江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．144 B．120 C．100 D．80
3．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86
4．双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志展服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A．2720 B．2940 C．3000 D．3160
6．函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则错误的是（ ）
A． B．双曲线的离心率
C．双曲线的浙近线方程为 D．原点在以为圆心，为半径的圆上
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
10．某中药材盁中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用表示事件“第一次取到甲级药材”，用表示專件“第二次取到乙级药材”，则正确的是（ ）
A． B． C． D．事件相互独立
11．数列满足，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的展开式中的系数为_______。
13．若双曲线的渐近线与圆．相切，则_______。
14．已知函数，若，不等式在上存在实数解，则实数的取值范围_______。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某校举行羽毛球友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束。
（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
（2）若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望。
16．（15分）数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的菱形，是的中点。
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的大小。
18．（17分）函数。
（1）若，求实数的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，则。
19．（17分）如图，为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接并延长至点，使得，点的轨迹记为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点；
（3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点。请探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
1-4 DBDB 5-8 BCBD 9、CD 10、ABC 11、ACD
6、解：因为（），所以，
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
函数在区间上不是单调函数，所以有，解得. 故选C
7、解：由题意构造函数，则，
定义在上的可导函数的导函数为，满足
在上恒成立，函数在上为单调递减函数；
又为偶函数，则函数 ，即关于对称，
，则，
由于不等式的解集等价于的解集，
根据函数在上为单调递减函数，则，故选B
8、D．提示：如图，设|AF2|＝x，则|BF2|＝|AF1|＝2x，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝x，
|BF1|＝|BF2|＋2a＝2x＋2a＝6a，|AB|＝3x＝6a，所以|BF1|＝|AB|，故∠AF1B＝∠F1AB，A选项正确．
因为|AF1|＝2x＝4a，|BF1|＝|AB|＝6a，所以在△AF1B中，cs∠F1AB＝．
又在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cs∠F1AF2，
即4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×＝，，所以，B正确．
由，得，，渐近线方程为，C正确．
若原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上，则|OF2|＝|AF2|，c＝2a，
即与B矛盾，不成立，D选项错误．
9．解：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，
C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，4)，B1(2，0，4)，E(0，2，2)，
所以＝(－2，2，－2)，＝(2，0，－4)．
因为＝－4＋0＋8＝4≠0，所以与不垂直．故A错误．
＝(0，－2，4)，＝(－2，0，2)，设平面B1CE的一个法向量为＝(x1，y1，z1)，
则由得所以
不妨取z1＝1，则x1＝1，y1＝2，所以＝(1，2，1)．
同理可得平面A1BD的一个法向量为＝(2，2，1)．
故不存在实数λ使得．
故平面B1CE与平面A1BD不平行，故B错误．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C1⊥平面CDD1C1，故B1C1是三棱锥B1－CEC1的高，所
．故C正确．
三棱锥C1－B1CD1的外接球即为长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，故外接球的半径
．所以三棱锥C1－B1CD1的外接球的表面积S＝4πR2＝24π，故D正确．
故选CD．
10、解：对A，，故A正确；对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．
故选：ABC．
11、解：依题意，，A选项正确.
，所以B选项错误.
当为偶数时，，
所以，而，所以，
所以，所以C正确.
当为奇数时，，
所以，而，所以，
所以，
所以，所以D正确. 故选：ACD
12、15
13、解：双曲线的渐近线为,即,不妨取,
圆,即,所以圆心为,半径,
依题意圆心到渐近线的距离,解得或．
14、解：原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，令，
则，
∴ 在上，，得，故在上单调递增，
∴ 的最小值为，∴ 时，不等式在上存在实数解．
15、解：（1）甲3局全胜的概率为，乙3局全胜的概率为，
∴ 进行3局比赛决出冠亚军的概率为
（2）的可能取值为1，2，则，，
故的分布列为：
故．
16、解：（1）设数列的公差为，则解得所以，.
（2），
则.
17、解：(1) 如图，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．（1分）
∵ E是CD的中点，∴ BE⊥CD．∵ CD∥AB，∴ BE⊥AB．（3分）
∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥BE．（4分）∵ PAAB＝A，∴ BE⊥平面PAB．（5分）
又BE ⊂ 平面PBE，∴ 平面PBE⊥平面PAB．（7分）
∵ BE⊥平面PAB，∴ BE⊥PB，（9分）
∴ ∠ABP即为二面角A-BE-P的平面角．（12分）
在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝，tan∠ABP＝，（13分）∴ ∠ABP＝60°．（14分）
∴ 二面角A-BE-P的平面角为60°．（15分）
建立空间直角坐标系做题
连接AC交BD于点O,以OA为x轴，OB为y轴，
18、解：（1）因为,
令,得
当单调递减；当单调递增，
所以,
若，则，即，所以的取值范围为.
由（1）知当单调递减；当单调递增，
因为函数有两个零点，则一个零点大于0小于1，一个零点大于1，
故
19、解（1） 设，，则，
由题意知，所以，得(，所以，
因为，得，故曲线C的方程为．
由题意可知，直线不平行坐标轴，
则可设的方程为：，此时直线的方程为．
由，消去得：，
解得：或(舍去)，所以，
所以，同理可得：．
当时，直线的斜率存在，
，
则直线的方程为，所以直线过定点．
当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点，
综上所述：直线过定点．
假设存在点R使得，设，
因为，所以，即，
所以，所以，
直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称，
设，
易知点，直线方程是，
令得点P横坐标，
直线方程是，令得点Q横坐标，
由，得，又在椭圆上，
所以，所以，解得，
所以存在点，使得成立．
1
2