素养　2.特殊平行四边形间的关系的综合应用 集训课堂 习题链接【2023·厦门双十中学期中】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E. 1(1)求证：四边形AODE是矩形；证明：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴平行四边形AODE为矩形．(2)若AB＝2，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积.2如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ. (1)求证：四边形BPEQ是菱形； ∴△BOQ≌△EOP(ASA)．∴QB＝PE.∵BC∥AD，∴四边形BPEQ是平行四边形．又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形．(2)若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长.解：∵O，F分别为BE，AB的中点，∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18.设AE＝x，则BE＝18－x.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.3【2022·遵义】将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上. (1)求证：△ADE≌△CDG； 证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，菱形EFGH的对角线HF经过点B，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EDB＝∠GDB.∴∠ADB－∠EDB＝∠CDB－∠GDB，即∠ADE＝∠CDG.(2)若AE＝BE＝2，求BF的长.解：如图，过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°.∴∠QEB＝45°＝∠EBQ.4【母题：教材P98习题T12】如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F，判定四边形MEBF的形状，并证明你的结论. 解：四边形MEBF是正方形．证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB＝∠MFB＝90°.∴四边形MEBF是矩形．又∵BM是∠ABC的平分线，∴ME＝MF.∴四边形MEBF是正方形．5如图①，四边形ABEF为矩形，点D在AF上，将矩形ABEF沿BD折叠，点A的对应点C落在BE上. (1)如图①，求证：四边形ABCD为正方形．证明：∵四边形ABEF是矩形，∴∠A＝∠ABE＝90°.∵将矩形ABEF沿BD折叠，点A的对应点C落在BE上，∴∠BCD＝∠A＝90°，∠ABD＝∠CBD.∴四边形ABCD是矩形，BD为∠ABC的平分线．又易知AD⊥BA，CD⊥BC，∴AD＝CD. ∴矩形ABCD是正方形．(2)如图②，正方形ABCD中，点G在AD上，点H在CD上，∠GBH＝45°，连接GH，求证：GH＝AG＋CH. 证明： 如图①，将△ABG绕点B顺时针旋转90°，得到△CBL，则CL＝AG，BG＝BL，∠BCL＝∠A＝90°，∠CBL＝∠ABG.∵∠BCH＝90°，∠BCL＝90°，∴∠BCL＋∠BCH＝180°.∴L，C，H三点在同一条直线上．∵∠CBL＝∠ABG，∠ABC＝90°，∠GBH＝45°，∴∠LBH＝∠CBL＋∠CBH＝∠ABG＋∠CBH＝∠ABC－∠GBH＝45°.∴∠GBH＝∠LBH.又∵BG＝BL，BH＝BH，∴△GBH≌△LBH (SAS) .∴GH＝LH.∵LH＝CL＋CH＝AG＋CH，∴GH＝AG＋CH.(3)如图③，在(2)的条件中，连接AC分别交BG，BH于点T，K，连接GK，若AK：KC＝2：1，△GKH的面积为20，求TK的长. 解：如图②，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，过K作MN∥BC分别交AB，DC于点M，N，过K作KF⊥AD于点F.易知MN⊥AB，MN⊥CD.易知H的横坐标为2a，∴H的纵坐标为a，即CH＝a. ∴DH＝a.由(2)得GH＝AG＋CH，∴GH＝AG＋a.在Rt△GDH中，GD＝2a－AG，根据勾股定理得GH2＝GD2＋DH2，即(AG＋a)2＝(2a－AG)2＋a2，6【新考法·逆向探究法】如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明. 解：OE＝OF.证明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.∴EO＝CO，FO＝CO. ∴OE＝OF.(2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由. 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，而在△GFC中，不可能存在两个角为90°，∴四边形BCFE不可能为菱形．(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由. 解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．(4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 解：在(3)的条件下，当△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF.∴矩形AECF是正方形．【点方法】解决条件探索题，先将结论作为条件去分析此结论成立时应具备的条件，然后补充此条件，推理证明此结论成立．