北京市北师大附中平谷第一分校2023-2024学年高一下学期2月开学测试数学试题（原卷版+解析版）

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2024.2
（考试时间 120分钟满分150分）
一、选择题.（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.）
1. 已知集合，集合．则集合（）
A B.
C. D.
2. 命题“，都有”的否定为（）
A. ，使得B. ，使得
C. ，都有D. ，都有
3. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）
A. B.
C. D.
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
6. 若角的终边与单位圆交于点，则下列三角函数值恒为正的是（）
A. B. C. D.
7. 已知是函数的一个零点，且，则（）
A. B. C. D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A. B. C. D.
9. 近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到（）
A. 80个单位B. 120个单位C. 160个单位D. 320个单位
10. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题.（本题共7小题，每小题5分，共35分.）
11. ________．
12. 函数的定义域为_________________ .
13 计算：____________．
14. 若，则最小值是_____．
15. 已知函数，若，则x的范围是___________．
16. 若函数的一个零点为，则______.
17. 已知函数给出下列五个结论：
①存无数个零点；
②不等式的解集为（）；
③在区间上单调递减；
④函数的图象关于直线对称；
⑤对（），都有.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题.（本题共5小题，共75分.解答应写出演算步骤、证明过程.）
18. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数取值范围．
19. 已知，
（1）求，；
（2）求的值.
20. 设函数．
（1）当时，求的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
（3）当时，的最小值为3，求m的值．
21. 已知函数在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的解析式和最小正周期；
（2）求函数在区间上的最值及对应的x的取值；
（3）当时，写出函数的单调递增区间．
22. 已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
（1）若，写出所有可能的集合B；
（2）若，且是12的倍数，求集合B的个数；
（3）若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．