2023-2024学年人教B版必修第三册 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 单元测试

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第八章　向量的数量积与三角恒等变换(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k的值是(　　)A．3　　　　　　　　　 B．－3C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)解析：C　∵a⊥b，∴a·b＝－1×1＋3k＝0，∴k＝eq \f(1,3).2.eq \f(sin 20°cos 20°,cos 50°)＝(　　)A．2 B．eq \f(\r(2),2)C．eq \r(2) D．eq \f(1,2)解析：D　eq \f(sin 20°cos 20°,cos 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,cos 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2)，故选D．3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))＝eq \f(\r(3),3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,5)))＝(　　)A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3)C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(3),2)解析：A　∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))＝eq \f(\r(3),3)，∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,5)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5)))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,3).故选A．4．已知|a|＝|b|＝3，e是与b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为eq \f(3,2)e，则向量a与b的夹角为(　　)A．30° B．60°C．120° D．150°解析：B　根据题意，设a与b的夹角为θ.已知向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos θ)e＝eq \f(3,2)e，|a|＝3，则有cos θ＝eq \f(1,2).又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，故选B．5．已知sin 2α＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＜2α＜π))，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α＋β)＝(　　)A．－1 B．－2C．－eq \f(2,11) D．eq \f(2,11)解析：B　由sin 2α＝eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)＜2α＜π，可得cos 2α＝－eq \f(4,5)，所以tan 2α＝－eq \f(3,4)，所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝eq \f(tan 2α－tan（α－β）,1＋tan 2αtan（α－β）)＝eq \f(－\f(3,4)－\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\f(1,2))＝－2.6．已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量b在a方向上的投影的数量为3，则实数m＝(　　)A．2eq \r(3) B．eq \r(3)C．0 D． －eq \r(3)解析：B　因为向量b在a方向上的投影的数量为eq \f(a·b,|a|)，所以eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(3＋\r(3)m,\r(1＋（\r(3)）2))＝eq \f(3＋\r(3)m,2)＝3，解得m＝eq \r(3).7．已知sin(α＋2β)＝eq \f(3,4)，cos β＝eq \f(1,3)，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为(　　)A．eq \f(3\r(7)－2\r(2),12) B．eq \f(3－2\r(14),12)C．eq \f(3\r(7)＋2\r(2),12) D．eq \f(3＋2\r(14),12)解析：D　因为sin(α＋2β)＝eq \f(3,4)，cos β＝eq \f(1,3)，α，β为锐角，又cos(2β)＝2cos2β－1＝－eq \f(7,9)＜0，所以α＋2β大于90°.由同角三角函数关系，可得cos(α＋2β)＝－eq \f(\r(7),4)，sin β＝eq \f(2\r(2),3)，所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β＝eq \f(3,4)×eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),4)))×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(3＋2\r(14),12)，故选D．8．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(1，eq \r(3))，其中θ∈[0，π]，则a·b的取值范围是(　　)A．[－1，2] B．[－1，1]C．[－2，2] D．[－eq \r(3)，2]解析：A　a·b＝cos θ＋eq \r(3)sin θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，∵θ∈[0，π]，∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴a·b∈[－1，2]．故选A．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．下列等式中恒成立的是(　　)A．a·b＝b·aB．λa·b＝a·(λb)C．(a·b)2＝a2·b2D．|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)解析：ABD　由题意，A项，根据向量的数量积的运算公式，可得a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，b·a＝|b|·|a|cos〈b，a〉，所以a·b＝b·a恒成立；B项，根据向量的数量积的运算律，可得λa·b＝a·(λb)恒成立；C项，根据向量的数量积的运算公式，可得(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉，a2·b2＝|a|2·|b|2，所以等式不恒成立；D项，由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，所以等式恒成立．故选A、B、D．10．已知0＜θ＜eq \f(π,4)，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，则下列选项中与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))恒相等的有(　　)A．eq \f(n,1＋m) B．eq \f(m,1＋n)C．eq \f(1－n,m) D．eq \f(1－m,n)解析：AD　∵sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴eq \f(1－m,n)＝eq \f(n,1＋m)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(1－tan θ,1＋tan θ)＝eq \f(cos θ－sin θ,cos θ＋sin θ)＝eq \f(（cos θ－sin θ）（cos θ－sin θ）,（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）)＝eq \f(1－sin 2θ,cos 2θ)＝eq \f(1－m,n)＝eq \f(n,1＋m).11．已知sin α＝－eq \f(4,5)，180°